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CR-DGL/ Vielzahl von Fragen: tipp,Rückfrage,Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:57 Fr 02.09.2022
Autor: nkln

Aufgabe
Hallo zusammen,

ich habe zur Vorbereitung auf meine Klausur in Funktionen Theorie einige Frage zu verschiedenen Aufgaben bezüglich der Cauchy-Riemann Differentialgleichungen.
Ich werde im folgenden die jeweiligen Aufgaben posten mit Fragen dazu. Danke für eure Hilfe, Bemühungen und Zeit!

A1)
Sei [mm] $\varphi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ [/mm] (total) differenzierbar mit [mm] $D_\varphi(x,y)\neq [/mm] (0,0)$ für alle [mm] $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ [/mm] und sei [mm] $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ [/mm] holomorph.

Zeigen sie: Gilt [mm] [center]$\varphi(Re(f(z)),Im(f(z)))=0$[/center] [/mm] für alle $z [mm] \in \mathbb{C}$,dann [/mm] ist $f$ konstant.

Lösung:

Da $f$ holomorph ist, ist $f$ auch zugleich komplex diff'bar im punkt [mm] $z_0 \in \mathbb{C}$. [/mm] Außerdem ist $f$ dann gleichzeitig auch reell diff'bar im punkt [mm] $z_0$ [/mm] und erfüllt die Cauchy-Riemann DGL.
Also sei $f=x+iy$ , dann gilt [mm] $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (u(x,y),v(x,y))$

Verkettet man nun die Funktionen [mm] $\varphi$ [/mm] und $f$, ist festzustellen, dass die Ableitung wohldefiniert ist und genauer, dass sie total diff'bar ist.

1.Frage: kann man die Argumentation bisher so führen?

Die Verkettung sei nun [mm] $(\varphi \circ [/mm] f)(z) $

Außerdem gilt [mm] $\varphi(Re(f(z)),Im(f(z)))=0 \Leftrightarrow \varphi(u(x,y),v(x,y))=0 \Leftrightarrow \varphi(f(x,y))=0$. [/mm] Differenziert man nun [mm] $\varphi(u(x,y),v(x,y))=0 [/mm] $ erhält man,
$D_varphi(x,y) [mm] \cdot D_f [/mm] = (0,0)$
[mm] $\Leftrightarrow \varphi(u_x(x,y),v_y(x,y)) \cdot \pmat{ u_x & u_y \\ v_x & v_y }=0$ [/mm]

2.Frage: bisher so richtig?

also mit den CR-Dgl [mm] $u_x=v_y$ [/mm] und [mm] $u_y=-v_x$ [/mm] erhält man
[mm] $\Leftrightarrow \varphi(u_x(x,y),v_y(x,y)) \cdot \pmat{ u_x & u_y\\ -u_y & u_x }=0$ [/mm]

Da [mm] $D_\varphi(x,y)\neq [/mm] (0,0)$ muss also [mm] $\pmat{ u_x & u_y\\ -u_y & u_x }=0$ [/mm] gelten. Dazu wird die Determinante bestimmt, die gleich null sein muss, da bei der null Matrix alle Zeilen lin.abh. sind.
Genauer [mm] $det(\pmat{ u_x & u_y\\ -u_y & u_x })= u_x^2+u_y^2=0$. [/mm] Da beide Summanden Quadrate sind, sind negative Summanden nicht möglich. Deshalb ist die einzige Möglichkeit, dass [mm] $u_x=0$ [/mm] und [mm] $u_y=0$ [/mm] sein müssen.
Das heißt, dass die Ableitung $ f'$ des Realteils von $f$ konstant $0$ ist. Folglich dessen ist $f$ als eine konstante Funktion. Mit einem Satz aus dem Skript folgt dann, dass $f$ konstant ist.

3.Frage: ist meine Argumentation so richtig?


A2)a)
Untersuchen sie die Funktion
$g: [mm] \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z\mapsto Re(z)^2+Im(z)^3+i(Im(z)^2-Re(z)^3)$
[/mm]
auf komplexe Diff'barkeit und Holomorphie

Lösung:

Sei $g: [mm] \mathbb{C} \to \mathbb{C},(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))$ [/mm]
Also $u(x,y)= [mm] x^2+y^3$ [/mm] und $v(x,y)= [mm] y^2-x^3$ [/mm]
Angenommen $g$ wäre komplex Diff'bar in [mm] $z_0$, [/mm] dann würde $g$ reell Diff'bar sein und die CR-Dgl erfüllen. Genauer
[mm] $u_x(x,y)=2x,u_y(x,y)=3y^2,v_x(x,y)=-3x^2,v_y(x,y)=2y$ [/mm] mit [mm] $u_x(x,y)=v_y(x,y)$ [/mm] und [mm] $u_y(x,y)=-v_x(x,y)$. [/mm]
Also [mm] $u_x(x,y)=2x=2y=v_y(x,y) \Leftrightarrow [/mm] x=y$
4.Frage: Kann man so argumentieren?

