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Brownsche Bewegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:01 Di 22.05.2012
Autor: Fry

Hallo,

könnte mir jemand sagen, ob meine Ausführungen richtig sind? Es geht vor allem um die letzten Schritte.

[Dateianhang nicht öffentlich]

LG
Fry


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Brownsche Bewegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:46 So 03.06.2012
Autor: Gonozal_IX

Hi Fry,

warum ich dein Thema jetzt erst gesehen hab, ist mir ein Rätsel....

also die Doobsche Maximalungleichung geht nicht für [mm] $\sup_{t \ge 0}$, [/mm] sondern nur für [mm] \sup_{\{0 \le t \le n\}} [/mm]
Das ändert zwar nur geringfügig etwas, aber dein [mm] X_\infty [/mm] muss ja auch gar nicht existieren (und existiert auch nicht beim Exponentialmartingal).

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Brownsche Bewegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:24 So 03.06.2012
Autor: Fry


Hey Gono,

vielen Dank für deinen Beitrag! Das mit der Doobschen Ungleichung hab ich mir schon fast gedacht *seufz* Warum existiert denn [mm] M_{\infty} [/mm] nicht. Dachte gerade, dass OS-Theorem die Existenz sichert...

Irgendeine Idee, wie man die Argumentationslücke schließen könnte?

VG
Fry


Bezug
                        
Bezug
Brownsche Bewegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 So 03.06.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> vielen Dank für deinen Beitrag! Das mit der Doobschen
> Ungleichung hab ich mir schon fast gedacht *seufz* Warum
> existiert denn [mm]M_{\infty}[/mm] nicht. Dachte gerade, dass
> OS-Theorem die Existenz sichert...

Nein.
Das Exponentialmartingal geht [mm] $\IP$-f.s. [/mm] gegen Null.
Wäre das nun dein [mm] $M_\infty$, [/mm] so wäre Insbesondere $0 = [mm] E[M_\infty] [/mm] = [mm] E[M_0] [/mm] = 1$, was ein Widerspruch wäre.
  

> Irgendeine Idee, wie man die Argumentationslücke
> schließen könnte?

Ja.
Mach aus dem [mm] $\sup_{t \ge 0}$ [/mm] erstmal ein [mm] $\lim_{n\to\infty}\sup_{0 \le t \le n}$ [/mm] und überlege dann, warum du es aus dem [mm] \IP [/mm] herausziehen kannst.

Der Rest folgt dann mit deiner Argumentation und Doob analog.

MFG,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Brownsche Bewegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 So 03.06.2012
Autor: Fry

Hey Gono,

also ich würde das dann so machen:
[mm] $P(\lim_{n\to\infty}\sup_{0\le t\le n}X_n\ge e^{\varepsilon a}) [/mm]
[mm] \overset{(1)}{=} \lim_{n\to\infty} P(\sup_{0\le t\le n}X_n\ge e^{\varepsilon a}) [/mm]
[mm] =\lim_{n\to\infty} \mathbb E[X_n]e^{-\varepsilon a}\overset{(2)}{=}e^{-\varepsilon a}$ [/mm]

(1) wegen der Stetigkeit von oben
(2) da [mm] $\mathbb E[e^{\varepsilon B_n}]=e^{\frac{1}{2}\varepsilon^2n}$ [/mm]

Was hälst du davon?

LG
Fry



Bezug
                                        
Bezug
Brownsche Bewegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 So 03.06.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> (1) wegen der Stetigkeit von oben

[ok]

>  (2) da [mm]\mathbb E[e^{\varepsilon B_n}]=e^{\frac{1}{2}\varepsilon^2n}[/mm]

oder besser: [mm] $E[X_n] [/mm] = [mm] E[X_0] [/mm] = 1$, da [mm] X_n [/mm] Martingal

> Was hälst du davon?

(1) und (2) stimmen. Nur das Gleichheitszeichen dazwischen nicht. Das muss ein Ungleichungszeichen sein nach Doob. Nur welches? ;-)

MFG,
Gono.

Bezug
                                                
Bezug
Brownsche Bewegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:02 So 03.06.2012
Autor: Fry

Verstanden :),

ein groooßes Dankeschön!

LG
Fry


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