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Forum "Folgen und Reihen" - Brüche p-adisch darstellen
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Brüche p-adisch darstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 Di 14.12.2010
Autor: Okus

Aufgabe
a) Bestimme eine Folge [mm] (a_{k})_{k \in \IZ} [/mm]  mit [mm] a_{k}=\{0,1\} [/mm] derart, dass gilt:
[mm] \bruch{205}{48} [/mm] = [mm] \summe_{k \in \IZ}^{} \bruch{a_{k}}{2^{k}} [/mm]

b) Bestimme eine Folge [mm] (a_{k})_{k \in \IN} [/mm]  mit [mm] a_{k}=\{0,1,2\} [/mm] derart, dass gilt:
[mm] \bruch{1}{5} [/mm] = [mm] \summe_{k = 1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{3^{k}} [/mm]

c) Bestimme eine Folge [mm] (a_{k})_{k \in \IN} [/mm]  mit [mm] a_{k}=\{0,1,2,3,4,5,6\} [/mm] derart, dass gilt:
[mm] \bruch{1}{5} [/mm] = [mm] \summe_{k = 1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{7^{k}} [/mm]


Hi,

ich kann alle ganzen Zahlen p-adisch darstellen, doch wie mache ich das mit Brüchen.
Ich habe überlegt, dass die "Zahlen", die am Ende herauskommen folgende sind:
a) 100.01000101010... (binär)
b) 0.012101210121012... (tertiär)
c) 0.12541254125412... (7er System)

Ich weiß aber nicht, wie ich das formal aufschreibe und wie ich überhaupt rechnerisch drauf komme.

Vielen Dank,

Okus

        
Bezug
Brüche p-adisch darstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:14 Di 14.12.2010
Autor: MathePower

Hallo Okus,

> a) Bestimme eine Folge [mm](a_{k})_{k \in \IZ}[/mm]  mit [mm]a_{k}={0,1}[/mm]
> derart, dass gilt:
>  [mm]\bruch{205}{48}[/mm] = [mm]\summe_{k \in \IZ}^{} \bruch{a_{k}}{2^{k}}[/mm]
>  
> b) Bestimme eine Folge [mm](a_{k})_{k \in \IN}[/mm]  mit
> [mm]a_{k}={0,1,2}[/mm] derart, dass gilt:
>  [mm]\bruch{1}{5}[/mm] = [mm]\summe_{k = 1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{3^{k}}[/mm]
>  
> c) Bestimme eine Folge [mm](a_{k})_{k \in \IN}[/mm]  mit
> [mm]a_{k}={0,1,2,3,4,5,6}[/mm] derart, dass gilt:
>  [mm]\bruch{1}{5}[/mm] = [mm]\summe_{k = 1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{7^{k}}[/mm]
>  
> Hi,
>  
> ich kann alle ganzen Zahlen p-adisch darstellen, doch wie
> mache ich das mit Brüchen.


Nehmen wir an, Du hast einen echten Bruch [mm]\bruch{p}{q}[/mm]

Dieser Bruch soll dann so dargestellt werden.

[mm]\bruch{p}{q}=\summe_{k=1}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k}}}[/mm]

Um jetzt das [mm]a_{1}[/mm] herauszubekommen, multiplizieren wir mit 2:

[mm]2*\bruch{p}{q}=2*\summe_{k=1}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k}}}=\summe_{k=1}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k-1}}}=a_{1}+\summe_{k=2}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k-1}}}[/mm]

[mm]a_{1}[/mm] ist demnach der ganzzahlige Anteil von [mm]2\bruch{p}{q}[/mm]

Es ergibt sich dann  folgende Gleichung:

[mm]2*\bruch{p}{q}-a_{1}=\summe_{k=2}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k-1}}}[/mm]

Wiederum führt eine Multiplikation mit 2 zur Bestimmung von [mm]a_{2}[/mm]:

[mm]2*\left(2*\bruch{p}{q}-a_{1}\right)=2*\summe_{k=2}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k}-1}}=\summe_{k=2}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k-2}}}=a_{2}+\summe_{k=3}^{\infty}{\bruch{a_{k}}{2^{k-2}}}[/mm]

Damit ist [mm]a_{2}[/mm] ist demnach der ganzzahlige Anteil von [mm]2*\left(2*\bruch{p}{q}-a_{1}\right)[/mm]

Die [mm]a_{k}[/mm]'s kommen durch fortlaufende Multiplikation mit der Basis 2
und der dann folgenden Bestimmung des ganzzahligen Anteils zustande.


>  Ich habe überlegt, dass die "Zahlen", die am Ende
> herauskommen folgende sind:
>  a) 100.01000101010... (binär)
>  b) 0.012101210121012... (tertiär)
>  c) 0.12541254125412... (7er System)
>  
> Ich weiß aber nicht, wie ich das formal aufschreibe und
> wie ich überhaupt rechnerisch drauf komme.
>
> Vielen Dank,
>  
> Okus


Gruss
MathePower

Bezug
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