Brüche im Induktionsbeweis < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 So 17.02.2013 | | Autor: | narcotik |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}=\bruch{1}{12}-\bruch{1}{2(n+2)(n+3)} [/mm] |
Hi, bin ganz neu hier im Forum und habe die Frage auch sonst noch nirgends gestellt. Ich versuche mithilfe des Induktionsbeweises obige Gleichung zu beweisen. Zunächst habe ich n ganz einfach gleich Eins gesetzt und bekam auf beiden Seiten [mm] \bruch{1}{24} [/mm] heraus. Danach soll dann der Induktionsschluss folgen:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}=\bruch{1}{12}-\bruch{1}{2((n+1)+2)((n+1)+3)}
[/mm]
Zusammengefasst also:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}=\bruch{1}{12}-\bruch{1}{2(n+3)(n+4)}
[/mm]
Danach habe ich meine Induktionsvoraussetzung eingesetzt und den n+1-Summanden abgespalten, sieht dann wie folgt aus (jetzt nur linke Seite der Gleichung):
[mm] \bruch{1}{12}-\bruch{1}{2(n+2)(n+3)}+\bruch{1}{((n+1)+1)((n+1)+2)((n+1)+3)}
[/mm]
Zusammengefasst also (ich mache es der Übersichtlichkeit geschuldet gerne etwas detaillierter^^):
[mm] \bruch{1}{12}-\bruch{1}{2(n+2)(n+3)}+\bruch{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}
[/mm]
Jetzt muss ich also versuchen diesen Ausdruck so umzuformen, dass er gleich dem auf der rechten Seite ist, leider komme ich nicht weiter als hier:
[mm] \bruch{1}{12}-\bruch{(n+4)+2}{2(n+2)(n+3)(n+4)}
[/mm]
Also ganz einfach die Brüche miteinander addiert, aber irgendwie weiß ich nun nicht mehr weiter. Wie bekomme ich in meinen Zähler eine 1 und wie bekomme ich aus meinem Nenner die (n+2) raus, sodass der linke Term dem rechten entspricht?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
Gruß, Walter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 Mo 18.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo narcotik,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Beim Zusammmenfassen der beiden Brüche hast Du ignoriert / übersehen, dass vor dem ersten Bruch ein Minuszeichen steht.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Mo 18.02.2013 | | Autor: | narcotik |
Hey loddar, vielen Dank für die schnelle Antwort, echt stark! also müsste das im Prinzip eigentlich so aussehen:
$ [mm] \bruch{1}{12}-(\bruch{1}{2(n+2)(n+3)}+\bruch{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}) [/mm] $
Woraus folgen würde:
$ [mm] \bruch{1}{12}-\bruch{(n+4)-2}{2(n+2)(n+3)(n+4)}
[/mm]
(n+4)-2 würde mir dann nämlich genau den fiesen Faktor im Nenner herauskürzen.
Ich wäre jetzt eigentlich davon ausgegangen, dass ich zuerst die hinteren zwei Brüche normale addiere, und dieses Ergebnis dann quasi von 1/12 zu subtrahieren ist. Ich verstehe nicht ganz wie das Minus-Zeichen zu bewerten ist?
Leider bin ich was sowas angeht nicht die hellste Kerze auf der Torte-.-
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Hallo narcotik,
> Hey loddar, vielen Dank für die schnelle Antwort, echt
> stark! also müsste das im Prinzip eigentlich so aussehen:
>
> [mm]\bruch{1}{12}-(\bruch{1}{2(n+2)(n+3)}+\bruch{1}{(n+2)(n+3)(n+4)})[/mm]
Nein, die "neuen" Klammern (die jetzt beide Brüche einschließen) sind falsch. Vorher hattest du es noch richtig.
> Woraus folgen würde:
>
> $ [mm]\bruch{1}{12}-\bruch{(n+4)-2}{2(n+2)(n+3)(n+4)}[/mm]
Das würde dann gerade nicht mehr folgen.
