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| Aufgabe | Zeige Konvergenz von:
n -> [mm] \infty [/mm] von [mm] a_n [/mm] = [mm] (\bruch{n+1}{n-1})^n [/mm] |
Hallo,
ich würde gerne auf (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] kommen, weil
e := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n
[/mm]
Ich habe also einfach eine Polynomdivision gemacht
(n+1):(n-1) = 1 + [mm] \bruch{2}{n-1}
[/mm]
Jetzt habe ich also
( 1 + [mm] \bruch{2}{n-1} )^n [/mm]
Ich dachte an eine "0 dazu addieren", aber bringt mich wohl nicht weiter. Was kann ich mit dem Bruch noch machen?
Zweite, wichtigere Frage: Muss ich hier eigentlich was machen? Macht es einen Unterschied, ob im Nenner jetzt n oder n-1 steht? Da n gege unendlich läuft, ist dieses -1 ja wohl kein Problem, oder? Theoretisch könnte da im Nenner auch [mm] n-10^6 [/mm] stehen, das wäre immer noch der gleiche Grenzwert. liegt alles in der Epsilon Umgebung. Von daher: Macht es Sinn, oder kann ich hier direkt als Ergebnis [mm] e^2 [/mm] schreiben, denn diese Folge konvergiert gegen [mm] e^2. [/mm]
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mi 23.11.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Zeige Konvergenz von:
> n -> [mm]\infty[/mm] von [mm]a_n[/mm] = [mm](\bruch{n+1}{n-1})^n[/mm]
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> Hallo,
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> ich würde gerne auf (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] kommen, weil
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> e := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm]
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> Ich habe also einfach eine Polynomdivision gemacht
> (n+1):(n-1) = 1 + [mm]\bruch{2}{n-1}[/mm]
Das ist super, man könnte auch "geschickt aufsplitten"
[mm] \frac{n+1}{n-1}=\frac{n-1+2}{n-1}=\frac{n-1}{n-1}+\frac{2}{n-1}=1+\frac{2}{n-1}
[/mm]
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> Jetzt habe ich also
>
> ( 1 + [mm]\bruch{2}{n-1} )^n[/mm]
>
> Ich dachte an eine "0 dazu addieren", aber bringt mich wohl
> nicht weiter. Was kann ich mit dem Bruch noch machen?
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> Zweite, wichtigere Frage: Muss ich hier eigentlich was
> machen? Macht es einen Unterschied, ob im Nenner jetzt n
> oder n-1 steht? Da n gege unendlich läuft, ist dieses -1
> ja wohl kein Problem, oder? Theoretisch könnte da im
> Nenner auch [mm]n-10^6[/mm] stehen, das wäre immer noch der gleiche
> Grenzwert. liegt alles in der Epsilon Umgebung. Von daher:
> Macht es Sinn, oder kann ich hier direkt als Ergebnis [mm]e^2[/mm]
> schreiben, denn diese Folge konvergiert gegen [mm]e^2.[/mm]
Das ist soweit ok, es ist in der Tat hier "irrelevant", ob im Nenner n oder n-1 steht.
Evtl wird es deutlicher, wenn du die Grenzvariable umdefinierst,
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n-1}\right)^{n}
[/mm]
ergibt, mit k=n-1
[mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{2}{k}\right)^{k+1}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{k\to\infty}\left[\left(1+\frac{2}{k}\right)^{k}\cdot\left(1+\frac{2}{k}\right)^{1}\right]
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{2}{k}\right)^{k}\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{2}{k}\right)^{1}
[/mm]
[mm] =e^{2}\cdot(1+0)
[/mm]
[mm] =e^{2}
[/mm]
> Vielen Dank im Voraus.
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Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:47 Mi 23.11.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo pc_doctor!
Es gilt
[mm] $\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}\longrightarrow\frac{e^1}{e^{-1}}=e^2$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Mi 23.11.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo DieAcht.
Oh, welch elegante Lösung.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Mi 23.11.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Vielen Dank für die super Antworten ;)
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Ich habe die Aufgabenstellung so verstanden, dass nur die Konvergenz gezeigt werden soll, nicht unbedingt der Wert ermittelt werden muß. Das geht dann mit monotoner Konvergenz: [mm] a_{n} [/mm] ist nach unten beschränkt durch 1 und monoton fallend [mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] ist konvergent.
Ein Beispiel für diese Methode auf meiner nicht kommerziellen Hobby-Internetsite www.sportincontro.de, Habbymathe, Analysis-1, Download 2.2, Seite 1301 und Bsp Seite 1302.
Vielleicht hilfts, auch wenn ich Mathe nur als Hobby betreibe und leider arg um Erkenntisse kämpfen muß.
Siggi
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