Borel-Algebra, Stochastik < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | a) Sei $\Omega\neq\emptyset$ und $\mathcal{E}$ die Menge aller Einpunktmengen, also Mengen der Form $\{\omega\}$, wobei $\omega\in\Omega$. Geben Sie explizit die von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\sigma(\mathcal{E})$ an.
b) Sei $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei $\mathcal{E}$ die Familie aller Nullmengen (bzgl. $\mathbb{P}$). Geben Sie explizit die von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\sigma(\mathcal{E})$ an.
c) Konstruieren Sie eine Funktion
$\mu:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to[0,1]$ mit $\mu({\mathbb{N})=1$, die additiv aber nicht $\sigma$-additiv ist. |
Hallo,
ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe.
zu a)
Ich denke hier ist es notwendig, dass man zwischen abzählbarem und überabzählbarem $\Omega$ unterscheidet.
Ist $\Omega$ abzählbar, so sollte die von den Einpunktmengen $\{\omega\}$ erzeugte $\sigma$-Algebra die Potenzmenge von $\Omega\quad\mathcal{P}(\Omega)$ sein.
Gesucht ist hier ja die kleinste $\sigma$-Algebra, die $\mathcal{E}$ enthält.
Nun kann ich durch Vereinigung der Einpunktmengen auch jede Menge erzeugen, die 2 Elemente enthält. Dann kann ich auch alle drei Elementigen Mengen erzeugen, bis ich schließlich alle Teilmengen von $\Omega$ erzeugt habe.
Für überabzählbares $\Omega$ sollte es anders aussehen.
Ist zum Beispiel $\Omega=\mathbb{R}$, so liegen alle Einpunktmengen in der $\sigma$-Algebra und auch ihre Komplemente.
Kann man hier noch weitermachen? Ich habe ja nur abzählbare Vereinigungen zur Verfügung und andere Mengenoperationen, welche mit den Axiomen der $\sigma$-Algebra konform sind.
Ich könnte die Komplemente noch untereinander schneiden. So könnte ich weitere Mengen hinzufügen.
Zum Beispiel die Einpunktmengen $\{1\}$ und $\{2\}$ ihre komplemente wären $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ und $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. Dann ist
$\mathbb{R}\setminus\{1\}\cap\mathbb{R}\setminus\{2\}=\mathbb{R}\setminus\{1,2\}$.
Auf die Weise könnte ich dann auch alle überabzählbaren Mengen, ohne einer abzählbaren Menge erzeugen. Denn mehr als abzählbare Mengen kann ich nicht entfernen.
Sind die Überlegungen bisher korrekt?
Wie kann ich im Fall, dass $\Omega$ überabzählbar ist, eine explizite Beschreibung von $\sigma(\mathcal{E})$ angeben? Bzw. müsste ich das was ich oben salopp formuliert habe einfach besser ausführen?
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
Hiho,
> ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe.
>
> zu a)
>
> Ich denke hier ist es notwendig, dass man zwischen
> abzählbarem und überabzählbarem [mm]\Omega[/mm] unterscheidet.
> Ist [mm]\Omega[/mm] abzählbar, so sollte die von den
> Einpunktmengen [mm]\{\omega\}[/mm] erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra die
> Potenzmenge von [mm]\Omega\quad\mathcal{P}(\Omega)[/mm] sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gesucht ist hier ja die kleinste [mm]\sigma[/mm]-Algebra, die
> [mm]\mathcal{E}[/mm] enthält.
> Nun kann ich durch Vereinigung der Einpunktmengen auch
> jede Menge erzeugen, die 2 Elemente enthält. Dann kann ich
> auch alle drei Elementigen Mengen erzeugen, bis ich
> schließlich alle Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] erzeugt habe.
>
> Für überabzählbares [mm]\Omega[/mm] sollte es anders aussehen.
> Ist zum Beispiel [mm]\Omega=\mathbb{R}[/mm], so liegen alle
> Einpunktmengen in der [mm]\sigma[/mm]-Algebra und auch ihre
> Komplemente.
>
> Kann man hier noch weitermachen? Ich habe ja nur
> abzählbare Vereinigungen zur Verfügung und andere
> Mengenoperationen, welche mit den Axiomen der
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra konform sind.
