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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 Mo 02.04.2012 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | Sei [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, \IP)$ [/mm] ein Maßraum. Sei [mm] $(X_n)$ [/mm] unabhängig.
z.z.: Ist [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \IP(X_n [/mm] > M) = [mm] \infty$ $\forall [/mm] M [mm] \in [/mm] N$, so gilt [mm] $sup_{n \in \IN}$ $X_n [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] |
Hallo, ich habe kleine Probleme mit obenstehender Aufgabe. Undzwar weiß ich zwar generell schon, was das Lemma von Borel-Cantelli aussagt, aber ich weiß irgendwie nicht, wie ich das $sup$ [mm] $X_n$ [/mm] dort einbringen soll.
Kann mir jemand weiterhelfen? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:24 Mo 02.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mija,
> Sei [mm](\Omega, \mathcal{F}, \IP)[/mm] ein Maßraum. Sei [mm](X_n)[/mm]
> unabhängig.
Ich gehe mal davon aus, dass nicht nur ein Maßraum, sondern ein Wahrscheinlichkeitsraum vorliegen soll.
> z.z.: Ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \IP(X_n > M) = \infty[/mm]
> [mm]\forall M \in N[/mm], so gilt [mm]sup_{n \in \IN}[/mm] [mm]X_n = \infty[/mm]
Am Schluss soll es wohl [mm] "$\IP$-fast-sicher" [/mm] heißen, sonst stimmt die Aussage nämlich nicht.
> Undzwar weiß ich zwar generell schon, was das Lemma von
> Borel-Cantelli aussagt, aber ich weiß irgendwie nicht, wie
> ich das [mm]sup[/mm] [mm]X_n[/mm] dort einbringen soll.
Wende Borel-Cantelli für festes [mm] $M\in\IN$ [/mm] auf die Ereignisse
[mm] $A_n:=\{X_n>M\}$
[/mm]
an.
Es gilt
[mm] $\{\sup_{n\in\IN}X_n=\infty\}=\bigcap_{M\in\IN}\{\sup_{n\in\IN}X_n>M\}$.
[/mm]
Weiterhin
[mm] $\{\sup_{n\in\IN}X_n>M\}=\{X_n>M\mbox{ für mindestens ein }n\in\IN\}=\{\mbox{für mindestens ein }n\in\IN \mbox{ tritt }A_n\mbox{ ein}\}$.
[/mm]
Reicht das schon an Tipps?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mo 02.04.2012 | | Autor: | Mija |
Ja, das mit dem W-Raum und dem [mm] $\IP$-fast [/mm] sicher stimmt.
Also..
Sei [mm] $A_n [/mm] := [mm] \{X_n > M \}$ [/mm] für $M [mm] \in \IN$.
[/mm]
Es gilt [mm] \{ sup_{n \in \IN} X_n = \infty \} [/mm] = [mm] \bigcap_{M \in \IN} \{sup_{n \in \IN} X_n > M \}$.
[/mm]
Weiterhin [mm] $\{ sup_{n \in \IN} X_n > M} [/mm] = [mm] \{X_n > M$ für mindestens ein $n \in \IN \} [/mm] = [mm] \{$ für mindestens ein $n \in \IN$ tritt $A_n ein \} [/mm] = [mm] \bigcup_{n \in \IN} A_n [/mm] = [mm] \bigcup_{n \in \IN} \{X_n > M \}$
[/mm]
Dann ist $A = [mm] \bigcap_{i \in \IN} \bigcup_{n \ge i} A_n [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in \IN} \bigcup_{n \ge i} \{X_n > M\} [/mm] = [mm] \bigcap_{i \in \IN} \{sup X_n > M \} [/mm] = [mm] \{sup_{n \in \IN} X_n = \infty \}$
[/mm]
Stimmt das soweit?
Wie mache ich jetzt weiter? Ich komme irgendwie ständig mit der Verinigung und dem Schnitt durcheinander.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mo 02.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Sei [mm]A_n := \{X_n > M \}[/mm] für [mm]M \in \IN[/mm].
>
> Es gilt [mm]\{ sup_{n \in \IN} X_n = \infty \}[/mm] = [mm]\bigcap_{M \in \IN} \{sup_{n \in \IN} X_n > M \}$.[/mm]
>
> Weiterhin [mm]\{ sup_{n \in \IN} X_n > M} = \{X_n > M[/mm] für
> mindestens ein [mm]n \in \IN \} = \{[/mm] für mindestens ein [mm]n \in \IN[/mm]
> tritt [mm]A_n ein \} = \bigcup_{n \in \IN} A_n = \bigcup_{n \in \IN} \{X_n > M \}[/mm]
>
> Dann ist [mm]A = \bigcap_{i \in \IN} \bigcup_{n \ge i} A_n = \bigcap_{i \in \IN} \bigcup_{n \ge i} \{X_n > M\} = \bigcap_{i \in \IN} \{sup X_n > M \} = \{sup_{n \in \IN} X_n = \infty \}[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Nein. Die beiden hinteren Gleichheiten stimmen i.A. nicht.
A soll der Limes superior der [mm] A_n [/mm] sein? Davon gehe ich im Folgenden aus.
Möglicherweise habe ich dich durch eine unglückliche Benennung der [mm] $A_n$ [/mm] ohne $M$ als Index zu verwenden verwirrt. Für festes jedes feste [mm] $M\in\IN$ [/mm] haben wir so eine Folge [mm] $(A_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Mengen.
1. Auf die solltest du das Lemma von Borel-Cantelli anwenden. Warum ist es anwendbar und was erhältst du? [mm] ($\IP(A)=\ldots$)
[/mm]
> Wie mache ich jetzt weiter? Ich komme irgendwie ständig
> mit der Verinigung und dem Schnitt durcheinander.
2. Zeige [mm] $A\subseteq \{\sup_{n\in\IN}X_n>M\}=:B_M$.
[/mm]
3. Also [mm] $\IP(B_M)=\ldots$.
[/mm]
Bis hierhin haben wir ein festes [mm] $M\in\IN$ [/mm] betrachtet, um [mm] $\IP(B_M)$ [/mm] zu bestimmen. Ab jetzt betrachten wir die [mm] $B_M$ [/mm] für verschiedene [mm] $M\in\IN$ [/mm] (und vergessen somit unsere Ereignisse [mm] $A_n$ [/mm] und A, die von einem festen $M$ abhingen).
4. Mit [mm] $B:=\{\sup_{n\in\IN}X_n=\infty\}=\bigcap_{M\in\IN}B_M$ [/mm] liefert die Stetigkeit nach unten von [mm] $\IP$ [/mm] wegen ..., dass [mm] $\IP(B)=\ldots$.
[/mm]
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