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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Di 14.01.2014 | | Autor: | HugATree |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Für $n,q,p\in\mathbb{N}$ mit $p+q=n$ zerlegen wir $\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q$. Es bezeichne $0_{\mathbb{R}^q}$ den Nullpunkt $0\in\mathbb{R}^q$. Zeigen Sie für $A\subset \mathbb{R}^p$:
$$A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}\in\mathcal{B}^n\Leftrightarrow A\in\mathcal{B}^p$$ |
Guten Abend zusammen,
ich hab leider ein Paar Probleme bei dieser Aufgabe.
Es scheint mir eigentlich logisch zu sein, dass das so gilt, jedoch habe ich Probleme das aufs Blatt zu bringen.
Also unser $A\subset\mathbb{R}^q$ hätte dann ja die Form:
$A=(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times (a_3,b_3)\times (a_4,b_4)\times... \times (a_p,b_p)$
Und somit hätten dann ja $A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}$ die Form:
$$A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}=(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times (a_3,b_3)\times (a_4,b_4)\times... \times (a_q,b_q)\times \underbrace{0\times 0\times ... \times 0}_{n-p(=q) \mbox{ mal}$$
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Schonmal vielen Dank und
Liebe Grüße
HugATree
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]n,q,p\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]p+q=n[/mm] zerlegen wir
> [mm]\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q[/mm]. Es bezeichne
> [mm]0_{\mathbb{R}^q}[/mm] den Nullpunkt [mm]0\in\mathbb{R}^q[/mm]. Zeigen Sie
> für [mm]A\subset \mathbb{R}^p[/mm]:
>
> [mm]A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}\in\mathcal{B}^n\Leftrightarrow A\in\mathcal{B}^p[/mm]
>
> Guten Abend zusammen,
>
> ich hab leider ein Paar Probleme bei dieser Aufgabe.
>
> Es scheint mir eigentlich logisch zu sein, dass das so
> gilt, jedoch habe ich Probleme das aufs Blatt zu bringen.
>
> Also unser [mm]A\subset\mathbb{R}^q[/mm]
es ist [mm]A\subset\mathbb{R}^p[/mm]
> hätte dann ja die Form:
>
> [mm]A=(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times (a_3,b_3)\times (a_4,b_4)\times... \times (a_p,b_p)[/mm]
Nein. Wieso sollte A ein offenes Intervall im [mm] \IR^p [/mm] sein ???
>
> Und somit hätten dann ja [mm]A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}[/mm] die
> Form:
> [mm]A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}=(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times (a_3,b_3)\times (a_4,b_4)\times... \times (a_q,b_q)\times \underbrace{0\times 0\times ... \times 0}_{n-p(=q) \mbox{ mal}[/mm]
>
> Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
Zu [mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Sei [mm] A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}\in\mathcal{B}^n.
[/mm]
Definiere die Abbildung [mm] f:\IR^p \to \IR^n [/mm] durch [mm] f(x):=(x,0_{\mathbb{R}^q}).
[/mm]
Zeige:
1. f ist [mm] \mathcal{B}^p [/mm] - [mm] \mathcal{B}^n [/mm] - messbar.
2. [mm] A=f^{-1}( A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}).
[/mm]
Zu [mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Sei [mm] A\in\mathcal{B}^p.
[/mm]
Definiere die Abbildung g: [mm] \IR^n \to \IR^p [/mm] durch g(x,y):=x (x [mm] \in \IR^p, [/mm] y [mm] \in \IR^q).
[/mm]
Definiere die Abbildung h: [mm] \IR^n \to \IR^p [/mm] durch h(x,y):=y (x [mm] \in \IR^p, [/mm] y [mm] \in \IR^q).
[/mm]
Zeige:
1. g ist [mm] \mathcal{B}^n [/mm] - [mm] \mathcal{B}^p [/mm] - messbar.
2. h ist [mm] \mathcal{B}^n [/mm] - [mm] \mathcal{B}^q [/mm] - messbar.
3. [mm] A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}=g^{-1}(A) \cap h^{-1}(\{0_{\mathbb{R}^q} \})
[/mm]
FRED
>
> Schonmal vielen Dank und
> Liebe Grüße
> HugATree
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mi 15.01.2014 | | Autor: | HugATree |
Hallo fred,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
> > Also unser [mm]A\subset\mathbb{R}^q[/mm]
>
> es ist [mm]A\subset\mathbb{R}^p[/mm]
>
> > hätte dann ja die Form:
> >
> > [mm]A=(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times (a_3,b_3)\times (a_4,b_4)\times... \times (a_p,b_p)[/mm]
>
> Nein. Wieso sollte A ein offenes Intervall im [mm]\IR^p[/mm] sein
> ???