>
> Ich könnte die Komplemente noch untereinander schneiden.
> So könnte ich weitere Mengen hinzufügen.
> Zum Beispiel die Einpunktmengen [mm]\{1\}[/mm] und [mm]\{2\}[/mm] ihre
> komplemente wären [mm]\mathbb{R}\setminus\{1\}[/mm] und
> [mm]\mathbb{R}\setminus\{2\}[/mm]. Dann ist
>
> [mm]\mathbb{R}\setminus\{1\}\cap\mathbb{R}\setminus\{2\}=\mathbb{R}\setminus\{1,2\}[/mm].
>
> Auf die Weise könnte ich dann auch alle überabzählbaren
> Mengen, ohne einer abzählbaren Menge erzeugen. Denn mehr
> als abzählbare Mengen kann ich nicht entfernen.
Ja, aber jedes Element der Sigma-Algebra kannst du über eine Eigenschaft charakterisieren, die entweder auf die Menge selbst, oder ihr Komplement zutrifft. Eine Idee dazu?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
> Ja, aber jedes Element der Sigma-Algebra kannst du über eine Eigenschaft charakterisieren, die entweder auf die Menge selbst, oder ihr Komplement zutrifft. Eine Idee dazu?
Ja, [mm] $A\in\sigma(\mathcal{E})$, [/mm] genau dann wenn $A$ abzählbar und [mm] $A^c$ [/mm] überabzählbar, oder $A$ überabzählbar und [mm] $A^c$ [/mm] abzählbar.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ja, [mm]A\in\sigma(\mathcal{E})[/mm], genau dann wenn [mm]A[/mm] abzählbar und [mm]A^c[/mm] überabzählbar, oder [mm]A[/mm] überabzählbar und [mm]A^c[/mm] abzählbar.
Und unabhängig von [mm] \Omega [/mm] kannst du [mm] \sigma(\mathcal{E}) [/mm] also darstellen als:
[mm] $\sigma(\mathcal{E}) [/mm] = [mm] \{A \subseteq \Omega | A$ abzählbar oder $A^c$ abzählbar $\}$
[/mm]
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Stimmt, das ist eine einfache Beschreibung von [mm] $\sigma(\mathcal{E})$.
[/mm]
Dann zu b)
Wenn ich alle Mengen A habe, für die gilt [mm] $\mathbb{P}(A)=0$, [/mm] dann habe ich selbstverständlich auch ihre Komplemente, also die Mengen (oder Ereignisse) für die gilt [mm] $\mathbb{P}(A^c)=1$.
[/mm]
Dies sollten auch bereits alle sein, denn wenn ich zwei solcher Nullmengen vereinige, dann ist die Wahrscheinlichkeit ebenfalls Null. Also wenn [mm] $\mathbb{P}(A_1)=\mathbb{P}(A_2)=0$, [/mm] dann ist [mm] $\mathbb{P}(A_1\cup A_2)=0$.
[/mm]
Sehe ich das richtig?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Sehe ich das richtig?
bisher ja.
Was ist also eine einfache Beschreibung im Fall b)?
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
[mm] $\sigma(\mathcal{E})=\{A\in\mathcal{E}|P(A)=0 \wedge P(A^c)=1\}$
[/mm]
sollte dann einfach die Beschreibung sein.
|
|
|
| |
|
Hiho,
Das ist ja nicht mal eine Sigma Algebra. Das kannst du doch besser!
Nochmal überlegen bitte.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Hmm, warum handelt es sich hierbei nicht um eine [mm] $\sigma$-Algebra?
[/mm]
Die leere Menge ist enthalten.
Wenn eine Menge enthalten ist, dann ist auch ihr Komplement enthalten. So ist diese Menge im Grunde ja konstruiert.
Und wenn ich zwei Mengen vereinige für die die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 ist, dann bleibt die Wahrscheinlichkeit entweder 0 oder 1. Sie kann nicht von 0 oder 1 verschieden sein, oder sehe ich das falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Sa 05.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hmm, warum handelt es sich hierbei nicht um eine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra?
>
> Die leere Menge ist enthalten.