Außerdem [mm] $u_y(x,y)=3y^2=3x^2=-v_x(x,y)$ [/mm]

5.Frage: folgt hier nicht [mm] $y=\pm [/mm] x $raus?

Das heißt $g$ ist diff'bar auf der Menge [mm] $D:=\{z\in \mathbb{C}| Re(z)=Im(z)\}$ [/mm] Da jedoch nirgendwo der imaginärteil gleich dem Realteil ist, ist [mm] $D=\emptyset$, [/mm] also ist $f$ nirgends holomorph

6.Frage: Richtig so?

A2)b)
Bestimmen sie alle ganzen Funktionen [mm] $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, [/mm] für die gilt
[mm] $(i)Im(f(z))=(Re(f(z)))^2, \forall [/mm] z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm]
$(ii) [mm] Im(f(z))=e^{Re(z)}\sin(Im(z)), \forall [/mm] z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm]

Lösung:
[mm] $(i)Im(f(z))=(Re(f(z)))^2, \forall [/mm] z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm]

ich definiere mir mit Hilfe von Aufgabe $1$ ein [mm] $\varphi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x^2-y$ [/mm] , da [mm] $0=(Re(f(z)))^2-Im(f(z)), \forall [/mm] z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] und es festzustellen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] total diff'bar ist , da [mm] $\varphi$ [/mm] eine Differenz von zwei Polynomen ist.
Betrachtet man [mm] $D_{\varphi(x,y)}=(2x,-1)\neq(0,0)$. [/mm] Sei f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))

Betrachtet man nun [mm] $\varphi(u(x,y),v(x,y))=0 [/mm] $ kann man wie bei Aufgaben $1$ feststellen, dass der $Re(f(z))$ konstant ist und damit auch $f$. Deshalb ist $f [mm] \equiv [/mm] a+ib $ für alle $ a,b [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm]

7.Frage: kann man das so machen?

bei $(ii)$ habe ich leider keinerlei Ahnung.

A3)
Wo ist [mm] $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, [/mm] z [mm] \mapsto |z|^2+\overline{z}$ [/mm] komplex diff'bar? Bestimmen sie dort die Ableitung! Wo ist $f$ holomorph?


Lösung:
Zu nächst schreiben wir $f$ um als [mm] $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, [/mm] z [mm] \mapsto |z|^2+\overline{z}=z\cdot\overline{z}+\overline{z}$ [/mm]

mit [mm] $z\cdot\overline{z}+\overline{z}=(x+iy)\overline{(x+iy)}+\overline{(x+iy)}=(x+iy)(x-iy)+(x-iy)=x^2-ixy+ixy+y^2+x-iy=x^2+x-iy+y^2$ [/mm]

also [mm] $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, [/mm] z [mm] \mapsto x^2+x-iy+y^2$ [/mm]

Angenommen $f$ ist komplex diff'bar in [mm] $z_0 \in \mathbb{C}$, [/mm] dann wäre $f$ auch reell diff'bar in [mm] $z_0$ [/mm] und würde die Cauchy-Riemann-Dgl erfüllen.

sei nun $f(x+iy)=(u(x,y),v(x,y))$, dann ist [mm] $u(x,y)=x^2+x+y^2$ [/mm] und $v(x,y)=y$.
für CR-DGl muss gelten
[mm] $u_x=v_y$ [/mm] und [mm] $u_y=-v_x$, [/mm] also [mm] $u_x=2x+1=1=v_y$ [/mm] und [mm] $u_y=2y=0=-v_x$ [/mm]
Daraus folgt $x=0$ und $y=0$. Das heißt $f$ ist im Punkt $ z=0 [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] komplex diff'bar und holomorph und die Ableitung ist dort [mm] $f'(0)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm]

8.Frage: habe ich richtig gerechnet?

A4)
Untersuchen Sie die Funktion
[mm] $f:\mathbb{C}^{*}\to \mathbb{C}, [/mm] z [mm] \mapsto \frac{e^{z^2-1}}{z}+Re(z)^2+Im(z)^5-i(Re(z)^5+Im(z)^2)$ [/mm]

auf komplexe Diff'barkeit und Holomorphie.
Lösung
$ [mm] \frac{e^{z^2-1}}{z}$ [/mm] ist als Quotient von zwei komplex diff'baren Funtkionen wieder komplex diff'bar.

