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| Aufgabe | | Auf wie viele Arten können 6 Bücher nebeneinander in einem Regal angeordnet sein, wenn 3 von ihnen gleich (d.h. nicht unterscheidbar) sind. |
Hallo liebe Matheraum-Community!
Ich habe mal wieder ein kleines Problem mit dieser Aufgabe.
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir kurz sagen könntet, welcher der folgenden zwei Lösung richtig ist.
Mein Lösungsansatz:
Die 3 Bücher die unterschiedlich sind, nenne ich ABC,
die anderen 3 gleichen Bücher nenne ich D bzw DDD.
Eine beispielhafte Anordnung wäre dann z.B.
ABCDDD oder ABDDCD usw.
Wichtig dabei ist, dass die Reihenfolge sich erstmal von ABC nicht ändert, nur die Positionen der D's verändern sich.
Dabei komme ich auf [mm] \vektor{6 \\ 4} [/mm] Möglichkeiten die D's zu variieren.
Also ergibt also 15 verschiedene Kombinationen, ich habe mir mal die Mühe gemacht diese für den Fall ABC aufzuschreiben:
DDDABC
ADDDBC
ABDDDC
ABCDDD
DDADBC
DDABDC
DDABCD
DADDBC
DABDDC
DABCDD
ADDBDC
ADDBCD
ADBDDC
ADBCDD
ADBDCD
Unter der Annahme, dass ABC sich jetzt selbst noch in der Reihenfolge vertauschen kann, komme ich auf 3! = 6 Möglichkeiten:
ABC
BAC
BCA
ACB
CAB
CBA
Das ergibt dann für mich:
[mm] \vektor{6 \\ 4} [/mm] * 3! = 15*6 = 90 Möglichkeiten.
Der andere, für mich auch sehr logische Ansatz ist:
Die 3 gleichen Bücher sind wie leere Elemente zu sehen, und wir ordnen einfach nur die ABC (also die unterschiedlichen Bücher) an die freien Stellen im Regal.
Das wäre also [mm] \vektor{6 \\ 3} [/mm] = 120 Möglichkeiten.
Für meinen persönlichen Geschmack ist die letzte Variante aber einfach zu "Wenig" für eine 2 wöchige Hausaufgabe.
Was ist jetzt also richtig ?
Oder liegen wir komplett falsch ?
Danke für Eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Auf wie viele Arten können 6 Bücher nebeneinander in einem
> Regal angeordnet sein, wenn 3 von ihnen gleich (d.h. nicht
> unterscheidbar) sind.
>
> Hallo liebe Matheraum-Community!
>
> Ich habe mal wieder ein kleines Problem mit dieser
> Aufgabe.
> Ich würde mich freuen, wenn ihr mir kurz sagen könntet,
> welcher der folgenden zwei Lösung richtig ist.
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> Die 3 Bücher die unterschiedlich sind, nenne ich ABC,
> die anderen 3 gleichen Bücher nenne ich D bzw DDD.
>
> Eine beispielhafte Anordnung wäre dann z.B.
> ABCDDD oder ABDDCD usw.
>
> Wichtig dabei ist, dass die Reihenfolge sich erstmal von
> ABC nicht ändert, nur die Positionen der D's verändern
> sich.
>
> Dabei komme ich auf [mm]\vektor{6 \\ 4}[/mm] Möglichkeiten die D's
> zu variieren.
Wieso [mm] $\binom{6}{4} [/mm] = 15$? Du hast doch [mm] $\binom{6}{3} [/mm] = 20$ Moeglichkeiten, da du jeweils dreielementige Teilmengen von [mm] $\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ [/mm] suchst (die den Positionen der $D$s entsprechen).
> Also ergibt also 15 verschiedene Kombinationen, ich habe
> mir mal die Mühe gemacht diese für den Fall ABC
> aufzuschreiben:
>
> DDDABC
> ADDDBC
> ABDDDC
> ABCDDD
> DDADBC
> DDABDC
> DDABCD
> DADDBC
> DABDDC
> DABCDD
DADBDC fehlt z.B.
> ADDBDC
> ADDBCD
> ADBDDC
> ADBCDD
> ADBDCD
oder ABDDCD
> Unter der Annahme, dass ABC sich jetzt selbst noch in der
> Reihenfolge vertauschen kann, komme ich auf 3! = 6
> Möglichkeiten:
>
> ABC
> BAC
> BCA
> ACB
> CAB
> CBA
>
>
> Das ergibt dann für mich:
>
> [mm]\vektor{6 \\ 4}[/mm] * 3! = 15*6 = 90 Möglichkeiten.
Die richtige Loesung ist [mm] $\binom{6}{3} \cdot [/mm] 3! = 20 [mm] \cdot [/mm] 6 = 120$.
> Der andere, für mich auch sehr logische Ansatz ist:
>
> Die 3 gleichen Bücher sind wie leere Elemente zu sehen, und
> wir ordnen einfach nur die ABC (also die unterschiedlichen
> Bücher) an die freien Stellen im Regal.
>
> Das wäre also [mm]\vektor{6 \\ 3}[/mm] = 120 Möglichkeiten.
Erstmal ist [mm] $\binom{6}{3} [/mm] = 20$ und nicht 120.
Zweitens ignorierst du hier, dass $ABC$ nicht genau in dieser Reihenfolge stehen, sondern untereinander auch die Reihenfolge tauschen duerfen (etwa $BAC$, ...), wie du oben schon richtig bemerkt hast.
Beide Moeglichkeiten laufen zumindest auf das gleiche Ergebnis [mm] $\binom{6}{3} \cdot [/mm] 3! = 120$ heraus.
LG Felix
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