> Wenn eine Menge enthalten ist, dann ist auch ihr
> Komplement enthalten. So ist diese Menge im Grunde ja
> konstruiert.
>
> Und wenn ich zwei Mengen vereinige für die die
> Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 ist, dann bleibt die
> Wahrscheinlichkeit entweder 0 oder 1. Sie kann nicht von 0
> oder 1 verschieden sein, oder sehe ich das falsch?
Du hast oben geschrieben
P (A)=0 und (!) P [mm] (A^c)=1
[/mm]
wenn die von Dir angegebene Menge eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra wäre, so enthielt sie mit jedem A auch [mm] A^c, [/mm] also wäre
P (A)=P [mm] (A^c)=0,
[/mm]
was totaler Unfug ist.
Fred
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Wenn eine Menge enthalten ist, dann ist auch ihr
> Komplement enthalten. So ist diese Menge im Grunde ja konstruiert.
das zu behaupten ist nicht zu zeigen.
Es ist relativ leicht zu zeigen, dass wenn A in deiner Menge enthalten ist, so ist [mm] A^c [/mm] ganz sicher nicht enthalten.
Folglich ist deine Menge keine Sigma-Algebra.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Ihr habt natürlich recht.
Es sollte aber reichen, wenn ich das "und" durch ein "oder" ersetze, also
[mm] $\sigma(\mathcal{E})=\{A\in\mathcal{E}|P(A)=0\vee P(A^c)=1\}$
[/mm]
Zu der c) hatte ich bisher ein paar Ideen, wovon aber keine zu funktionieren scheint.
Mein erster Ansatz war eine ziemlich stumpfsinnige Funktion [mm] $\mu$, [/mm] welche [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] das Maß 1 zuordnet und jeder echten Teilmenge [mm] $A\subset\mathbb{N}$ [/mm] das Maß Null zuordnet, also
[mm] $\mu(A):=\begin{cases} 1, \text{falls} A=\mathbb{N}\\0, \text{falls} A\subset\mathbb{N}\end{cases}$
[/mm]
Dies funktioniert aber nicht, weil dann etwa [mm] $1=\mu(\mathbb{N})=\mu(\{0\}\cup(\mathbb{N}\setminus\{0\})=\mu(\{0\})+\mu(\mathbb{N}\setminus\{0\})=0+0=0$
[/mm]
Eine andere, meiner Meinung nach vielversprechendere, Idee war es, dass ich jeweils das Minimum dieser Mengen betrachte. Diese Idee funktioniert aber auch nicht. Im Grunde aus dem selben Grund wie bei der anderen. Meine Funktion sah da so aus:
[mm] $\mu(A):=\begin{cases}1,\text{falls} A=\mathbb{N}\\ \frac{1}{2^{\min(A)}}, \text{falls}\emptyset\neq A\subset\mathbb{N}\\0,\text{falls} A=\emptyset\end{cases}$
[/mm]
Warum fand ich diese Idee vielversprechender?
Weil mir das Minimum einer nichtleeren Teilmenge der natürlichen Zahlen keine Probleme bereitet. Deshalb wollte ich die Mengen auf ihr Minimum reduzieren und dann mithilfe der geometrischen Reihe im unendlichen Fall eine Zahl größer 1 erzeugen, wobei die Vereinigung der Mengen ganz [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] sein soll.
Alle meine weiteren Ideen liefen auf das selbe Problem hinaus und mir fällt leider nichts ein, wie ich es umgehen kann.
Habt ihr einen Tipp?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Es sollte aber reichen, wenn ich das "und" durch ein "oder"
> ersetze, also
>
> [mm]\sigma(\mathcal{E})=\{A\in\mathcal{E}|P(A)=0\vee P(A^c)=1\}[/mm]
Nein. Da für ein W-Maß gilt $P(A) = 0 [mm] \gdw P(A^c) [/mm] = 1$ wäre die zweite Bedingung obsolet.
Ergo: Du solltest nochmal nachdenken. Wir nähern uns aber (auch wenn ich ein bisschen mehr Sorgfältigkeit erwarten würde…)
Zu c) dein erster Ansatz war schon vielversprechend.