Sei nun [mm] $g(z)=Re(z)^2+Im(z)^5-i(Re(z)^5+Im(z)^2)$ [/mm] dann ist $g(z)$ komplex diff'bar in [mm] $z_0\in\mathbb{C}$, [/mm] wenn g reell diff'bar in [mm] $z_0$ [/mm] ist und es müssen die CR-Dgls erfüllt werden.

also $g(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$ mit [mm] $u(x,y)=x^2+y^5$ [/mm] und $v(x,y)= [mm] x^5+y^2$ [/mm] mit [mm] $u_x=v_y$ [/mm] und [mm] $u_y=-v_x$. [/mm] Also
[mm] $u_x=2x, u_y=5y^4,v_x=5x^4, v_y=2y$ [/mm] und folglich [mm] $u_x=2x=2y=v_y$ [/mm] und [mm] $u_y=5y^4=-5x^4=-v_x$. [/mm]

Aus [mm] $u_x=2x=2y=v_y$ [/mm] folgt $x=y$ und aus [mm] $u_y=5y^4=-5x^4=-v_x$ [/mm] folgt
9.Frage: Bei [mm] $u_y=5y^4=-5x^4=-v_x$ [/mm] harkt es, was soll ich hier machen?

A5)

Zeigen sie, dass
[mm] $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}, [/mm] z [mm] \mapsto z\cdot{}e^{z^2+1}+Re(z)^2+Im(z)^3+i(Re(z)^3+Im(z)^2)$ [/mm]


in $z=0$ komplex diff'bar ist und berechnen Sie $f'(0)$.

Lösung:
$ [mm] z\cdot{}e^{z^2+1}$ [/mm] ist als Produkt von zwei komplex diff'baren Funktionen wieder komplex diff'bar.

Sei nun [mm] $g(z)=Re(z)^2+Im(z)^3+i(Re(z)^3+Im(z)^2)$ [/mm] dann ist $g(z)$ komplex diff'bar in [mm] $z_0\in\mathbb{C}$, [/mm] wenn $g$ reell diff'bar in [mm] $z_0$ [/mm] ist und es müssen die CR-Dgls erfüllt werden.

also $g(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$ mit [mm] $u(x,y)=x^2+y^3$ [/mm] und $v(x,y)= [mm] x^3+y^2$ [/mm] mit [mm] $u_x=v_y$ [/mm] und [mm] $u_y=-v_x$. [/mm] Also
[mm] $u_x=2x, u_y=3y^2,v_x=3x^2, v_y=2y$ [/mm] und folglich [mm] $u_x=2x=2y=v_y$ [/mm] und [mm] $u_y=3y^2=-3x^2=-v_x$. [/mm]  mit $(x,y)=(0,0)$ erhält man

[mm] $u_x(0,0)=0=v_y(0,0) [/mm] $und [mm] $u_y(0,0)=0=-v_x(0,0)$, [/mm] also erfüllt $g$ in $0$ die CR-DGL.

9.Frage:Wie kann ich nun $f'(0$) bestimmen?


Danke, dass ihr euch die Zeit nehmt, die Fragen zu beantworten!:)

lg

Nico


        
Bezug
CR-DGL/ Vielzahl von Fragen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 Mo 05.09.2022
Autor: meili

Hallo Nico,

zwar ist die Frist schon abgelaufen, aber ich versuche deine Fragen
zu mindest teilweise zu beantworten.

> Hallo zusammen,
>  
> ich habe zur Vorbereitung auf meine Klausur in Funktionen
> Theorie einige Frage zu verschiedenen Aufgaben bezüglich
> der Cauchy-Riemann Differentialgleichungen.
>  Ich werde im folgenden die jeweiligen Aufgaben posten mit
> Fragen dazu. Danke für eure Hilfe, Bemühungen und Zeit!
>  A1)
>  Sei [mm]\varphi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}[/mm] (total)
> differenzierbar mit [mm]D_\varphi(x,y)\neq (0,0)[/mm] für alle
> [mm](x,y)\in \mathbb{R}^2[/mm] und sei [mm]f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}[/mm]
> holomorph.
>  
> Zeigen sie: Gilt [mm]\varphi(Re(f(z)),Im(f(z)))=0[/mm] für alle [mm]z \in \mathbb{C}[/mm],dann
> ist [mm]f[/mm] konstant.
>  
> Lösung:
>  
> Da [mm]f[/mm] holomorph ist, ist [mm]f[/mm] auch zugleich komplex diff'bar im
> punkt [mm]z_0 \in \mathbb{C}[/mm]. Außerdem ist [mm]f[/mm] dann gleichzeitig
> auch reell diff'bar im punkt [mm]z_0[/mm] und erfüllt die
> Cauchy-Riemann DGL.

