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Forum "stochastische Prozesse" - Brownsche Bewegung Inversion Z
Brownsche Bewegung Inversion Z < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Brownsche Bewegung Inversion Z: Prüfungsvorbereitung Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Do 28.07.2016
Autor: Rocky14

Aufgabe
Sei [mm] (B_t) [/mm] eine standardisierte Brownsche Bewegung (stBB). Dann ist der Prozess [mm] (Z_t) [/mm] gegeben durch [mm] Z_t=tB_{1/t} [/mm] falls t>0 und 0 falls t=0 wieder eine stBB.

Hallo Leute,
ich lerne gerade für eine mündliche Prüfung in Wtheorie 2 und verstehe obigen Beweis einfach nicht aus unserer Vorlesung. Kann mir hier vllt jemand helfen und mir den erklären?

Wir müssen überprüfen, ob der Prozess rechtsseitig stetig in 0 ist.
#Klar, da eine StBB stetig ist und für t>0 ist der Prozess offensichtlich stetig
Sei nun [mm] (t_n) [/mm] eine Folge aus [mm] [0,\infty) [/mm] mit [mm] t_n \rightarrow [/mm] 0, d.h. [mm] m_n [/mm] = [mm] \dfrac {1}{t_n} \rightarrow [/mm]  0.
Es gilt mit einem Teleskopsummenargument:
[mm] Z_t=tB_{1/t} [/mm] = [mm] \drfac {1}{\dfrac {1}{t_n} } \sum_{i=1}^{m_n} (B_i [/mm]  - [mm] B_{i-1}) [/mm] + drfac [mm] {1}{\dfrac {1}{t_n} } (B_{\dfrac {1}{t_n}}-B_{m_n}) [/mm]
Der 1. Teil (der mit der Summe) konvergiert gegen 0 nach dem starken Gesetz der großen Zahlen.
# Argumentation habe ich verstanden, also lasse ich das mal aus.
Ferner folgt:
[mm] \IP (sup_{n \in [n,n+1]} |B_u [/mm] - [mm] B_n| [/mm] > n [mm] \varepsilon) [/mm]
= [mm] \IP (sup_{u \in [0,1]} B_u [/mm]  > n [mm] \varepsilon) [/mm]
= 2 [mm] \IP(B_1 [/mm] > n [mm] \varepsilon) [/mm]
[mm] \le [/mm]  exp [mm] (-\dfrac{n^{2}\varepsilon^{2}}{2} [/mm] )
# Verstehe hier die Argumentation nicht. Vor allem: wie komme ich auf die Abschätzung mit der Exponentialfunktion?
Die Supermarkt sind messbar.
Mit dem Lemma von Borel-Cantelli folgt daraus, dass 1/n [mm] sup_{n \in [n,n+1]} |B_u [/mm] - [mm] B_n| \rightarrow [/mm]  0 fast sicher und somit [mm] Z_t \rightarrow [/mm]  0.
# Warum folgt damit jetzt die Behauptung?

Bin dankbar für jeden Hinweis. Zusätzlich muss man noch die Kovarianzstruktur nachrechnen, das habe ich verstanden und geschafft.
Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe!

        
Bezug
Brownsche Bewegung Inversion Z: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Mo 01.08.2016
Autor: huddel


> Sei [mm](B_t)[/mm] eine standardisierte Brownsche Bewegung (stBB).
> Dann ist der Prozess [mm](Z_t)[/mm] gegeben durch [mm]Z_t=tB_{1/t}[/mm] falls
> t>0 und 0 falls t=0 wieder eine stBB.
>  Hallo Leute,
> ich lerne gerade für eine mündliche Prüfung in Wtheorie
> 2 und verstehe obigen Beweis einfach nicht aus unserer
> Vorlesung. Kann mir hier vllt jemand helfen und mir den
> erklären?
>
> Wir müssen überprüfen, ob der Prozess rechtsseitig
> stetig in 0 ist.
> #Klar, da eine StBB stetig ist und für t>0 ist der Prozess
> offensichtlich stetig
>  Sei nun [mm](t_n)[/mm] eine Folge aus [mm][0,\infty)[/mm] mit [mm]t_n \rightarrow 0[/mm] , d.h. [mm]m_n[/mm] = [mm]\dfrac {1}{t_n} \rightarrow 0[/mm].

Hm, ich geh mal davon aus, du meinst [mm] $m_n$ $\to$ $\infty$ [/mm]

>  Es gilt mit einem Teleskopsummenargument:
>  [mm]Z_t=tB_{1/t}[/mm] = [mm]\drfac {1}{\dfrac {1}{t_n} } \sum_{i=1}^{m_n} (B_i[/mm] - [mm]B_{i-1})[/mm] + drfac [mm]{1}{\dfrac {1}{t_n} } (B_{\dfrac {1}{t_n}}-B_{m_n})[/mm]

Hier denke ich, dass du dich mit dem drfrac einfach nur verschrieben hast. Die gleichung ergibt so aber momentan noch nicht so viel Sinn.
1.: du hast links eine Abhängigkeit von $t$ rechts von [mm] $t_n$ [/mm]
2.: du hast vor den beiden Summanden ein [mm] $\frac{1}{t_n}$ [/mm] stehen, ich denke das sollte einfach nur ein [mm] $t_n$ [/mm] sein, das kommt wohl dadurch dass du eine doppelte dfrac-umgebung nutzt. Ist aber missverständlich.
3.: du hast [mm] $t_n$ [/mm] nicht weiter definiert. Damit kann es sein, dass [mm] $m_n$ [/mm] keine natürliche Zahl ist.
4.: so wie ich das sehe ist der 2. Summand per Definition $0$, [mm] $\frac{1}{t_n} [/mm] = [mm] m_n$ [/mm]

> Der 1. Teil (der mit der Summe) konvergiert gegen 0 nach
> dem starken Gesetz der großen Zahlen.