Bei richtiger Rechnung (ohne die o.g. Klammern) folgt das aber in der Tat.
> (n+4)-2 würde mir dann nämlich genau den fiesen Faktor im
> Nenner herauskürzen.
Ja, nett, nicht?
> Ich wäre jetzt eigentlich davon ausgegangen, dass ich
> zuerst die hinteren zwei Brüche normale addiere, und
> dieses Ergebnis dann quasi von 1/12 zu subtrahieren ist.
> Ich verstehe nicht ganz wie das Minus-Zeichen zu bewerten
> ist?
Welches Minuszeichen meinst Du denn jetzt? Das vor dem Bruch oder das im Zähler? Und was gibt es da zu bewerten? Du kannst es doch jetzt einfach ausrechnen und bist in einem Schritt fertig.
> Leider bin ich was sowas angeht nicht die hellste Kerze auf
> der Torte-.-
Nette Wendung, kenne ich noch gar nicht. Ist das neuerdings idiomatisch?
(Übrigens: die hellsten Kerzen auf der Torte tropfen am schnellsten. Das kann einem den Genuss des Gebäcks echt vermiesen.  )
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:51 Mo 18.02.2013 | | Autor: | narcotik |
Tut mir wirklich leid, aber ich muss mich hier nochmals einklinken-.-
Ich tue mich eigenartigerweise wirklich schwer mit dem Minus, das vor der 2 steht, nachdem ich die Brüche auf den gleichen Nenner gebracht habe. Es ist doch so das die beiden Ausdrücke addiert werden. Vielleicht mal für ganz Blöde (wie mich). Vereinfachen wir das Ganze und nehmen an, wir haben:
[mm] -\bruch{3}{4}+\bruch{2}{5}
[/mm]
Um auf den selben Nenner zu kommen multipliziere ich doch jetzt einfach die Nenner und erweitere meine Zähler, sodass ich dann auf
[mm] -\bruch{15}{20}+\bruch{8}{20}
[/mm]
Also:
[mm] -\bruch{7}{20}
[/mm]
Laut eurer Aussage müsste aber das hier folgen:
[mm] -\bruch{15}{20}-\bruch{8}{20}
[/mm]
Das kann aber in meinen Augen irgendwie gar nicht stimmen. Kann sich vielleicht noch einmal jemand erbarmen und aus dem Mathe-Olymp herabsteigen um mich zu erleuchten? :D
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Schau dir deine Rechnung noch mal an:
> Zusammengefasst also (ich mache es der Übersichtlichkeit
> geschuldet gerne etwas detaillierter^^):
>
> [mm]\bruch{1}{12}-\bruch{1}{2(n+2)(n+3)}+\bruch{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das bedeutet: der zweite Bruch wird abgezogen, der dritte aber wieder addiert. Deshalb kannst du kein "-" ausklammern und dann beide Brüche in der Klammer addieren.
Vielleicht leuchtet dir das ein, wenn wir die beiden letzten Summanden umstellen:
[mm]\bruch{1}{12}+\bruch{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}-\bruch{1}{2(n+2)(n+3)}[/mm]
Auf denselben Nenner gebracht gibt das nun
[mm]\bruch{1}{12}+\bruch{2}{2(n+2)(n+3)(n+4)}-\bruch{n+4}{2(n+2)(n+3)}=\bruch{1}{12}+\bruch{2-(n+4)}{2(n+2)(n+3)(n+4)}=\bruch{1}{12}+\bruch{-n-2}{2(n+2)(n+3)(n+4)}=\bruch{1}{12}-\bruch{n+2}{2(n+2)(n+3)(n+4)}=\bruch{1}{12}-\bruch{1}{2(n+3)(n+4)}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mo 18.02.2013 | | Autor: | narcotik |
Jawoll, genau das war der Knick in meiner Denkweise! Vielen Dank, hab's jetzt kapiert!
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