Borelsche Sigma-Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Sa 16.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] I_n:=\{(a,b]|a, b\in \IR^n\} [/mm] der Semiring der halboffenen Quader in [mm] \IR^n [/mm] und [mm] B_n [/mm] die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] in [mm] \IR^n [/mm] sowie [mm] F(I_n) [/mm] die von [mm] I_n [/mm] erzeugte [mm] \sigma-Algebra. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] F(I_n)=B_n [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo MatheRaum-Team,
ich könnte mir vorstellen, dass die Aufgabe mittels Induktion über n gelöst werden könnte, bin mir da aber nich so ganz sicher. Aber selbst wenn, steh ich hier absolut im Dunkeln und wäre für jedwede Hilfe dankbar.
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Hiho,
erstmal: Wie ist denn die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] bei euch definiert?
Da die übliche Vorgehensweise ist, einen Erzeuger dafür anzugeben (bspw. alle offenen Mengen, alle offenen Quader, etc etc) läufts meist analog.
1.) Zeige, die Erzeuger der Borelalgebra liegen in [mm] F(I_n) \Longrightarrow B_n \subset F(I_n) [/mm] (warum?)
2.) Zeige [mm] I_n \in B_n \Longrightarrow F(I_n) \subset B_n [/mm] (warum?)
Naja, die Gleichheit ist dann klar.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 So 17.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Gutem Morgen,
ers mal vielen Dank für die prompte Antwort. Nun die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] wurde bei uns definiert als die von allen offenen Mengen des Raumes [mm] \IR^n [/mm] erzeugte [mm] \sigma-Alegbra.
[/mm]
Die Vorgehensweise hast du ja schon erläutert, jedoch wäre ein Tipp wie man das zeigt durchaus hilfreich, da ich im Moment keine Idee habe wie dies zu bewerkstelligen ist.
Es ist mir auch nicht ganz klar wieso es ausreicht jeweils zu zeigen, dass die Erzeuger in [mm] B_n [/mm] bzw. [mm] F(I_n) [/mm] liegen. Ich bedanke mich schon mal für etwaige Tipps und Erklärungen. Besten Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 So 17.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
betrachte zum Beispiel eine offene Menge, die kann man schreiben als Vereinigung offener Menge und dass wiederum als Vereinigung offener Quader und die sind natürlich Teilmenge der halboffenen, was folgt daraus?
dann noch die Andere Richtung.
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mo 18.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hallo vivo,
ich hab inzwischen verstanden warum es reicht, wenn ich zeige, dass folgendes gilt:
i) [mm] I_n \subseteq B_n=F(O_n), [/mm] wobei [mm] O_n [/mm] die Menge aller offenen Mengen in [mm] \IR^n [/mm] ist
ii) [mm] O_n \subseteq F(I_n)
[/mm]
Es fehlt mir allerdings der richtige Ansatz. Wie gehe ich nun am besten vor?
Ich wähle mir ein belibeiges Element aus [mm] I_n [/mm] und zeige, dass das in [mm] B_n [/mm] liegt nur wie da tu ich mich im Moment etwas schwer. Danke schon mal für die Hilfe.
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Hiho
> Ich wähle mir ein belibeiges Element aus [mm]I_n[/mm] und zeige,
> dass das in [mm]B_n[/mm] liegt
Soweit so gut.
Und zwar musst du zeigen, dass du das Element aus [mm] I_n [/mm] als abzählbare Vereinigung oder abzählbarer Schnitt von Elementen aus [mm] B_n [/mm] erzeugen kannst.
Also lässt sich (a,b] darstellen als [mm]\bigcap_{i=1}^{\infty}O_n[/mm]
Letztlich reicht es aus sich das für [mm] \IR [/mm] zu überlegen.
Wie kannst du (a,b] als Schnitt offener Intervalle darstellen?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 18.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey Gonzo,
ers mal herzlichen Dank. Also ich hab mir jetz mal mit deinem Tipp folgendes überlegt:
i) Sei [mm] (a,b]\in I_n [/mm] beliebig.
[mm] (a,b]=\bigcap_{k=1}^{\infty} (a,b-\bruch{1}{k})\in F(O_n)=B_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow I_n\in B_n
[/mm]
[mm] \Rightarrow F(I_n)\subseteq F(B_n)=F(F(O_n))=F(O_n)=B_n
[/mm]
ii) Sei [mm] (c,d)\in O_n [/mm] beliebig.
