matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMathe Klassen 5-7Bruchrechen-Problem
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Mathe Klassen 5-7" - Bruchrechen-Problem
Bruchrechen-Problem < Klassen 5-7 < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe Klassen 5-7"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bruchrechen-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 So 18.01.2009
Autor: lisatschka

Aufgabe
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n}{n+1} [/mm]

[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n+1}{(n+1)+1} [/mm]

Hallo,
ich habe gerade ein Problem mit obiger Aufgabe. Ich soll sie durch vollständige Induktion beweisen, komme da aber zu keinem vernünftigen Ergebnis.

Man kann das Summenzeichen ja aufteilen in
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)} +\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1}, [/mm] das ist dann laut Induktionsvoraussetzung = [mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)} [/mm]
Wie kann ich jetzt diesen Bruch so umformen, dass ich da irgendwann [mm] =\bruch{n+1}{(n+1)+1} [/mm] stehen habe? Ich bin zu allen möglichen komischen Ergebnissen gekommen, häufig war bei mir der Bruch irgendwann =1.
Eine Zwischenstufe, die sehr vernünftig aussah, wo ich aber auch nicht weiterkam, war = [mm] \bruch{n}{n+1} +\bruch{1}{(n+1)*(n+1)+(n+1)} [/mm]
Kann mir jemand helfen? Danke :)
mit verzweifelten Grüßen,
Lisa

P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bruchrechen-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 So 18.01.2009
Autor: angela.h.b.


> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n}{n+1}[/mm]
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i(i+1)}=\bruch{n+1}{(n+1)+1}[/mm]
>  Hallo,
> ich habe gerade ein Problem mit obiger Aufgabe. Ich soll
> sie durch vollständige Induktion beweisen, komme da aber zu
> keinem vernünftigen Ergebnis.
>  
> Man kann das Summenzeichen ja aufteilen in
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i(i+1)} +\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1},[/mm]
> das ist dann laut Induktionsvoraussetzung =
> [mm]\bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)}[/mm]

Hallo,

[willkommenmr].

den Bruch [mm] \bruch{1}{(n+1)((n+1)+1} [/mm] können wir uns zum rechnen ja etwas genießbarer zubereiten, denn [mm] \bruch{1}{(n+1)((n+1)+1}=\bruch{1}{(n+1)((n+2)} [/mm]

Du hast dann also

[mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)}=\bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+2))}= [/mm]   (jetzt ist der Hauptnenner dran)

[mm] =\bruch{n(n+2)}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+2))}=\bruch{ n^2+2n + 1}{n(n+1)((n+2))} [/mm] =  (jetzt oben binomische Formel und dann weiter.

Gruß v. Angela




Bezug
                
Bezug
Bruchrechen-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 So 18.01.2009
Autor: lisatschka

Hallo Angela,
erst einmal danke für deine Begrüßung und danke für deine Mühe! :-)
Ich habe nun aber doch noch ein paar Fragen zu deiner Antwort.
Wie ich zu [mm] \bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+2))} [/mm] komme, ist mir klar.
Aber wie kommst du dann auf [mm] \bruch{n(n+2)}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+2))} [/mm] ? Darf man in einer Summe einfach einen Bruch mit etwas (hier n+2) multiplizieren, ohne das im Zähler und/oder beim anderen Bruch zu tun?
Und wie bist du dann auf [mm] \bruch{ n^2+2n + 1}{n(n+1)((n+2))} [/mm] gekommen?
Die Zähler hast du miteinander addiert und die Nenner multipliziert?
Und, das dritte Problem: Ich komme dann immer noch nicht weiter.
Ich bin jetzt schon bei [mm] \bruch{ (n+1)^2}{(n+1)^2+n(n^2+2n)-1} [/mm] bzw [mm] \bruch{ (n+1)^2}{n^3+3n+2n}, [/mm] aber das bringt mir irgendwie auch alles noch nichts....
Lieben Gruß,
Lisa

Bezug
                        
Bezug
Bruchrechen-Problem: Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 So 18.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Lisa!

