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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Für eine Funktion [mm] \phi: \IR \rightarrow \IR [/mm] die strikt konvex und differenzierbar ist im inneren von dom [mm] \phi, [/mm] definieren wir den Bregman-Abstand [mm] d_{\phi}: [/mm] dom [mm] \phi \times [/mm] int(dom [mm] \phi) \rightarrow \IR [/mm] :
[mm] d_{\phi}(x,y) [/mm] = [mm] \phi(x) [/mm] - [mm] \phi(y) [/mm] - [mm] \phi'(y)(x-y).
[/mm]
(i) Berechne [mm] d_{\phi} [/mm] für [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} t^2.
[/mm]
(ii) Beweise: [mm] d_{\phi}(x,y) \geq [/mm] 0, mit Gleichheit genau dann wenn x=y.
Ist [mm] d_{\phi} [/mm] eine Metrik für jedes [mm] \phi? [/mm] |
Hallo,
ich schätze es geht bei der Aufgabe eigentlich hauptsächlich darum diese Definition zu verwenden. Hab aber trotzdem ein paar Fragen dazu...
(i) Hab ich berechnet mit [mm] \phi'(y) [/mm] = y
[mm] d_{\phi}(x,y) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} x^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{2} y^2 [/mm] - y (x-y) = [mm] (\frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] x - [mm] \frac{1}{\sqrt{2}} y)^2.
[/mm]
Stimmt das so?
Was kann ich mir aber nun unter dem Abstand geometrisch vorstellen? Wie könnte man das skizzieren?
(ii) Hier hab ich überlegt, dass weil ja [mm] \phi [/mm] diffbar und strikt konvex gelten muss, dass
[mm] \phi(x) \geq \phi'(y) [/mm] (x-y) + [mm] \phi(y) [/mm] gilt, d.h. dass in jedem Punkt y der Graph von [mm] \phi [/mm] oberhalb der Tangente im Punkt y an [mm] \phi [/mm] verlaufen muss. Das kann man so sagen, oder?
Gut, dann ist es nur noch eine äquivalente Umformung und wir haben
[mm] \phi(x) [/mm] - [mm] \phi(y) [/mm] - [mm] \phi'(y)(x-y) \geq [/mm] 0
Jetzt weiß ich nur nicht mit der Aussage, dass Gleichheit genau dann wenn x=y ist gilt, also [mm] d_{\phi}(x,y) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x=y.
Zur Hinrichtung: Sei [mm] d_{\phi}(x,y) [/mm] = 0.
[mm] \gdw \phi(x) [/mm] - [mm] \phi(y) [/mm] = [mm] \phi'(x-y)
[/mm]
Warum gilt das nur wenn x=y ist?
Wäre super, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte, da steh ich echt auf dem Schlauch *help*
Liebe Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Di 06.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Für eine Funktion [mm]\phi: \IR \rightarrow \IR[/mm] die strikt
> konvex und differenzierbar ist im inneren von dom [mm]\phi,[/mm]
> definieren wir den Bregman-Abstand [mm]d_{\phi}:[/mm] dom [mm]\phi \times[/mm]
> int(dom [mm]\phi) \rightarrow \IR[/mm] :
> [mm]d_{\phi}(x,y)[/mm] = [mm]\phi(x)[/mm] - [mm]\phi(y)[/mm] - [mm]\phi'(y)(x-y).[/mm]
>
> (i) Berechne [mm]d_{\phi}[/mm] für [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]\frac{1}{2} t^2.[/mm]
>
> (ii) Beweise: [mm]d_{\phi}(x,y) \geq[/mm] 0, mit Gleichheit genau
> dann wenn x=y.
> Ist [mm]d_{\phi}[/mm] eine Metrik für jedes [mm]\phi?[/mm]
> Hallo,
> ich schätze es geht bei der Aufgabe eigentlich
> hauptsächlich darum diese Definition zu verwenden. Hab aber
> trotzdem ein paar Fragen dazu...
> (i) Hab ich berechnet mit [mm]\phi'(y)[/mm] = y
> [mm]d_{\phi}(x,y)[/mm] = [mm]\frac{1}{2} x^2[/mm] - [mm]\frac{1}{2} y^2[/mm] - y
> (x-y) = [mm](\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] x - [mm]\frac{1}{\sqrt{2}} y)^2.[/mm]
>
> Stimmt das so?