[mm] (c,d)=\bigcup_{c\le r
[mm] \Rightarrow O_n\in F(I_n)
[/mm]
[mm] \Rightarrow F(O_n)\subseteq F(F(I_n))=F(I_n)
[/mm]
Mit i) und ii) folgt schließlich: [mm] F(I_n)=B_n
[/mm]
Sind diese Überlegungen in Ordnung oder kann ich das nicht so einfach hinschreiben? Danke schon mal.
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> i) Sei [mm](a,b]\in I_n[/mm] beliebig.
>
> [mm](a,b]=\bigcap_{k=1}^{\infty} (a,b-\bruch{1}{k})\in F(O_n)=B_n[/mm]
[mm] \bigcap_{k=1}^{\infty} (a,b-\bruch{1}{k}) [/mm] = (a,b-1) und nicht (a,b].
Ist nur nen kleinen Fehler aber vielleicht findest du ihn ja allein 
> [mm]\Rightarrow I_n\in B_n[/mm]
> [mm]\Rightarrow F(I_n)\subseteq F(B_n)=F(F(O_n))=F(O_n)=B_n[/mm]
Hm, zu lang.
Du weisst nun [mm] I_n \in B_n. F(I_n) [/mm] ist die KLEINSTE [mm] \sigma-Algebra, [/mm] die [mm] I_n [/mm] enthält, [mm] B_n [/mm] ist ebenfalls eine [mm] \sigma-Algebra, [/mm] also gilt? 
> [mm](c,d)=\bigcup_{c\le r
Das kannst du so nicht schreiben, weil du hier eine überabzählbare Vereinigung bildest. Greif lieber auf das [mm] \bruch{1}{k} [/mm] zurück, damits abzählbar bleibt, aber die Idee ist richtig.
Und eine kleine Anmerkung. Habt ihr [mm] B_n [/mm] definiert als die durch alle offenen Intervalle der Form (a,b) erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] oder durch alle offenen Mengen?
Wenn zweiteres ist, gehts nicht so einfach, weil nicht jede offene Menge von der Form (a,b) ist.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 18.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay dann versuch ichs also nochmal:
i) [mm] (a,b]=\bigcap_{k=1}^{\infty} (a,b+\bruch{1}{k})\in F(O_n)=B_n
[/mm]
Ich bin der Meinung, dass dies nun so stimmen muss, lasse mich aber gerne belehren. Aber wie sollte man das anders schreiben?
ii) [mm] (c,d)=\bigcup_{k=1}^{\infty} (c,d-\bruch{1}{k}]\in F(I_n)
[/mm]
Stimmt dies so? Oder muss ich doch noch was überarbeiten?
Achja ich fürchte wir haben die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] über die offenen Mengen definiert. Wie soll ich nun vorgehen?
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> Okay dann versuch ichs also nochmal:
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> i) [mm](a,b]=\bigcap_{k=1}^{\infty} (a,b+1-\bruch{1}{k})\in F(O_n)=B_n[/mm]
Nein, das wäre (a,b) und nicht (a,b].
Überlege dir mal anschaulich was du tust.
Momentan startest du bei (a,b) und kriegst immer grössere Intervalle, da [mm] \bruch{1}{k} [/mm] ja immer kleiner wird.
Diese schneidest du dann mit dem kleineren Intervall (a,b) und da kommt immer wieder (a,b) raus.
In Worten mal, was du machen willst: Du willst abzählbar viele Intervalle schneiden, die alle das Intervall (a,b] als TEILMENGE enthalten, selbst aber offen sind, d.h. du musst dir GRÖSSERE Intervalle wählen als (a,b]..... und das werden sie nunmal nicht, wenn du bei b was abziehst.
> ii) [mm](c,d)=\bigcup_{k=1}^{\infty} (c,d-\bruch{1}{k}]\in F(I_n)[/mm]
>
> Ist dies nun so in Ordnung oder muss ich noch was
> überarbeiten?
>
> Achja ich fürchte wir haben die Borelsche [mm]\sigma-Algebra[/mm]
> über die offenen Mengen definiert. Wie soll ich nun
> vorgehen?
Dazu hatte vivo ja schon was gesagt:
"betrachte zum Beispiel eine offene Menge, die kann man schreiben als Vereinigung offener Menge und dass wiederum als Vereinigung offener Quader"
Schau mal in deine Aufzeichnungen, da habt ihr bestimmt was dazu gemacht, wie man offene Mengen darstellen kann
MfG,
Gono.
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