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Brandenburg Analysis GK 2005: Vorkursaufgabe 2
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 14:26 Fr 02.11.2007
Autor: mathmetzsch

Zugelassene Hilfsmittel: Tafelwerk

Im Koordinatensystem sind einige Graphen $ [mm] K_a [/mm] $ der Funktionenschar $ [mm] f_a [/mm] $ mit

$ [mm] f_a(x)=x^3+(3-3a)\cdot{}x^2-3ax [/mm] $;      $ [mm] x\in \IR; a\in \IR [/mm] $

dargestellt.

1.1   Zeigen Sie, dass jeder Graph $ [mm] K_a [/mm] $ genau einen Wendepunkt

$ [mm] W_a(a-1|-2a^3+3a^2-3a+2) [/mm] $

besitzt.

1.2    Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente
(Tangente im Wendepunkt) an $ [mm] K_1 [/mm] $.

Ein Graph der Schar $ [mm] f_a [/mm] $ hat eine Wendetangente, deren Anstieg größer ist als der Ansteig aller anderen Wendepunkte an $ [mm] K_a [/mm] $.
Ermitteln Sie den zugehörigen Parameter a und geben Sie diesen größtmöglichen Anstieg an.


1.3   Ein Graph $ [mm] K_{\frac{3}{2}} [/mm] $ und die x-Achse begrenzen zwei Flächen vollständig.

Ermitteln Sie das Verhältnis der beiden Flächeninhalte.

Für eine Kurve $ [mm] K_a [/mm] $ sind die beiden beschriebenen Flächen gleich groß. Bestimmen Sie a.


        
Bezug
Brandenburg Analysis GK 2005: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Fr 02.11.2007
Autor: espritgirl

Guten Abend,

Eine weitere Aufgabe, bei der ich erneut (halb) passen muss...

> Im Koordinatensystem sind einige Graphen [mm]K_a[/mm] der
> Funktionenschar [mm]f_a[/mm] mit
>  
> [mm]f_a(x)=x^3+(3-3a)\cdot{}x^2-3ax [/mm];      [mm]x\in \IR; a\in \IR[/mm]
>  
> dargestellt.

Ich weiß, wie diese Scharen aussehen, aber gerechnet habe ich mit ihnen noch nie.

> 1.1   Zeigen Sie, dass jeder Graph [mm]K_a[/mm] genau einen
> Wendepunkt
>  
> [mm]W_a(a-1|-2a^3+3a^2-3a+2)[/mm]
>  
> besitzt.

Wie kommt man auf diesen Punkt?

> 1.2    Bestimmen Sie eine Gleichung der Wendetangente
>  (Tangente im Wendepunkt) an [mm]K_1 [/mm].

Ohje... Dafür gibt es eine Formel, die ich eigentlich auch kennen sollte. Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
  

> Ein Graph der Schar [mm]f_a[/mm] hat eine Wendetangente, deren
> Anstieg größer ist als der Ansteig aller anderen
> Wendepunkte an [mm]K_a [/mm].
>  Ermitteln Sie den zugehörigen
> Parameter a und geben Sie diesen größtmöglichen Anstieg
> an.

Hier muss ich leider komplett passen.

> 1.3   Ein Graph [mm]K_{\frac{1}{2}}[/mm] und die x-Achse begrenzen
> zwei Flächen vollständig.

  

> Ermitteln Sie das Verhältnis der beiden Flächeninhalte.

Muss man hier mit Integralrechnung rechnen? Auch die hatten wir noch nicht :-(

> Für eine Kurve [mm]K_a[/mm] sind die beiden beschriebenen Flächen
> gleich groß. Bestimmen Sie a.

Leider auch hier: ich kann die Aufgabe nicht rechnen.


Liebe Grüße,

Sarah :-)  

Bezug
                
Bezug
Brandenburg Analysis GK 2005: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Fr 02.11.2007
Autor: MontBlanc

Hi Sarah,

also ich weiß nicht inwieweit es mir zusteht hier Tipps zu geben, aber ich versuche es einfach mal :-).

Zu 1-1

Bei einer Kurvenschar ist es so, dass du unendlich viele Möglichkeiten hast, sie zu verändern, d.h. du kannst für a alles mögliche einsetzen und dementsprechend verändert sich der Graph.

Nun soll gezeigt werden, dass JEDE Schar den Wendepunkt [mm] W_a(a-1|-2a^3+3a^2-3a+2) [/mm] besitzt.

Wie berechnet man denn einen stink-normalen Wendepunkt ?