> Was kann ich mir aber nun unter dem Abstand geometrisch
> vorstellen? Wie könnte man das skizzieren?
>
> (ii) Hier hab ich überlegt, dass weil ja [mm]\phi[/mm] diffbar und
> strikt konvex gelten muss, dass
> [mm]\phi(x) \geq \phi'(y)[/mm] (x-y) + [mm]\phi(y)[/mm] gilt, d.h. dass in
> jedem Punkt y der Graph von [mm]\phi[/mm] oberhalb der Tangente im
> Punkt y an [mm]\phi[/mm] verlaufen muss. Das kann man so sagen,
> oder?
> Gut, dann ist es nur noch eine äquivalente Umformung und
> wir haben
> [mm]\phi(x)[/mm] - [mm]\phi(y)[/mm] - [mm]\phi'(y)(x-y) \geq[/mm] 0
>
> Jetzt weiß ich nur nicht mit der Aussage, dass Gleichheit
> genau dann wenn x=y ist gilt, also [mm]d_{\phi}(x,y)[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm]
> x=y.
> Zur Hinrichtung: Sei [mm]d_{\phi}(x,y)[/mm] = 0.
> [mm]\gdw \phi(x)[/mm] - [mm]\phi(y)[/mm] = [mm]\phi'(x-y)[/mm]
> Warum gilt das nur wenn x=y ist?
Die Richtung [mm] $x=y\implies d_{\phi}(x,y)=0$ [/mm] ist ja offensichtlich. Für die andere Richtung kannst du es mit einem Widerspruch probieren:
Angenommen, es gebe ein Paar [mm] $x\not=y$ [/mm] mit [mm] $d_{\phi}(x,y)=0$. [/mm] Dann folgt
[mm] \bruch{\phi(x)-\phi(y)}{x-y} = \phi'(y) [/mm].
Siehst du den Widerspruch?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Di 06.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
cool danke für deine Antwort. Achja, die Richtung für x=y [mm] \Rightarrow d_{\phi}(x,y) [/mm] = 0 ist klar.
Aber der Widerspruch der anderen Richtung ist mir noch nicht so klar, es gilt doch eigentlich
[mm] \phi'(y) [/mm] = [mm] \lim_{x \rightarrow y} \frac{\phi(x) - \phi(y)}{x-y} [/mm] ?
Ist das der Widerspruch, dass das ohne Grenzübergang so nicht stimmt?
Viele Grüße,
Riley
edit: ... und hast du mir noch einen Tipp, was (i) geometrisch bedeutet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Di 06.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
> cool danke für deine Antwort. Achja, die Richtung für x=y
> [mm]\Rightarrow d_{\phi}(x,y)[/mm] = 0 ist klar.
> Aber der Widerspruch der anderen Richtung ist mir noch
> nicht so klar, es gilt doch eigentlich
>
> [mm]\phi'(y)[/mm] = [mm]\lim_{x \rightarrow y} \frac{\phi(x) - \phi(y)}{x-y}[/mm]
> ?
>
> Ist das der Widerspruch, dass das ohne Grenzübergang so
> nicht stimmt?
[mm] $\phi$ [/mm] ist eine streng konvexe Funktion, und [mm]\frac{\phi(x) - \phi(y)}{x-y}[/mm] ist die Steigung der Sekante zwischen den Punkten [mm] $(x,\phi(x))$ [/mm] und [mm] $(y,\phi(y))$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Di 06.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ah, ich glaube ich fange an zu verstehen.
Da [mm] \phi [/mm] strikt konvex ist, muss ja gelten:
[mm] \frac{\phi(x) - \phi(y)}{x-y} [/mm] > [mm] \phi'(y).
[/mm]
Hab ich jetzt den Widerspruch erkannt?
Wie ist dieser 2.Teil der Aufgabe eigentlich zu verstehen. Muss ich zuerst zeigen, dass grundsätzlich [mm] d_{\phi}(x,y) \geq [/mm] 0 ist, und dann die genau dann wenn Aussage oder nur letzteres?
Viele Grüße & vielen Dank,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Di 06.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
> ah, ich glaube ich fange an zu verstehen.