[ok]

>  Also sei [mm]f=x+iy[/mm] , dann gilt [mm]f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}, (x,y) \mapsto (u(x,y),v(x,y))[/mm]

Da bist du ungenau und es wird falsch, auch wenn die Idee dazu richtig und gut ist.
Es gibt Funktionen $u$ und $v$ [mm] $:\IR^2 \to \IR$ [/mm] reell differenzierbar mit
$f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$.

>  
> Verkettet man nun die Funktionen [mm]\varphi[/mm] und [mm]f[/mm], ist
> festzustellen, dass die Ableitung wohldefiniert ist und
> genauer, dass sie total diff'bar ist.

>  
> 1.Frage: kann man die Argumentation bisher so führen?
>  
> Die Verkettung sei nun [mm](\varphi \circ f)(z)[/mm]

Da $f: [mm] \IC \to \IC$ [/mm] und [mm] $\varphi:\IR^2 \to \IR$ [/mm] muss man noch die Identifikationfunktion [mm] $id:\IC \to \IR^2$ [/mm] mit $z=x+iy [mm] \mapsto [/mm] (x,y)$
dazwischen schalten.

>  
> Außerdem gilt [mm]\varphi(Re(f(z)),Im(f(z)))=0 \Leftrightarrow \varphi(u(x,y),v(x,y))=0 \Leftrightarrow \varphi(f(x,y))=0[/mm].
> Differenziert man nun [mm]\varphi(u(x,y),v(x,y))=0[/mm] erhält
> man,
>  [mm]D_{\varphi}(x,y) \cdot D_f = (0,0)[/mm]
>  [mm]\Leftrightarrow \varphi(u_x(x,y),v_y(x,y)) \cdot \pmat{ u_x & u_y \\ v_x & v_y }= (0,0)[/mm]

[ok]

>  
> 2.Frage: bisher so richtig?
>  
> also mit den CR-Dgl [mm]u_x=v_y[/mm] und [mm]u_y=-v_x[/mm] erhält man
>  [mm]\Leftrightarrow \varphi(u_x(x,y),v_y(x,y)) \cdot \pmat{ u_x & u_y\\ -u_y & u_x }=(0,0)[/mm]
>  
> Da [mm]D_\varphi(x,y)\neq (0,0)[/mm] muss also [mm]\pmat{ u_x & u_y\\ -u_y & u_x }=0[/mm]
> gelten. Dazu wird die Determinante bestimmt, die gleich
> null sein muss, da bei der null Matrix alle Zeilen lin.abh.
> sind.
>  Genauer [mm]det(\pmat{ u_x & u_y\\ -u_y & u_x })= u_x^2+u_y^2=0[/mm].
> Da beide Summanden Quadrate sind, sind negative Summanden
> nicht möglich. Deshalb ist die einzige Möglichkeit, dass
> [mm]u_x=0[/mm] und [mm]u_y=0[/mm] sein müssen.
>  Das heißt, dass die Ableitung [mm]f'[/mm] des Realteils von [mm]f[/mm]
> konstant [mm]0[/mm] ist. Folglich dessen ist [mm]f[/mm] als eine konstante
> Funktion. Mit einem Satz aus dem Skript folgt dann, dass [mm]f[/mm]
> konstant ist.
>
> 3.Frage: ist meine Argumentation so richtig?

Es genügt zu argumentieren aus  [mm] \varphi(u_x(x,y),v_y(x,y)) \cdot \pmat{ u_x & u_y \\ v_x & v_y }= (0,0)[/mm] und  [mm]D_\varphi(x,y)\neq (0,0)[/mm] folgt  [mm]\pmat{ u_x & u_y\\ -u_y & u_x }= \pmat{ 0 & 0\\ 0 & 0 }[/mm]
Zwar ist [mm] $det(\pmat{ 0 & 0\\ 0 & 0 }) [/mm] = 0$ aber wenn die Determinate einer Matrix Null ist, muss es nicht die Nullmatrix sein, sondern es können
auch nur linear abhängige Zeilen sein.
Dann weiter mit deiner Argumentation.