> Aber wie kommst du dann auf
> [mm]\bruch{n(n+2)}{n+1}+\bruch{1}{(n+1)((n+2))}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

? Darf man in

> einer Summe einfach einen Bruch mit etwas (hier n+2)
> multiplizieren, ohne das im Zähler und/oder beim anderen
> Bruch zu tun?

Selbstverständlich nicht. Da hat Angela leider etwas unterschlagen. Dieser Bruch muss lauten:
$$\bruch{n*(n+2)}{(n+1)*\red{(n+2)}$$
Anschließend wurden dann beide Brüche auf einem Bruch zusammengefasst und die Klammer im Zähler ausmultipliziert.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Bruchrechen-Problem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 So 18.01.2009
Autor: lisatschka

Hallo Loddar,
danke, dass du meine erste Verzweiflung schon einmal beseitigt hast ;-)

So, nun bin ich aber leider immer noch nicht wirklich schlauer.
Ich war zwischendurch auch schon bei [mm] \bruch{ n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}, [/mm] hatte da dann aber einfach das (n+2) gekürzt und war so bei [mm] \bruch{ n+1}{1+n}=1 [/mm] gelandet.
Wenn ich nun aber nicht kürze, sondern weiter rechne, komme ich zu [mm] \bruch{ (n+1)^2}{(n+1)^2+(n+1)} [/mm]
Tja, und da steh ich wieder und komm nicht mehr weiter. Wenn ich jetzt [mm] (n+2)^2 [/mm] kürze, habe ich ja nur noch [mm] \bruch{1}{1+(n+1)} [/mm] Darf ich das jetzt einfach mal [mm] \bruch{n}{1} [/mm] nehmen, um dann zum gewünschten Bruch [mm] \bruch{ n+1}{(n+1)+1} [/mm] zu kommen?
Lieben Gruß,
Lisa

Bezug
                                        
Bezug
Bruchrechen-Problem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 So 18.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Lisa,

> Hallo Loddar,
> danke, dass du meine erste Verzweiflung schon einmal
> beseitigt hast ;-)
>  
> So, nun bin ich aber leider immer noch nicht wirklich
> schlauer.
> Ich war zwischendurch auch schon bei [mm]\bruch{ n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)},[/mm] [daumenhoch]

Und damit 1 cm vor dem Ziel!

> hatte da dann aber einfach das (n+2) gekürzt und war so bei
> [mm]\bruch{ n+1}{1+n}=1[/mm] gelandet.

Ui, nicht aus Summen kürzen!

Außerdem hast du ja erweitert, wenn du direkt wieder kürzt ist das doch doof.


Nun die Klammer ausrechnen:


[mm] $=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)\cdot{}(n+2)}$ [/mm]

[mm] $=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}$ [/mm]

den Rest du!

>  Wenn ich nun aber nicht kürze, sondern weiter rechne,
> komme ich zu [mm]\bruch{ (n+1)^2}{(n+1)^2+(n+1)}[/mm]
> Tja, und da steh ich wieder und komm nicht mehr weiter.
> Wenn ich jetzt [mm](n+2)^2[/mm] kürze, habe ich ja nur noch
> [mm]\bruch{1}{1+(n+1)}[/mm] Darf ich das jetzt einfach mal
> [mm]\bruch{n}{1}[/mm] nehmen, um dann zum gewünschten Bruch [mm]\bruch{ n+1}{(n+1)+1}[/mm]
> zu kommen?
>  Lieben Gruß,
> Lisa

LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Bruchrechen-Problem: Daaaaanke :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:30 So 18.01.2009
Autor: lisatschka

Aaah, das war der entscheidene Zaunpfahl-Tipp, danke :-)
Ich wollte erst schon wieder den Nenner ausmultiplizieren, bis ich dann noch mal genauer darüber nachgedacht habe...
Also, vielen Dank an euch alle!!! :-)
Liebe Grüße,
Lisa

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mathe Klassen 5-7"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]