> Da [mm]\phi[/mm] strikt konvex ist, muss ja gelten:
>
> [mm]\frac{\phi(x) - \phi(y)}{x-y}[/mm] > [mm]\phi'(y).[/mm]
> Hab ich jetzt den Widerspruch erkannt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie ist dieser 2.Teil der Aufgabe eigentlich zu verstehen.
> Muss ich zuerst zeigen, dass grundsätzlich [mm]d_{\phi}(x,y) \geq[/mm]
> 0 ist, und dann die genau dann wenn Aussage oder nur
> letzteres?
Du musst schon beides zeigen, denn die genau dann wenn Aussage liefert dir ja nicht das Vorzeichen von [mm] $d_\phi$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
okay cool, danke.
Dass [mm] d_{\phi} \geq [/mm] 0 ist, funktioniert doch mit dem gleichen Argument über die strikt Konvexität, oder? Hab oben das strikt nicht beachtet, aber aus [mm] \phi [/mm] strikt konvex folgt:
[mm] \phi(x) [/mm] > [mm] \phi'(y) [/mm] (x-y) + [mm] \phi(y) [/mm] , d.h. [mm] \phi(x)-\phi(y) [/mm] - [mm] \phi'(y) [/mm] (x-y) >0
und Gleichheit eben nur für x=y. Stimmt das dann so?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Do 08.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley,
> Dass [mm]d_{\phi} \geq[/mm] 0 ist, funktioniert doch mit dem
> gleichen Argument über die strikt Konvexität, oder? Hab
> oben das strikt nicht beachtet, aber aus [mm]\phi[/mm] strikt konvex
> folgt:
> [mm]\phi(x)[/mm] > [mm]\phi'(y)[/mm] (x-y) + [mm]\phi(y)[/mm] , d.h. [mm]\phi(x)-\phi(y)[/mm]
> - [mm]\phi'(y)[/mm] (x-y) >0
> und Gleichheit eben nur für x=y. Stimmt das dann so?
Das sieht gut aus.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Do 08.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
okay, danke! 
Dann bleibt nur noch die Frage, was [mm] d_{\phi}(x,y) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (x-y)^2 [/mm] geometrisch bedeutet? Irgendwie fehlt mir hier jegliche Vorstellung ;-(
Und die Frage ob [mm] d_{\phi} [/mm] für jedes [mm] \phi [/mm] eine Metrik ist? Ich vermute mal nur für konvexe [mm] \phi, [/mm] da ja für eine Metrik genau das gelten muss, was wir gezeigt haben, also d(x,y) [mm] \geq [/mm] 0 und gleich Null genau dannw wenn x=y.
Wir haben ja die strikte Konvexität genutzt um das zu zeigen, aber daraus kann man ja eigentlich nicht schließen dass es für nicht - konvexe Funktionen nicht gilt, oder? Wie muss man da dann rangehen?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Do 08.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Dann bleibt nur noch die Frage, was [mm]d_{\phi}(x,y)[/mm] =
> [mm]\frac{1}{2} (x-y)^2[/mm] geometrisch bedeutet? Irgendwie fehlt
> mir hier jegliche Vorstellung ;-(
Gute Frage.
Hmm, wenn ich [mm] $\phi(x)$ [/mm] als Taylorentwicklung von [mm] $\phi$ [/mm] um den Punkt $y$ darstelle, dann ist [mm]d_{\phi}(x,y)[/mm] Alles, was hinter dem linearen Term kommt.
> Und die Frage ob [mm]d_{\phi}[/mm] für jedes [mm]\phi[/mm] eine Metrik ist?
> Ich vermute mal nur für konvexe [mm]\phi,[/mm] da ja für eine Metrik
> genau das gelten muss, was wir gezeigt haben, also d(x,y)
> [mm]\geq[/mm] 0 und gleich Null genau dannw wenn x=y.
> Wir haben ja die strikte Konvexität genutzt um das zu
> zeigen, aber daraus kann man ja eigentlich nicht schließen
> dass es für nicht - konvexe Funktionen nicht gilt, oder?
Nimm doch einfach mal eine (strikt) konkave Funktion!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Fr 09.05.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
> Gute Frage.
>
> Hmm, wenn ich [mm]\phi(x)[/mm] als Taylorentwicklung von [mm]\phi[/mm] um den
> Punkt [mm]y[/mm] darstelle, dann ist [mm]d_{\phi}(x,y)[/mm] Alles, was hinter
> dem linearen Term kommt.