>  
>
> A2)a)
>  Untersuchen sie die Funktion
> [mm]g: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z\mapsto Re(z)^2+Im(z)^3+i(Im(z)^2-Re(z)^3)[/mm]
> auf komplexe Diff'barkeit und Holomorphie
>  
> Lösung:
>  
> Sei [mm]g: \mathbb{C} \to \mathbb{C},(x,y)\mapsto(u(x,y),v(x,y))[/mm]
>  

Sei [mm]g: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, x+iy\mapsto u(x,y)+iv(x,y)[/mm]

> Also [mm]u(x,y)= x^2+y^3[/mm] und [mm]v(x,y)= y^2-x^3[/mm]
>  Angenommen [mm]g[/mm]
> wäre komplex Diff'bar in [mm]z_0[/mm], dann würde [mm]g[/mm] reell Diff'bar
> sein und die CR-Dgl erfüllen. Genauer
>  [mm]u_x(x,y)=2x,u_y(x,y)=3y^2,v_x(x,y)=-3x^2,v_y(x,y)=2y[/mm] mit
> [mm]u_x(x,y)=v_y(x,y)[/mm] und [mm]u_y(x,y)=-v_x(x,y)[/mm].
> Also [mm]u_x(x,y)=2x=2y=v_y(x,y) \Leftrightarrow x=y[/mm]
> 4.Frage: Kann man so argumentieren?

Ja [ok]

>  
> Außerdem [mm]u_y(x,y)=3y^2=3x^2=-v_x(x,y)[/mm]
>  
> 5.Frage: folgt hier nicht [mm]y=\pm x [/mm] raus?

Ja, aus der 2. CR-Dgl. folgt das.
Aber alle (x,y) müssen beide CR-Dgl.en erfüllen.
Für x = y ist das erfüllt.

>  
> Das heißt [mm]g[/mm] ist diff'bar auf der Menge [mm]D:=\{z\in \mathbb{C}| Re(z)=Im(z)\}[/mm]
> Da jedoch nirgendwo der imaginärteil gleich dem Realteil
> ist, ist [mm]D=\emptyset[/mm], also ist [mm]f[/mm] nirgends holomorph
>  
> 6.Frage: Richtig so?

Nein [notok]
[mm]D:=\{z\in \mathbb{C}| Re(z)=Im(z)\}[/mm] ist nicht leer, sondern kann man sich als Diagonale durch den 1. und 3. Quadraten vorstellen bei [mm] $\IR^2$. [/mm]
Etwas Probleme habe ich damit, dass D keine offene Teilmenge von [mm] $\IC$ [/mm] ist. Was bei der Definition von komplexer Differenzierbarkeit gefordert wird,
solltest du nachsehen.

>  
> A2)b)
>  Bestimmen sie alle ganzen Funktionen [mm]f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}[/mm],
> für die gilt
>  [mm](i)Im(f(z))=(Re(f(z)))^2, \forall z \in \mathbb{C}[/mm]
>  [mm](ii) Im(f(z))=e^{Re(z)}\sin(Im(z)), \forall z \in \mathbb{C}[/mm]
>  
> Lösung:
>  [mm](i)Im(f(z))=(Re(f(z)))^2, \forall z \in \mathbb{C}[/mm]
>  
> ich definiere mir mit Hilfe von Aufgabe [mm]1[/mm] ein
> [mm]\varphi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y) \mapsto x^2-y[/mm] ,
> da [mm]0=(Re(f(z)))^2-Im(f(z)), \forall z \in \mathbb{C}[/mm] und es
> festzustellen, dass [mm]\varphi[/mm] total diff'bar ist , da [mm]\varphi[/mm]
> eine Differenz von zwei Polynomen ist.
>  Betrachtet man [mm]D_{\varphi(x,y)}=(2x,-1)\neq(0,0)[/mm]. Sei
> f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))
>  
> Betrachtet man nun [mm]\varphi(u(x,y),v(x,y))=0[/mm] kann man wie
> bei Aufgaben [mm]1[/mm] feststellen, dass der [mm]Re(f(z))[/mm] konstant ist
> und damit auch [mm]f[/mm]. Deshalb ist [mm]f \equiv a+ib[/mm] für alle [mm]a,b \in \mathbb{R}[/mm]
>  
> 7.Frage: kann man das so machen?

Ja. Ich weis nicht, ob es einen Satz gibt, mit dem man aus konstantem
Realteil auf eine konstante, holomorphe Funktion schließen kann, aber
da u und v die CR-Dgl. erfüllen, kann man wie beim Re(f(z)) auch auf
Im(f(z)) konstant schließen.

>  
> bei [mm](ii)[/mm] habe ich leider keinerlei Ahnung.

Aus  [mm](ii) Im(f(z))=e^{Re(z)}\sin(Im(z)), \forall z \in \mathbb{C}[/mm] folgt

$v(x,y) = [mm] e^x*sin(y), \forall [/mm] z =x+iy [mm] \in \mathbb{C}$. [/mm]

Ableitungen von v nach x und y bilden.
Über CR-Dgl.en erhält man die Ableitungen von u nach x und y.
Gibt es eine Funktion u, die zu diesen Ableitungen passt?
Die Ableitungen integrieren, und kommt dabei die gleiche Funktion heraus?