Genauer, das starke gesetzt sagt nur, dass das (wenn du [mm] $\frac{1}{t_n}$ [/mm] mit [mm] $t_n$ [/mm] austauschst und dann noch etwas sauberer arbeitest) gegen den Erwartungswert.

> # Argumentation habe ich verstanden, also lasse ich das mal
> aus.
>  Ferner folgt:
>  [mm]\IP (sup_{n \in [n,n+1]} |B_u[/mm] - [mm]B_n|[/mm] > n [mm]\varepsilon)[/mm]

ich denke das sollte $u [mm] \in [/mm] [0,1]$ heißten. Stichwort "stationäre Inkremente" [mm] $(B_t-B_s) \sim (B_{t-s}-B_0) \sim (B_{t-s})$ [/mm]

>  = [mm]\IP (sup_{u \in [0,1]} B_u[/mm]  > n [mm]\varepsilon)[/mm]

ich denke hier sollte noch ein Betrag um das [mm] $B_u$ [/mm] sein. damit ergibt die $2$ gleich auch sinn (Warum?)

>  = 2 [mm]\IP(B_1[/mm] > n [mm]\varepsilon)[/mm]

warum man hier nun das supremum wegwerfen kann ist mir nun nicht so klar, aber vllt fällt dir da ja noch was ein.

>  [mm]\le[/mm]  exp [mm](-\dfrac{n^{2}\varepsilon^{2}}{2}[/mm] )

Okey, hier hatte ich grad noch eine Antwort, aber die war murks. Muss ich mir nochmal gedanken drüber machen.

>  # Verstehe hier die Argumentation nicht. Vor allem: wie
> komme ich auf die Abschätzung mit der
> Exponentialfunktion?
>  Die Supermarkt sind messbar.
>  Mit dem Lemma von Borel-Cantelli folgt daraus, dass 1/n
> [mm]sup_{n \in [n,n+1]} |B_u[/mm] - [mm]B_n| \rightarrow[/mm]  0 fast sicher
> und somit [mm]Z_t \rightarrow[/mm]  0.
>  # Warum folgt damit jetzt die Behauptung?

Naja, zu zeigen war doch, dass $Z$ stetig in der $0$ ist. du hast gezeigt, dass [mm] $Z_{t_n}$ [/mm] für jede Nullfolge [mm] $t_n$ [/mm] gegen $0$ konvergiert, also folgenstetig ist (natürlich alles almost sure).

> Bin dankbar für jeden Hinweis. Zusätzlich muss man noch
> die Kovarianzstruktur nachrechnen, das habe ich verstanden
> und geschafft.

hm, ich frag trotzdem mal ganz doof: was hast du da denn alles gezeigt? (nicht den ganzen beweis, sondern nur die Aussagen)

>  Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe!

Ich hoffe ich konnte wenigstens ein bisschen helfen :)


Bezug
                
Bezug
Brownsche Bewegung Inversion Z: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 Mo 01.08.2016
Autor: huddel

nachtrag zum exp-term:

Betrachte:
[mm] $\int_y^\infty \exp(-\frac{x^2}{2})dx [/mm]

substituiere [mm] $\varphi(x) [/mm] = x+y$, dann gilt:

[mm] $\int_y^\infty \exp(-\frac{x^2}{2})dx [/mm] = [mm] $\int_{\varphi(0)}^\infty \exp(-\frac{x^2}{2})dx [/mm] = [mm] \int_0^\infty \exp(-\frac{(x+y)^2}{2})dx [/mm] = [mm] \int_0^\infty \exp( [/mm] - [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] - xy - [mm] \frac{y^2}{2})dx$ [/mm]

weiter gilt mit $0 [mm] \le \exp(-\frac{x^2}{2}) \le [/mm] 1$:

[mm] $\exp(\frac{y^2}{2}) \cdot \int_0^\infty \exp( [/mm] - [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] - xy - [mm] \frac{y^2}{2})dx [/mm] =  [mm] \int_0^\infty \exp( [/mm] - [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] - xy)dx [mm] \le \int_0^\infty \exp(- [/mm] xy)dx = - [mm] \frac{1}{y}\exp(-xy)\Bigr|_0^\infty [/mm] = 0 - (- [mm] \frac{1}{y})$ [/mm]

Folglich gilt:

[mm] $\int_y^\infty \exp(-\frac{x^2}{2})dx \le \frac{\exp(- \frac{y^2}{2})}{y}$ [/mm]

jetzt betrachtet man $y = n [mm] \varepsilon$ [/mm] und erhällt für $n [mm] \ge \frac{1}{\varepsilon}$, [/mm] dass

[mm] $\mathbb{P}(B_1 [/mm] > [mm] n\varepsilon) [/mm] = [mm] \int_{n\varepsilon}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-\frac{x^2}{2})dx \le \int_{n\varepsilon}^\infty \exp(-\frac{x^2}{2})dx \le \exp(- \frac{(n\varepsilon)^2}{2}) [/mm]

wo die $2$ nun hinverschwunden ist, weiß ich auch nicht so genau, aber konstanten ändern an der Konvergenz ja eh nichts.

LG
Huddel

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