Ja, das ist natürlich quatsch, da habe ich nicht nachgedacht.
>
>
> >
> > Und somit hätten dann ja [mm]A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}[/mm] die
> > Form:
> > [mm]A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}=(a_1,b_1)\times (a_2,b_2)\times (a_3,b_3)\times (a_4,b_4)\times... \times (a_q,b_q)\times \underbrace{0\times 0\times ... \times 0}_{n-p(=q) \mbox{ mal}[/mm]
>
> >
> > Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
>
>
> Zu [mm]"\Rightarrow":[/mm]
>
> Sei [mm]A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}\in\mathcal{B}^n.[/mm]
>
> Definiere die Abbildung [mm]f:\IR^p \to \IR^n[/mm] durch
> [mm]f(x):=(x,0_{\mathbb{R}^q}).[/mm]
>
> Zeige:
>
> 1. f ist [mm]\mathcal{B}^p[/mm] - [mm]\mathcal{B}^n[/mm] - messbar.
>
> 2. [mm]A=f^{-1}( A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}).[/mm]
Ich habe mich nun daran versucht:
zu 1.
f ist eine stetige Abbildung zwischen den beiden metrischen Räumen [mm] $(\mathbb{R}^p,d),(\mathbb{R}^n,d)$ [/mm] (d Standardmetrik).
Eine solche Abbildung ist immer messbar (hier [mm]\mathcal{B}^p[/mm] - [mm]\mathcal{B}^n[/mm] - messbar).
Hier bin ich mir noch unsicher, ob ich noch weiteres zeigen muss?!
2. [mm]f^{-1}( A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\})=\{x\in\mathbb{R}^p|\;f(x)\;\in A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}\}[/mm]
[mm] $=\{x\in\mathbb{R}^p|(x,0_{\mathbb{R}^p})\in A\times\{0_{\mathbb{R}^p}\}\} =\{x\in\mathbb{R}^p | x\in A\}=A$
[/mm]
Da f nach 1. messbar, folgt: [mm] $f^{-1}( A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\})=A\in\mathcal{B}^p$ [/mm] für alle [mm] $A\times\{0_{\mathbb{R}^q}\}\in\mathcal{B}^n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow A\in\mathcal{B}^p$
[/mm]
Ist das in Ordnung so?
Die Rückrichtung schreibe ich hier auf sobald ich Sie habe.
Vielen Dank
HugATree
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mi 15.01.2014 | | Autor: | goupher |
Ja, deine Antwort ist soweit richtig,also die Richtung die du bearbeitet hast.
Du solltest aber beachten, das stetige Abbildungen nicht immer Messbar sind, da die Metrik keine Algebra induziert.
In dem Fall der Borell-Algebra ist das aber durchaus der Fall.
Du solltest vieleicht auch noch kurz erwähnen warum f überhaupt stetig ist.
Deshalb fand ich auch deinen Ansatz, mit den offenen Mengen gar nicht so schlecht, du hättest A aber als Teilmenge der von den offenen Mengen erzeugten Sigma Algebra voraussetzen müssen, was aber um einiges komplizierter ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:24 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, deine Antwort ist soweit richtig,also die Richtung die
> du bearbeitet hast.
>
> Du solltest aber beachten, das stetige Abbildungen nicht
> immer Messbar sind, da die Metrik keine Algebra induziert.
Doch ! Ist X ein metrischer Raum und [mm] \mathcal{O} [/mm] das System der in X offenen Mengen, so hat man die von [mm] \mathcal{O} [/mm] erzeugte [mm] \sigma [/mm] - Algebra, die Borelsche [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf X.
Wahrscheinlich hast Du folgendes gemeint: Ist X eine nichtleere Menge und [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf X, so muss es auf X keine Metrik geben, sodass [mm] \mathcal{A} [/mm] von den X-offenen Mengen erzeugt ist.
> In dem Fall der Borell-Algebra
Borel und nicht Borell !
> ist das aber durchaus der
> Fall.
> Du solltest vieleicht auch noch kurz erwähnen warum f
> überhaupt stetig ist.
>
> Deshalb fand ich auch deinen Ansatz, mit den offenen Mengen
> gar nicht so schlecht, du hättest A aber als Teilmenge der
> von den offenen Mengen erzeugten Sigma Algebra voraussetzen
> müssen, was aber um einiges komplizierter ist.
Das verstehe ich nun gar nicht !?
FRED
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