>  
> A3)
>  Wo ist [mm]f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, z \mapsto |z|^2+\overline{z}[/mm]
> komplex diff'bar? Bestimmen sie dort die Ableitung! Wo ist
> [mm]f[/mm] holomorph?
>  
>
> Lösung:
>  Zu nächst schreiben wir [mm]f[/mm] um als
> [mm]f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, z \mapsto |z|^2+\overline{z}=z\cdot\overline{z}+\overline{z}[/mm]
>
> mit
> [mm]z\cdot\overline{z}+\overline{z}=(x+iy)\overline{(x+iy)}+\overline{(x+iy)}=(x+iy)(x-iy)+(x-iy)=x^2-ixy+ixy+y^2+x-iy=x^2+x-iy+y^2[/mm]
>  
> also [mm]f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, z \mapsto x^2+x-iy+y^2[/mm]
>  
> Angenommen [mm]f[/mm] ist komplex diff'bar in [mm]z_0 \in \mathbb{C}[/mm],
> dann wäre [mm]f[/mm] auch reell diff'bar in [mm]z_0[/mm] und würde die
> Cauchy-Riemann-Dgl erfüllen.
>  
> sei nun [mm]f(x+iy)=(u(x,y),v(x,y))[/mm], dann ist [mm]u(x,y)=x^2+x+y^2[/mm]
> und [mm]v(x,y)=y[/mm].

[mm]v(x,y)= -y[/mm]

>  für CR-DGl muss gelten
>  [mm]u_x=v_y[/mm] und [mm]u_y=-v_x[/mm], also [mm]u_x=2x+1=1=v_y[/mm] und

[mm]u_x=2x+1=-1=v_y[/mm]

> [mm]u_y=2y=0=-v_x[/mm]
>  Daraus folgt [mm]x=0[/mm] und [mm]y=0[/mm]. Das heißt [mm]f[/mm] ist im Punkt [mm]z=0 \in \mathbb{C}[/mm]

Daraus folgt [mm]x=1[/mm] und [mm]y=0[/mm]. Das heißt [mm]f[/mm] ist im Punkt [mm]z=1 \in \mathbb{C}[/mm]

> komplex diff'bar und holomorph und die Ableitung ist dort
> [mm]f'(0)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]

Wenn f an der Stelle 0 komplex differenzierbar ist, ist f'(0) eine komplexe Zahl und keine Matrix.

$f'(z) = [mm] \bruch{\partial f}{\partial z}(z) [/mm] = -i [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x+iy)$ [/mm] mit $z=x+iy$

Für $f(x+iy) = [mm] x^2+y^2+x-iy$ [/mm]
$f'(x+iy) = -i(2y-i) = -2yi-1$
$f'(1+i0) = -1$

>  
> 8.Frage: habe ich richtig gerechnet?
>  
> A4)
>  Untersuchen Sie die Funktion
>   [mm]f:\mathbb{C}^{*}\to \mathbb{C}, z \mapsto \frac{e^{z^2-1}}{z}+Re(z)^2+Im(z)^5-i(Re(z)^5+Im(z)^2)[/mm]
> auf komplexe Diff'barkeit und Holomorphie.
>  Lösung
>  [mm]\frac{e^{z^2-1}}{z}[/mm] ist als Quotient von zwei komplex
> diff'baren Funtkionen wieder komplex diff'bar.
>  
> Sei nun [mm]g(z)=Re(z)^2+Im(z)^5-i(Re(z)^5+Im(z)^2)[/mm] dann ist
> [mm]g(z)[/mm] komplex diff'bar in [mm]z_0\in\mathbb{C}[/mm], wenn g reell
> diff'bar in [mm]z_0[/mm] ist und es müssen die CR-Dgls erfüllt
> werden.
>  
> also [mm]g(x,y)=(u(x,y),v(x,y))[/mm] mit [mm]u(x,y)=x^2+y^5[/mm] und [mm]v(x,y)= x^5+y^2[/mm]
> mit [mm]u_x=v_y[/mm] und [mm]u_y=-v_x[/mm]. Also
>  [mm]u_x=2x, u_y=5y^4,v_x=5x^4, v_y=2y[/mm] und folglich
> [mm]u_x=2x=2y=v_y[/mm] und [mm]u_y=5y^4=-5x^4=-v_x[/mm].
>
> Aus [mm]u_x=2x=2y=v_y[/mm] folgt [mm]x=y[/mm] und aus [mm]u_y=5y^4=-5x^4=-v_x[/mm]

[ok]

> folgt
>  9.Frage: Bei [mm]u_y=5y^4=-5x^4=-v_x[/mm] harkt es, was soll ich
> hier machen?

