Borelsche sigma Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei N [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR^{\IN}, [/mm] sowie [mm] \mathcal{A}:=\mathcal{B}(\IR^{\IN}) [/mm] die Borelsche Sigma Algebra auf [mm] \IR^{\IN}.
[/mm]
Für n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] (i_{1},...,i_{n}) \in [/mm] ( [mm] 1,...N)^{n} [/mm] und [mm] w=(w_{i},...w_{N}) \in \Omega [/mm] setzen wir
[mm] \pi_{{i_{1}},...,{i_{n}}}: \Omega \to \IR^{n}
[/mm]
[mm] \pi_{{i_{1}},...,{i_{n}}}(w) [/mm] := [mm] (w_{i_{1}},...w_{i_{n}})
[/mm]
Für n= 0 setzen wir [mm] \pi_{{i_{1}},...,{i_{n}}}(w) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
Zwei Elemente [mm] w^{1} ,w^{2}\in \Omega [/mm] heißen gleich bis zur Zeit
n [mm] \in \IN, [/mm] wenn gilt
[mm] \pi_{{i_{1}},...,{i_{n}}}(w^{1} [/mm] ) = [mm] \pi_{{i_{1}},...,{i_{n}}}(w^{2})
[/mm]
Wir schreiben hierfür [mm] w^{1}=_{n} w^{2}
[/mm]
Für [mm] n\in \IN [/mm] setzen wir
[mm] \mathcal{B}_{n}:= [/mm] { [mm] B\in \mathcal{A} [/mm] | [mm] \forall w^{1} ,w^{2}\in \Omega [/mm] : [mm] w^{1}=_{n} w^{2} \Rightarrow( w^{1} \in [/mm] B [mm] \gdw w^{2} \in [/mm] B)}
Jetzt soll ich folgendes Zeigen!
b) Sei B [mm] \in \mathcal{B}_{n}. [/mm] Dann gilt
B = [mm] \pi_{{1},...,{n}}(B [/mm] ) [mm] \times \IR^{N-n} [/mm] und
[mm] \pi_{{1},...,{n}}(B [/mm] ) [mm] \in \mathcal{B}(\IR^{\IN})
[/mm]
Insbesondere gilt B = A [mm] \times \IR^{N-n} [/mm]
für ein A [mm] \in \mathcal{B} (\IR^{\IN})
[/mm]
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So ich habe mir jetzt schon enige Gedangen gemacht weiß aber nciht wie ich das hier verstehen soll
B = [mm] \pi_{{1},...,{n}}(B [/mm] ) [mm] \times \IR^{N-n} [/mm] das soll das kartesiche Produkt sein
okay schön und gut
[mm] \pi_{{1},...,{n}}(B [/mm] ) = [mm] (B_{1},..,B_{n} [/mm] )
[mm] \Rightarrow [/mm] B= [mm] (B_{1},..,B_{n} [/mm] ) [mm] \times \IR^{N-n} [/mm]
Jetzt weiß ich aber genau hier nicht weiter wie ich das jetzt verstehen soll !
Wie sieht denn [mm] \IR^{N-n} [/mm] jetz aus ?
Dann weiß ich ja noch das B [mm] \in \mathcal{B}_{n}
[/mm]
Aber wie genau sieht es dann aus?
Kann mir bitte irgendjemand helfen DANKE
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Fr 26.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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