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Forum "Uni-Stochastik" - Borel-Cantelli
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Borel-Cantelli: Tipp, Idee, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:20 Mo 02.04.2012
Autor: Mija

Aufgabe
Sei [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \IP)$ [/mm] ein Maßraum. Sei [mm] $(X_n)$ [/mm] unabhängig.

z.z.: Ist [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \IP(X_n [/mm] > M) = [mm] \infty$ $\forall [/mm] M [mm] \in [/mm] N$, so gilt [mm] $sup_{n \in \IN}$ $X_n [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]


Hallo, ich habe kleine Probleme mit obenstehender Aufgabe. Undzwar weiß ich zwar generell schon, was das Lemma von Borel-Cantelli aussagt, aber ich weiß irgendwie nicht, wie ich das $sup$ [mm] $X_n$ [/mm] dort einbringen soll.

Kann mir jemand weiterhelfen? :)

        
Bezug
Borel-Cantelli: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 Mo 02.04.2012
Autor: tobit09

Hallo Mija,

> Sei [mm](\Omega, \mathcal{F}, \IP)[/mm] ein Maßraum. Sei [mm](X_n)[/mm]
> unabhängig.

Ich gehe mal davon aus, dass nicht nur ein Maßraum, sondern ein Wahrscheinlichkeitsraum vorliegen soll.

> z.z.: Ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \IP(X_n > M) = \infty[/mm]
> [mm]\forall M \in N[/mm], so gilt [mm]sup_{n \in \IN}[/mm] [mm]X_n = \infty[/mm]

Am Schluss soll es wohl [mm] "$\IP$-fast-sicher" [/mm] heißen, sonst stimmt die Aussage nämlich nicht.

> Undzwar weiß ich zwar generell schon, was das Lemma von
> Borel-Cantelli aussagt, aber ich weiß irgendwie nicht, wie
> ich das [mm]sup[/mm] [mm]X_n[/mm] dort einbringen soll.

Wende Borel-Cantelli für festes [mm] $M\in\IN$ [/mm] auf die Ereignisse

     [mm] $A_n:=\{X_n>M\}$ [/mm]

an.

Es gilt

     [mm] $\{\sup_{n\in\IN}X_n=\infty\}=\bigcap_{M\in\IN}\{\sup_{n\in\IN}X_n>M\}$. [/mm]

Weiterhin

     [mm] $\{\sup_{n\in\IN}X_n>M\}=\{X_n>M\mbox{ für mindestens ein }n\in\IN\}=\{\mbox{für mindestens ein }n\in\IN \mbox{ tritt }A_n\mbox{ ein}\}$. [/mm]

Reicht das schon an Tipps?

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Borel-Cantelli: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Mo 02.04.2012
Autor: Mija

Ja, das mit dem W-Raum und dem [mm] $\IP$-fast [/mm] sicher stimmt.

Also..

Sei [mm] $A_n [/mm] := [mm] \{X_n > M \}$ [/mm] für $M [mm] \in \IN$. [/mm]

Es gilt [mm] \{ sup_{n \in \IN} X_n = \infty \} [/mm] = [mm] \bigcap_{M \in \IN} \{sup_{n \in \IN} X_n > M \}$. [/mm]

Weiterhin [mm] $\{ sup_{n \in \IN} X_n > M} [/mm] = [mm] \{X_n > M$ für mindestens ein $n \in \IN \} [/mm] = [mm] \{$ für mindestens ein $n \in \IN$ tritt $A_n ein \} [/mm] = [mm] \bigcup_{n \in \IN} A_n [/mm] = [mm] \bigcup_{n \in \IN} \{X_n > M \}$ [/mm]

Dann ist $A = [mm] \bigcap_{i \in \IN} \bigcup_{n \ge i} A_n [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in \IN} \bigcup_{n \ge i} \{X_n > M\} [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in \IN} \{sup X_n > M \} [/mm] = [mm] \{sup_{n \in \IN} X_n = \infty \}$ [/mm]

Stimmt das soweit?

Wie mache ich jetzt weiter? Ich komme irgendwie ständig mit der Verinigung und dem Schnitt durcheinander.

Bezug
                        
Bezug
Borel-Cantelli: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Mo 02.04.2012
Autor: tobit09


> Sei [mm]A_n := \{X_n > M \}[/mm] für [mm]M \in \IN[/mm].
>  
> Es gilt [mm]\{ sup_{n \in \IN} X_n = \infty \}[/mm] = [mm]\bigcap_{M \in \IN} \{sup_{n \in \IN} X_n > M \}$.[/mm]
>  
> Weiterhin [mm]\{ sup_{n \in \IN} X_n > M} = \{X_n > M[/mm] für
> mindestens ein [mm]n \in \IN \} = \{[/mm] für mindestens ein [mm]n \in \IN[/mm]
> tritt [mm]A_n ein \} = \bigcup_{n \in \IN} A_n = \bigcup_{n \in \IN} \{X_n > M \}[/mm]
>  
> Dann ist [mm]A = \bigcap_{i \in \IN} \bigcup_{n \ge i} A_n = \bigcap_{i \in \IN} \bigcup_{n \ge i} \{X_n > M\} = \bigcap_{i \in \IN} \{sup X_n > M \} = \{sup_{n \in \IN} X_n = \infty \}[/mm]
>  
> Stimmt das soweit?

Nein. Die beiden hinteren Gleichheiten stimmen i.A. nicht.

A soll der Limes superior der [mm] A_n [/mm] sein? Davon gehe ich im Folgenden aus.

Möglicherweise habe ich dich durch eine unglückliche Benennung der [mm] $A_n$ [/mm] ohne $M$ als Index zu verwenden verwirrt. Für festes jedes feste [mm] $M\in\IN$ [/mm] haben wir so eine Folge [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Mengen.


1. Auf die solltest du das Lemma von Borel-Cantelli anwenden. Warum ist es anwendbar und was erhältst du? [mm] ($\IP(A)=\ldots$) [/mm]
  

> Wie mache ich jetzt weiter? Ich komme irgendwie ständig
> mit der Verinigung und dem Schnitt durcheinander.

2. Zeige [mm] $A\subseteq \{\sup_{n\in\IN}X_n>M\}=:B_M$. [/mm]

3. Also [mm] $\IP(B_M)=\ldots$. [/mm]

Bis hierhin haben wir ein festes [mm] $M\in\IN$ [/mm] betrachtet, um [mm] $\IP(B_M)$ [/mm] zu bestimmen. Ab jetzt betrachten wir die [mm] $B_M$ [/mm] für verschiedene [mm] $M\in\IN$ [/mm] (und vergessen somit unsere Ereignisse [mm] $A_n$ [/mm] und A, die von einem festen $M$ abhingen).

4. Mit [mm] $B:=\{\sup_{n\in\IN}X_n=\infty\}=\bigcap_{M\in\IN}B_M$ [/mm] liefert die Stetigkeit nach unten von [mm] $\IP$ [/mm] wegen ..., dass [mm] $\IP(B)=\ldots$. [/mm]

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