Die Gleichung ist nur für x=y=0 erfüllt.

>  
> A5)
>  
> Zeigen sie, dass
> [mm]f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto z\cdot{}e^{z^2+1}+Re(z)^2+Im(z)^3+i(Re(z)^3+Im(z)^2)[/mm]
>
> in [mm]z=0[/mm] komplex diff'bar ist und berechnen Sie [mm]f'(0)[/mm].
>  
> Lösung:
>  [mm]z\cdot{}e^{z^2+1}[/mm] ist als Produkt von zwei komplex
> diff'baren Funktionen wieder komplex diff'bar.
>  
> Sei nun [mm]g(z)=Re(z)^2+Im(z)^3+i(Re(z)^3+Im(z)^2)[/mm] dann ist
> [mm]g(z)[/mm] komplex diff'bar in [mm]z_0\in\mathbb{C}[/mm], wenn [mm]g[/mm] reell
> diff'bar in [mm]z_0[/mm] ist und es müssen die CR-Dgls erfüllt
> werden.
>  
> also [mm]g(x,y)=(u(x,y),v(x,y))[/mm] mit [mm]u(x,y)=x^2+y^3[/mm] und [mm]v(x,y)= x^3+y^2[/mm]
> mit [mm]u_x=v_y[/mm] und [mm]u_y=-v_x[/mm]. Also
>  [mm]u_x=2x, u_y=3y^2,v_x=3x^2, v_y=2y[/mm] und folglich
> [mm]u_x=2x=2y=v_y[/mm] und [mm]u_y=3y^2=-3x^2=-v_x[/mm].  mit [mm](x,y)=(0,0)[/mm]
> erhält man
>  
> [mm]u_x(0,0)=0=v_y(0,0) [/mm]und [mm]u_y(0,0)=0=-v_x(0,0)[/mm], also erfüllt
> [mm]g[/mm] in [mm]0[/mm] die CR-DGL.

[ok]

>
> 9.Frage:Wie kann ich nun [mm]f'(0[/mm]) bestimmen?

Sei $f(z) = h(z) + g(z)$ mit $h(z) = [mm] z*e^{z^2+1}$ [/mm] und $g(x+iy) = [mm] x^2+y^3+i(x^3+y^2)$ [/mm]

Mit Produkt- und Kettenregel:
$h'(z) = [mm] e^{z^2+1}+z*e^{z^2+1}*2z [/mm] = [mm] e^{z^2+1}*(1+2z^2)$ [/mm]

$g'(z) = [mm] -i*\bruch{\partial g}{\partial y}(x+iy) [/mm] = [mm] -i*(3y^2+2yi) [/mm] = [mm] 2y-i3y^2$ [/mm]

$f'(0) = e$

>  
>
> Danke, dass ihr euch die Zeit nehmt, die Fragen zu
> beantworten!:)
>  
> lg
>  
> Nico
>  

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
CR-DGL/ Vielzahl von Fragen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:45 Do 08.09.2022
Autor: nkln

Hallo Meili,

danke für deine großzügige Antwort. Meine Danksagung und Antwort auf deine Antwort kommt etwas verspätet, da ich mich zunächst nochmal mit meinen Kommilitonen austauschen wollte und mein Wissen noch etwas festigen wollte.

Ich habe, falls du erlaubst, noch eine Anschluss Fragen:

erstens
"Nein [notok]
$ [mm] D:=\{z\in \mathbb{C}| Re(z)=Im(z)\} [/mm] $ ist nicht leer, sondern kann man sich als Diagonale durch den 1. und 3. Quadraten vorstellen bei $ [mm] \IR^2 [/mm] $.
Etwas Probleme habe ich damit, dass D keine offene Teilmenge von $ [mm] \IC [/mm] $ ist. Was bei der Definition von komplexer Differenzierbarkeit gefordert wird,
solltest du nachsehen."

die Definition von komplex diff'bar braucht eine offenen Teilmenge im Def.Bereich, da hast du recht. Kann man sagen, dass die Funktion auch auf D holomorph ist?

zweitens

"Aus  $ (ii) [mm] Im(f(z))=e^{Re(z)}\sin(Im(z)), \forall [/mm] z [mm] \in \mathbb{C} [/mm] $ folgt

$ v(x,y) = [mm] e^x\cdot{}sin(y), \forall [/mm] z =x+iy [mm] \in \mathbb{C} [/mm] $.

