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| Aufgabe | Die Differentialgleichung für die Lösung des Brachistochrone Problems lautet: [mm] c^2( 1+(u`(x))^2)u(x)=-1
[/mm]
Die Lösung soll in Parameterdarstellung angegeben werden und zwar als (x(t),u(t)). Dafür ist der Ansatz u(t)=-k(1-cos(t)) gegeben. |
Hallo,
ich überlege schon seit Tagen, wie ich aus der gegeben DGL und dem Ansatz x(t) bestimmen kann, aber ich komme nicht auf die Lösung. Ich weiß, dass x(t)=-k(t-sint) rauskommen muss, aber ich bekomme die Rechnung nicht hin.
Theoretisch muss ich u'(x) berechnen und in die DGL einsetzen und nach x'(t) auflösen, aber da kommt einfach nix sinnvolles raus.
Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Gruß, Sportsprinter
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> Die Differentialgleichung für die Lösung des
> Brachistochrone Problems lautet: [mm]c^2( 1+(u'(x))^2)u(x)=-1[/mm]
>
> Die Lösung soll in Parameterdarstellung angegeben werden
> und zwar als (x(t),u(t)). Dafür ist der Ansatz
> u(t)=-k(1-cos(t)) gegeben.
> Hallo,
>
> ich überlege schon seit Tagen, wie ich aus der gegeben DGL
> und dem Ansatz x(t) bestimmen kann, aber ich komme nicht
> auf die Lösung. Ich weiß, dass x(t)=-k(t-sint) rauskommen
> muss, aber ich bekomme die Rechnung nicht hin.
> Theoretisch muss ich u'(x) berechnen und in die DGL
> einsetzen und nach x'(t) auflösen, aber da kommt einfach
> nix sinnvolles raus.
> Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
>
> Gruß, Sportsprinter
Hallo,
dir ist schon klar, wie man die verschiedenen Ableitungen
(also nach x und nach t) ineinander umrechnet ?
Bezeichnen wir die Ableitungen nach x mit dem Ablei-
tungsstrich, die nach t mit Punkt. Dann ist
$\ [mm] u'(x)=\bruch{du}{dx}=\bruch{du}{dt}*\bruch{dt}{dx}=\bruch{\bruch{du}{dt}}{\bruch{dx}{dt}}=\bruch{\dot{u}(t)}{\dot{x}(t)}$
[/mm]
ob dies dein Problem schon löst ? ...
Gruß Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Fr 09.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
das ist zwar ganz richtig, aber so richtig lecker wird die Auflösung dann nicht.
Ich erhalte [mm] (\dot{x}(t))^2=\bruch{k^2\sin^2{t}*(1-\cos{t})}{\cos{t}+\bruch{1}{kc^2}-1}
[/mm]
Das sieht nicht vielversprechend aus. Ich suche gerade nach apokryphen Additionstheoremen und sonstigem Geheimwissen.
lg,
reverend.
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> Hallo Al,
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> das ist zwar ganz richtig, aber so richtig lecker wird die
> Auflösung dann nicht.
das hab ich auch nicht verheissen ... 
hatte noch nicht Zeit, mir das Ganze genauer anzuschauen !
LG Al
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Hallo ihr zwei,
danke für eure schnellen Antworten.
Das mit der Ableitung von u(x) hab ich auch schon probiert, aber bei mir sahs genauso scheußlich aus, deshalb konnte ich nicht weiterrechnen.
Wie soll ich denn da jemals auf die Lösung x(t)=k(t-sint) kommen?
Wäre super, wenn ihr noch weitere Ideen hättet!
Viele Grüße,
Sportsprinter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 15.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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