$f''(x)=0$ [mm] \wedge $f'''(x)\not=0$ [/mm]

Was anderes machst du hier auch nicht, nur musst du eben mit der zusätzlichen Variablen "a" rechnen. Das schaffst Du mit Sicherheit.

1-2

Hier sollte man zuerst einmal die Funktion für a=1 aufschreiben und sie (wenn möglich) mit einem Taschenrechner oder FunkyPlot oder so etwas plotten und ansehen. Der Wendepunkt ist ja dann ganz easy bestimmt.

Danach benutzt du die so genannte Punkt-Steigungsform einer Tangenten, die sieht so aus:

[mm] t(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})*(x-x_{0}) [/mm]

Für [mm] x_{0} [/mm] setzt du einfach den x-Wert deines Wendepunktes ein.

1-3

Ja das ist so eine Sache, hier bin ich mir selber noch nicht sicher. Habe die Aufgabe komplett gelöst, bis auf diesen Teil, das ist ein wenig knifflig, sowie ich weiter weiß, melde ich mich

1-4

Ja das ist Integralrechnung, wenn Du das noch nicht hattest, macht es wenig Sinn hier Tipps zu geben, da ist eine komplette Einführung wohl angebrachter :-)

Bis dahin,

Lg,

exeqter

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Bezug
Brandenburg Analysis GK 2005: sehr schön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:00 Fr 02.11.2007
Autor: crashby

Hey,


muss auch mal sagen, dass es sehr übersichtlich und gut gelöst wurde. Außerdem entschuldige ich mich,dass ich unseren Kursleiter noch nicht die Lösung geschickt habe, denn ich war arbeiten. Ich kann das gerne aber nochmal abtippen, wobei ich denke wir haben hiermit eine gute Lösung :)

schön Abend



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Bezug
Brandenburg Analysis GK 2005: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Fr 02.11.2007
Autor: MontBlanc

Guten Abend,

danke für die Blumen :-). Allerdings fehlt dabei ja noch Aufgabe 1-3.
Das kriegen wir noch hin.

EDIT: Mir kam gerade eine Idee und zwar folgende:

Man verzeihe mir im folgenden den Einsatz von MuPAD.

Man leitet die Funktion [mm] f_{a}(x) [/mm] ab und erhält f'_{a}(x). Nun setzt man die Koordinaten des Wendepunktes in die erste Ableitung ein, und erhält:

[mm] f'_{a}(x_{w})=-3*a^{2}+3*a-3 [/mm]

Jetzt definiert man diese Steigung als eigenständige Funktion g(a):

[mm] g(a)=3*a^{2}+3*a-3 [/mm]

Leitet sie ab:

$g'(a)=3-6*a$

Berechnet deren Nullstelle:

g'(a)=0 [mm] \gdw a=\bruch{1}{2} [/mm]



Also wird die Steigung maximal für [mm] a=\bruch{1}{2} [/mm]
Das kommt mir allerdings ein wenig komisch vor, denn damit musste oben schon gerechnet werden... Ich hoffe das ist kein völliger Schrott den ich da gemacht habe...


Schönen Abend noch und einen lieben Gruß,

exeqter

Bezug
                                        
Bezug
Brandenburg Analysis GK 2005: 1.3
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:44 Fr 02.11.2007
Autor: crashby

Hey exe,

Da mir ein Fehler beim abtippen passiert ist, sind die nächsten Zeilen für [mm]K_\frac{3}{2}[/mm]

Bei 1.3 kann man auch schön die Bruchrechnung verwenden :)

[mm]A_1=\frac{135}{64}[/mm]

[mm]A_2=\frac{27}{2}[/mm]

Damit ist das Verhältnis der Flächeninhalte:

[mm]A_1:A_2=\frac{135}{64}:\frac{27}{2}= 5:32[/mm]

So sieht das doch auch schön aus oder :) ?


Okay beim anderen willst ein Paar Tipps wie du auf den maximalen Anstieg kommst?

lg George

Bezug
                                                
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Brandenburg Analysis GK 2005: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Fr 02.11.2007
Autor: MontBlanc

Hey George,

das hab ich nicht gesehen, weil meine Ergebnisse für den Flächeninhalt so krumm waren, wie du oben siehst... Hab ich evtl. doch was falsch gemacht?

