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Forum "stochastische Analysis" - Bracket Prozess
Bracket Prozess < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bracket Prozess: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:23 Mi 06.06.2012
Autor: physicus

Hallo zusammen

Ich habe eine Frage zum Bracket Prozess. Wir haben gezeigt, dass wenn $M$ ein stetige lokales Martingal ist, dann existiert ein adaptierter wachsender stetiger Prozess [mm] $\langle [/mm] M [mm] \rangle [/mm] $ so dass [mm] $M^2-\langle M\rangle [/mm] $ wieder ein lokal stetiges Martingal ist.

In diesem stetigen Fall, kann man [mm] $\langle [/mm] M [mm] \rangle [/mm] $ als Kovarianz von $M$ betrachten. Nun habe ich eine Frage. In Revuz / Yor wird folgende Gleichung angeschrieben (Seite 132, Beweis von Proposition 2.4, Kapitel 2)

$$ [mm] \langle K\cdot [/mm] M, [mm] K\cdot M\rangle [/mm] = [mm] K^2\cdot \langle M,M\rangle$$ [/mm]

Wieso gilt diese Gleichung [mm] ($\cdot$ [/mm] steht für stochastische Integral)? Ich weiss, dass nach dem Satz über stochastische Integrale folgendes gilt:

$$ [mm] \langle K\cdot [/mm] M, [mm] K\cdot M\rangle [/mm] = [mm] K\cdot \langle [/mm] M, [mm] K\cdot [/mm] M [mm] \rangle [/mm] $$

Aber der bracket prozess ist ja nicht symmetrisch, wieso darf ich dies auch auf den hinteren Faktor anwenden?

Meine zweite Frage betrifft nun das stochastische Exponential, d.h. die SDE

[mm] $$dZ_t [/mm] = [mm] Z_t dX_t$$ [/mm]

Wie kann ich nun einen Term der Form [mm] $d\langle Z_t\rangle [/mm] $ berechnen? Angeblich sollte dies folgendes geben:

[mm] $$d\langle Z_t\rangle [/mm] = [mm] Z_t^2d\langle X\langle_t$$ [/mm]

Danke für die Hilfe!

        
Bezug
Bracket Prozess: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:47 Sa 07.07.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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