Hmm, und wie stellst du dir alles hinter dem linearen Term geometrisch vor?
> Nimm doch einfach mal eine (strikt) konkave Funktion!
Dann wäre doch [mm] d_{\phi}(x,y) [/mm] < 0 für x [mm] \not=y [/mm] , oder? Also keine Metrik.
Gibt es eigentlich Funktionen die weder konvex noch konkav sind...?!?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 Fr 09.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> Hi Rainer,
>
> > Gute Frage.
> >
> > Hmm, wenn ich [mm]\phi(x)[/mm] als Taylorentwicklung von [mm]\phi[/mm] um den
> > Punkt [mm]y[/mm] darstelle, dann ist [mm]d_{\phi}(x,y)[/mm] Alles, was hinter
> > dem linearen Term kommt.
>
> Hmm, und wie stellst du dir alles hinter dem linearen Term
> geometrisch vor?
Das ist der vertikale Abstand zwischen dem Graphen von [mm] $\phi$ [/mm] und der Tangenten an den Punkt [mm] $(y,\phi(y))$, [/mm] und zwar an der Stelle x.
> > Nimm doch einfach mal eine (strikt) konkave Funktion!
>
> Dann wäre doch [mm]d_{\phi}(x,y)[/mm] < 0 für x [mm]\not=y[/mm] , oder? Also
> keine Metrik.
Es gibt noch einen anderen Punkt: Eine Metrik ist a) symmetrisch: $d(x,y)=d(y,x)$ und b) erfüllt die Dreiecksungleichung. Ist [mm] $d_\phi(x,y)$ [/mm] für beliebige konvexe Funktionen symmetrisch?
> Gibt es eigentlich Funktionen die weder konvex noch konkav
> sind...?!?
Sinus und Cosinus zum Beispiel.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Riley |
HI Rainer,
dane für deine Hilfe. Ich hab die Symmetrieeigenschaft für [mm] \phi(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{4} t^4 [/mm] ausprobiert:
[mm] d_{\phi}(x,y) [/mm] = [mm] \frac{1}{4} x^4 [/mm] - [mm] xy^3 [/mm] + [mm] \frac{3}{4} y^4 [/mm] und
[mm] d_{\phi}(y,x) [/mm] = [mm] \frac{1}{4} y^4 [/mm] - [mm] x^3 [/mm] y + [mm] \frac{3}{4} x^4.
[/mm]
Ist also nicht erfüllt. Wie kann man denn die Funktionen für die es gilt finden? Kann man das überhaupt? Oder alle die für die es nicht eine Metrik ist?
Viele Grüße,
Riley
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Sa 10.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> dane für deine Hilfe. Ich hab die Symmetrieeigenschaft für
> [mm]\phi(t)[/mm] = [mm]\frac{1}{4} t^4[/mm] ausprobiert:
> [mm]d_{\phi}(x,y)[/mm] = [mm]\frac{1}{4} x^4[/mm] - [mm]xy^3[/mm] + [mm]\frac{3}{4} y^4[/mm]
> und
>
> [mm]d_{\phi}(y,x)[/mm] = [mm]\frac{1}{4} y^4[/mm] - [mm]x^3[/mm] y + [mm]\frac{3}{4} x^4.[/mm]
>
> Ist also nicht erfüllt. Wie kann man denn die Funktionen
> für die es gilt finden? Kann man das überhaupt? Oder alle
> die für die es nicht eine Metrik ist?
Setze die allgemeine Bedingung [mm]d_{\phi}(x,y)=d_{\phi}(y,x)[/mm] ein, und du bekommst eine Bedingung an die Funktion:
[mm] \bruch{\phi(x)-\phi(y)}{x-y} = \bruch{1}{2}(\phi'(x)+\phi'(y)) [/mm]
Mit anderen Worten: die Steigung der Sekanten zwischen zwei Punkten des Graphen von [mm] $\phi$ [/mm] ist immer der Mittelwert der Tangentensteigung in diesen Punkten. Für eine Gerade ist das sicher erfüllt. Im Moment fällt mir keine andere Kurve ein, für die es gilt...
Viele Grüße
Rainer
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