Lg

Bezug
                                                        
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Brandenburg Analysis GK 2005: einen Moment
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Fr 02.11.2007
Autor: crashby

Hey, moment bin grad von Arbeit, ich schaue gleich mal nach :-).
Ich schreibe es dann rein


sorry sorry ich habe in der Aufgabe ein kleinen Abtippfehler gemacht :( *geht in die Ecke*

Der graph [mm] K_\frac{3}{2}[/mm] müsste es lauten..ohje dannn stimmt deine Lösung

lg

Bezug
                                                                
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Brandenburg Analysis GK 2005: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:06 Fr 02.11.2007
Autor: MontBlanc

Hi,

hat sich ja nun erledigt. Also Aufgabe 1-2 bleibt noch übrig.. In meiner letzten Mitteilung habe ich einen Vorschlag gebracht. Wäre super, wenn sich den mal jemand ansehen könnte.


Lg

Bezug
                                        
Bezug
Brandenburg Analysis GK 2005: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 Fr 02.11.2007
Autor: crashby


> Guten Abend,
>  
> danke für die Blumen :-). Allerdings fehlt dabei ja noch
> Aufgabe 1-3.
>  Das kriegen wir noch hin.
>  
> EDIT: Mir kam gerade eine Idee und zwar folgende:
>  
> Man verzeihe mir im folgenden den Einsatz von MuPAD.
>  
> Man leitet die Funktion [mm]f_{a}(x)[/mm] ab und erhält f'_{a}(x).
> Nun setzt man die Koordinaten des Wendepunktes in die erste
> Ableitung ein, und erhält:
>  
> [mm]f'_{a}(x_{w})=-3*a^{2}+3*a-3[/mm]
>  
> Jetzt definiert man diese Steigung als eigenständige
> Funktion g(a):
>  
> [mm]g(a)=3*a^{2}+3*a-3[/mm]
>  
> Leitet sie ab:
>  
> [mm]g'(a)=3-6*a[/mm]
>  
> Berechnet deren Nullstelle:
>  
> g'(a)=0 [mm]\gdw a=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
>
>
> Also wird die Steigung maximal für [mm]a=\bruch{1}{2}[/mm]

Alles richtig! sehr schön.

Bleibt eine Frage übrig. Wie lautet der größtmögliche Anstieg?

lg George

Bezug
                                                
Bezug
Brandenburg Analysis GK 2005: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:40 Fr 02.11.2007
Autor: MontBlanc

Hi,

also wenn die Wendetangente die maximale Steigung für [mm] a=\bruch{1}{2} [/mm] hat, dann ist der Wendepunkt bei:

W(0,5/1)

[mm] f'(-0,5)=-\bruch{9}{4} [/mm]

[mm] 1+\bruch{-9}{4}*(x-0,5)=1+\bruch{-9}{4}*x+\bruch{9}{8}=\bruch{-9}{4}*x+\bruch{17}{8} [/mm]

Also ist der maximale Anstieg [mm] \bruch{-9}{4} [/mm]

Richtig ?

Lg

Bezug
                                                        
Bezug
Brandenburg Analysis GK 2005: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:44 Fr 02.11.2007
Autor: crashby


> Hi,
>  
> also wenn die Wendetangente die maximale Steigung für
> [mm]a=\bruch{1}{2}[/mm] hat, dann ist der Wendepunkt bei:
>  
> W(0,5/1)
>  
> [mm]f'(-0,5)=-\bruch{9}{4}[/mm]
>  
> [mm]1+\bruch{-9}{4}*(x-0,5)=1+\bruch{-9}{4}*x+\bruch{9}{8}=\bruch{-9}{4}*x+\bruch{17}{8}[/mm]
>  
> Also ist der maximale Anstieg [mm]\bruch{-9}{4}[/mm]
>  
> Richtig ?


Ja so ist richtig.

Man hätte es auch anders lösen können. Die Gleichung von oben ist ja eine Parabel die nach unten geöffnet ist. Es genügt also den Scheitelpunkt dieser Parabel zu bestimmen.

lg George


Bezug
        
Bezug
Brandenburg Analysis GK 2005: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:05 Fr 02.11.2007
Autor: crashby

hallo,

ich habe mich beim abtippen vertan...tut mir leid
Es muss so lauten:

>
> 1.3   Ein Graph [mm]K_{\frac{3}{2}}[/mm] und die x-Achse begrenzen
> zwei Flächen vollständig.
>  
> Ermitteln Sie das Verhältnis der beiden Flächeninhalte.
>  
> Für eine Kurve [mm]K_a[/mm] sind die beiden beschriebenen Flächen
> gleich groß. Bestimmen Sie a.
>  

lg crashylein

Bezug
                
Bezug
Brandenburg Analysis GK 2005: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:21 Fr 02.11.2007
Autor: MontBlanc

Hi,

auch die besten machen fehler :-). Nur lässt einen sowas am eigenen Verstand zweifeln :-D.

Lieber Gruß,

exeqter

Bezug
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