Borel Cantelli < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Mo 07.07.2014 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | | [mm] (X_{n}) [/mm] i.i.d random variables. Prove: [mm] \bruch{X_{n}}{n} \to [/mm] 0 a.s. (almost surely) [mm] \gdw E[|X_{1}|]<\infty [/mm] |
Hallo,
ich hab den Lösungsweg zu obiger Aufgabe vor mir liegen, verstehe aber einen Schritt nicht.
Also zur Lösung:
[mm] "\bruch{X_{n}}{n} \to [/mm] 0 a.s. [mm] \Rightarrow \forall \epsilon>0: \bruch{|X_{n}|}{n}>\epsilon [/mm] for finitely many n. [mm] X_{n} [/mm] are independent, so by 2th Borel Cantelli lemma [mm] \summe_{n=1}^{\infty}{P(|X_{n}|\ge\epsilon*n)}<\infty [/mm] ..."
Der erste Schritt ist noch verständlich, aber wie wendet man da das zweite Borel Cantelli Lemma an? Kann mir das jemand erklären?
Danke
LG
petpahn
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Hiho,
ich beantworte dir mal deine Frage, habe dann aber selbst eine 
Du hast: [mm] $\forall \epsilon>0: \bruch{|X_{n}|}{n}>\epsilon$ [/mm] for finitely many n
Nennen wir das n, für dass das nicht mehr gilt mal [mm] $n_0$, [/mm] dann gilt also für [mm] $n\ge n_0$:
[/mm]
[mm] $\bruch{|X_{n}|}{n}\le\epsilon$
[/mm]
Oder anders geschrieben: [mm] $P(\bruch{|X_{n}|}{n}>\epsilon) [/mm] = 0$
Und damit:
[mm] $\summe_{n\ge 1} P\left( \bruch{|X_{n}|}{n}>\epsilon\right) [/mm] = [mm] \summe_{n\epsilon\right) [/mm] + [mm] \summe_{n\ge n_0} P\left( \bruch{|X_{n}|}{n}>\epsilon\right) [/mm] = [mm] \summe_{n\epsilon\right) [/mm] + 0 = [mm] \summe_{n\epsilon\right) [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Wende nun Borel-Cantelli an auf [mm] $A_n [/mm] = [mm] \{|X_n| > n\epsilon\}$
[/mm]
Nun aber meine Frage: Du schreibst
> Der erste Schritt ist noch verständlich
Dann erkläre ihn mir mal doch bitte, so klar ist mir der Schritt nämlich gar nicht.
Gruß,
Gono.
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Hiho,
wo hast du die Aussage her? Sie ist meiner Meinung nach falsch (was auch meine Zweifel deiner "klaren" Aussage vorhin begründet).
Gegenbeispiel: Seien [mm] X_n [/mm] unabhängige ![[]](/images/popup.gif) Standard-Cauchy-verteilte ZV, dann gilt:
[mm] $P\left(\bruch{X_n}{n} < \varepsilon\right) [/mm] = [mm] P\left(X_n < n*\varepsilon\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi}\arctan(n\varepsilon) \to [/mm] 1$
D.h. [mm] \bruch{X_n}{n} \to [/mm] 0 stochastisch
[mm] \Rightarrow \bruch{X_n}{n} \to [/mm] 0 a.s für eine TF [mm] $n_k$.
[/mm]
Jetzt haben wir also:
[mm] X_{n_k} [/mm] Folge von iid ZV, [mm] E[|X_1|] [/mm] = [mm] \infty, \bruch{X_{n_k}}{n_k} \to [/mm] 0 a.s
Also ein Gegenbeispiel deiner Aufgabe.
Gruß,
Gono.
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