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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:36 Di 13.06.2006 | | Autor: | sky |
| Aufgabe | Seien A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] und B [mm] \subseteq \IR^m. [/mm] Zeige, dass A [mm] \times [/mm] B genau dann eine Borel-Teilmenge von [mm] {\IR^n } \times {\IR^m} [/mm] = [mm] \IR^{n+m } [/mm] ist, wenn A und B Borel sind.
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Ich habe Keine Ahnung, wie man diese Aufgabe lösen kann. Ich weiss nur dass hier zu zeigen ist: A [mm] \in [/mm] Bor( [mm] \IR^n [/mm] ) und B [mm] \in [/mm] Bor( [mm] \IR^n [/mm] ) [mm] \gdw [/mm] A [mm] \times [/mm] B [mm] \in [/mm] Bor( [mm] \IR^{n+m} [/mm] ).Für jeden kleinen Hinweis werde ich sehr dankbar sein.
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Hallo,
ich versuche einfach mal einen Lösungsansatz:
Die Borel-Mengen sind ja genau die Elemente des Boole'schen Abschlusses (bezüglich Schnitt, Vereinigung und Komplement) der offenen
Mengen. Wenn nun A und B Borel sind, gibt es also eine ''Ableitung'' dieser Mengen aus offenen Teilmengen des [mm] \IR^n [/mm] mittels iterierter
Anwendung der Operationen [mm] \cap, \cup [/mm] und Komplement.
Nun würde ich versuchen zu zeigen, dass wir diese Operationen simultan anwenden können, d.h. zB für [mm] A_i\subseteq \IR [/mm] offen ist ja
[mm] A_i\times\IR [/mm] offen in [mm] \IR\times \IR, [/mm] und dann entspräche zB [mm] A_1\cap B_1 [/mm] der Operation [mm] (A_1\times\IR)\cap (A_2\times \IR).
[/mm]
So wúrd ich das probieren, also eine Art Induktionsbeweis über die Länge der ''Ableitungen''.
Viele Grüße,
just-math
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Fr 16.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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