Tipp: Es gibt eine zweiwertiges Maß, welches das erfüllt. Da es additiv aber nicht sigmaadditiv sein soll, wird es wohl was mit Endlichkeit/Unendlichkeit zu tun haben… und wenn ich noch mehr schreibe, könnte ich das Maß auch selbst hinschreiben 
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
Dann also einfach [mm] $\sigma(\mathcal{E})=\{A\in\mathcal{E}|P(A)=0\}$.
[/mm]
Denn wenn $P(A)=0$ und $P(B)=0$, dann ist auch [mm] $P(A\cup [/mm] B)=0$.
Tut mir leid, wenn es so wirkt als würde ich raten. Dem ist aber eigentlich nicht so.
zu der c)
Ich denke es ist klar, dass ich [mm] $\mu(\mathbb{N})=1$ [/mm] im Vorfeld festlegen muss, wie eben in meinen zwei obigen Beispielen. Dies soll ja ohnehin gelten.
Denn wenn ich das nicht tue, dann wird es am Ende [mm] $\sigma$-Additiv [/mm] sein.
Genau dies schien mir aber in meinen bisherigen Versuchen auch immer mir in die Quere zu kommen, weil wenn ich anderen Mengen dann ein festes Maß zu Ordne sich die Definition widerspricht. Und ich etwa zeigen kann, dass 1=0.
Es muss gelten, dass wenn ich [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] als endliche Vereinigung von Mengen schreibe, das Maß trotzdem 1 ist. Und wenn ich eine unendliche habe, irgendein anderer Wert.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Dann also einfach
> [mm]\sigma(\mathcal{E})=\{A\in\mathcal{E}|P(A)=0\}[/mm].
>
> Denn wenn [mm]P(A)=0[/mm] und [mm]P(B)=0[/mm], dann ist auch [mm]P(A\cup B)=0[/mm].
Wie schon in der ersten Antwort dazu gezeigt, ist das dann keine Sigma-Algebra!!
Was wäre denn dann [mm] $P(A^c)$? [/mm] Wäre [mm] A^c [/mm] dann in der Menge enthalten??
> Ich denke es ist klar, dass ich [mm]\mu(\mathbb{N})=1[/mm] im Vorfeld festlegen muss
Nein.
Setze [mm] $\mu(\mathbb{N})=\infty$
[/mm]
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
> Wie schon in der ersten Antwort dazu gezeigt, ist das dann keine Sigma-Algebra!!
Ich habe es bisher so verstanden, dass ich diese Menge im Vorfeld mit Mengen "fütter" und ich dann die aus diesen Mengen erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] betrachte.
Also das wenn P(A)=0 enthalten ist, und ja auch die Komplemente enthalten sein müssen, damit man eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] erhält auch [mm] $A^c$ [/mm] in der Menge liegt.
> Setze $ [mm] \mu(\mathbb{N})=\infty [/mm] $
Das finde ich merkwürdig. Wie kann dann [mm] $\mu(\mathbb{N})=1$ [/mm] gelten?
Oder soll das nur für endlich Vereinigungen der natürlichen Zahlen der Fall sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:11 Di 08.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Wie schon in der ersten Antwort dazu gezeigt, ist das dann
> keine Sigma-Algebra!!
>
> Ich habe es bisher so verstanden, dass ich diese Menge im
> Vorfeld mit Mengen "fütter" und ich dann die aus diesen
> Mengen erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra betrachte.
Du sollst $ [mm] \sigma(\mathcal{E}) [/mm] $ angeben !!!
>
> Also das wenn P(A)=0 enthalten ist, und ja auch die
> Komplemente enthalten sein müssen, damit man eine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra erhält auch [mm]A^c[/mm] in der Menge liegt.
Mmmh...., was willst Du damit sagen ?
>
>
> > Setze [mm]\mu(\mathbb{N})=\infty[/mm]
>
> Das finde ich merkwürdig. Wie kann dann [mm]\mu(\mathbb{N})=1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> gelten?
Da hat sich Gono vertan. Gesucht ist eine Fuktion
$ \mu:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to[0,1] $ mit $ \mu({\mathbb{N})=1 $, die additiv aber nicht $ \sigma $-additiv ist.