Ableitungen von v nach x und y bilden.
Über CR-Dgl.en erhält man die Ableitungen von u nach x und y.
Gibt es eine Funktion u, die zu diesen Ableitungen passt?
Die Ableitungen integrieren, und kommt dabei die gleiche Funktion heraus?"


hier habe ich

$ v(x,y) = [mm] e^x\cdot{}sin(y) [/mm] $.
$ [mm] v_x(x,y) [/mm] = [mm] e^x\cdot{}sin(y) [/mm] $.
$ [mm] v_y(x,y) [/mm] = [mm] e^x\cdot{}cos(y) [/mm] $.

Nach CR-DGl gilt [mm] $u_x=v_y$ [/mm] und [mm] $u_y=-v_x$ [/mm]

Also [mm] $v_y=u_x=\integral {e^x\cdot{}cos(y) dx}= e^x\cdot{}cos(y)+c(y)$ [/mm]

Also [mm] u(x,y)=e^x\cdot{}cos(y)+c(y) [/mm] , nun bestimme ich [mm] u_y(x,y)= -e^x\cdot{}sin(y)+c'(y), [/mm] da

[mm] $u_y=-v_x$ [/mm] gelten muss, erhalte ich [mm] $-e^x\cdot{}sin(y)+c'(y)=-e^x\cdot{}sin(y) \Leftrightarrow [/mm] c'(y)=0$

[mm] $\Rightarrow \integral [/mm] {c'(y) dy}= [mm] c_1, \forall c_1 \in \mathbb [/mm] R$

also heißt das, dass $u(x,y)= [mm] e^x\cdot{}cos(y)+c_1 [/mm] , [mm] \forall c_1 \in \mathbb [/mm] R$ ist.

Also $f(x,y)=  [mm] e^x\cdot{}cos(y)+c_1 [/mm] +i( [mm] e^x\cdot{}sin(y)), \forall c_1 \in \mathbb [/mm] R$

richtig so?

numero three

"$ v(x,y)= -y $

>  für CR-DGl muss gelten
>  $ [mm] u_x=v_y [/mm] $ und $ [mm] u_y=-v_x [/mm] $, also $ [mm] u_x=2x+1=1=v_y [/mm] $ und

$ [mm] u_x=2x+1=-1=v_y [/mm] $

> $ [mm] u_y=2y=0=-v_x [/mm] $
>  Daraus folgt $ x=0 $ und $ y=0 $. Das heißt $ f $ ist im Punkt $ z=0 [mm] \in \mathbb{C} [/mm] $

Daraus folgt $ x=1 $ und $ y=0 $. Das heißt $ f $ ist im Punkt $ z=1 [mm] \in \mathbb{C} [/mm] $

> komplex diff'bar und holomorph und die Ableitung ist dort
> $ [mm] f'(0)=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] $

Wenn f an der Stelle 0 komplex differenzierbar ist, ist f'(0) eine komplexe Zahl und keine Matrix.

$ f'(z) = [mm] \bruch{\partial f}{\partial z}(z) [/mm] = -i [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}(x+iy) [/mm] $ mit $ z=x+iy $

Für $ f(x+iy) = [mm] x^2+y^2+x-iy [/mm] $
$ f'(x+iy) = -i(2y-i) = -2yi-1 $
$ f'(1+i0) = -1 $"

Bei mir im Skript steht für [mm] $f'(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0)=i(u_y(x_0,y_0)+iv_y(x_0,y_0))$ [/mm]

wende ich das auf diese aufgabe an bekommen ich [mm] $f'(z_0)=2x+1=i(2y-i)$ [/mm] raus, ist das so richtig?

viertens

hier habe ich mich vertan, da vor dem $v(x,y)$ ein Minus steht.

siehe:
  $ [mm] f:\mathbb{C}^{\cdot{}}\to \mathbb{C}, [/mm] z [mm] \mapsto \frac{e^{z^2-1}}{z}+Re(z)^2+Im(z)^5-i(Re(z)^5+Im(z)^2) [/mm] $

Deshalb muss ja folgen

[mm] $u_x=2x, u_y=5y^4, v_x=-5x^4$ [/mm] und [mm] $v_y=-2y$ [/mm]

also resultieren die Bedingungen

$(1) x=-y$ und ($2) [mm] 5x^4=5y^4$. [/mm] Das heißt die offene Menge auf der $f$ diff'bar ist, ist [mm] $D:=\{z=x-ix | \forall x \in \mathbb R\}$, [/mm] ist $f$ gleichzeitig auch holomorph auf $D$?


Danke für deine Antworten!



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CR-DGL/ Vielzahl von Fragen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Sa 10.09.2022
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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CR-DGL/ Vielzahl von Fragen: Wieder zum Leben erweckt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:57 Mo 05.09.2022
Autor: Infinit

Hallo,
habe den Thread wieder zum Leben erweckt, damit nkln eine Antwort bekommt.
Gruß,
Infinit

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