Probiers mal damit:
\mu(A)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } A=\IN \\ 0, & \mbox{für } A \ne \IN \end{cases}.
Edit: obiges \mu erfüllt nicht das Gewünschte !
FRED
> Oder soll das nur für endlich Vereinigungen der
> natürlichen Zahlen der Fall sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Di 08.12.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Da hat sich Gono vertan.
Jop, ich hab die Bedingung [mm] $\mu(\IN) [/mm] = 1$ schlichtweg übersehen.
> Probiers mal damit:
>
> [mm]\mu(A)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } A=\IN \\ 0, & \mbox{für } A \ne \IN \end{cases}.[/mm]
Die Idee hatte der Threadersteller ebenfalls schon. Funktioniert aber nicht, da die Funktion nicht additiv ist. Die Annahme, dass sie es wäre führt zu:
$1 = [mm] \mu(\IN) [/mm] = [mm] \mu(\IN\setminus\{n\}\cup\{n\}) [/mm] = [mm] \mu(\IN\setminus\{n\}) [/mm] + [mm] \mu(\{n\}) [/mm] = 0 + 0 = 0$
Ich habe darüber auch schon nachgedacht, aber mir ist bisher keine endlicher Inhalt eingefallen, der nicht sigma-Additiv ist.
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Di 08.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> > Da hat sich Gono vertan.
>
> Jop, ich hab die Bedingung [mm]\mu(\IN) = 1[/mm] schlichtweg
> übersehen.
>
> > Probiers mal damit:
> >
> > [mm]\mu(A)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } A=\IN \\ 0, & \mbox{für } A \ne \IN \end{cases}.[/mm]
>
> Die Idee hatte der Threadersteller ebenfalls schon.
> Funktioniert aber nicht, da die Funktion nicht additiv ist.
> Die Annahme, dass sie es wäre führt zu:
>
> [mm]1 = \mu(\IN) = \mu(\IN\setminus\{n\}\cup\{n\}) = \mu(\IN\setminus\{n\}) + \mu(\{n\}) = 0 + 0 = 0[/mm]
Upps, da hast Du recht. Danke.
Gruß FRED
>
> Ich habe darüber auch schon nachgedacht, aber mir ist
> bisher keine endlicher Inhalt eingefallen, der nicht
> sigma-Additiv ist.
>
> Gruß,
> Gono
|
|
|
| |
|
Zu dem Aufgabenteil c):
Uns wurde gesagt, dass dieser Aufgabe ein Tippfehler zugrunde liegt.
Deshalb wurde die Aufgabe als Zusatzaufgabe gegeben. Ich gehe davon aus, dass es zuerst genau anders herum angedacht war. Man also ein [mm] $\sigma$-additives [/mm] Maß angeben soll, welches nicht additiv ist.
Das wollte ich euch mitteilen für den Fall, dass ihr es noch weiter probieren möchtet.
Anscheinend ist es also durchaus möglich ein solches Maß anzugeben, auch wenn mir bisher nichts weiteres eingefallen ist. Es ergibt sich eigentlich immer das selbe Problem, dass das Maß doch nicht additiv ist.
Ich würde die Frage damit als geklärt ansehen.
Vielen Dank für eure Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Di 08.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zu dem Aufgabenteil c):
>
> Uns wurde gesagt, dass dieser Aufgabe ein Tippfehler
> zugrunde liegt.
> Deshalb wurde die Aufgabe als Zusatzaufgabe gegeben. Ich
> gehe davon aus, dass es zuerst genau anders herum angedacht
> war. Man also ein [mm]\sigma[/mm]-additives Maß angeben soll,
> welches nicht additiv ist.
>
Jedes [mm]\sigma[/mm]-additives Maß ist additiv !!!
FRED
> Das wollte ich euch mitteilen für den Fall, dass ihr es
> noch weiter probieren möchtet.
>
> Anscheinend ist es also durchaus möglich ein solches Maß
> anzugeben, auch wenn mir bisher nichts weiteres eingefallen
> ist. Es ergibt sich eigentlich immer das selbe Problem,
> dass das Maß doch nicht additiv ist.
>
> Ich würde die Frage damit als geklärt ansehen.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
|
|
|
|
