matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAnalysis des R1Cadlag Funktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Analysis des R1" - Cadlag Funktion
Cadlag Funktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Cadlag Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:54 Fr 31.01.2014
Autor: hula

Hallöööchen

Ich habe folgende Frage zu einem Beweis: Sei [mm] $f:[0,\inty)\to\mathbb{R}$ [/mm] cadlag (rechtsseitig stetig mit linkem Limes) dann besitzt $f$ höchstens abzählbare viele Unstetigkeitsstellen.

Nun der Beweis geht ja wie folgt: sei [mm] $A_n:=\{x\in[0,\frac{1}{n}\}$ [/mm] wobei $f(x-)$ der linke Limes bei $x$ ist. Alles was ich wissen muss, ist, dass [mm] $A_n$ [/mm] abzählbar ist. Aber wieso ist dies der Fall. Es wir argumentiert, dass dies der Fall sei, da [mm] $A_n$ [/mm] keine Häufungspunkte besitzt. Wie kann ich denn einen Widerspruch herleiten aus der Existenz eines Häufungspunktes?

Wieso gilt: [mm] $A_n$ [/mm] keinen Häufungspunkt, daher ist die Menge höchstens abzählbar?

danke und gruss

hulaaaaaaaaa

        
Bezug
Cadlag Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:07 Fr 31.01.2014
Autor: fred97


> Hallöööchen
>  
> Ich habe folgende Frage zu einem Beweis: Sei
> [mm]f:[0,\inty)\to\mathbb{R}[/mm] cadlag (rechtsseitig stetig mit
> linkem Limes) dann besitzt [mm]f[/mm] höchstens abzählbare viele
> Unstetigkeitsstellen.
>
> Nun der Beweis geht ja wie folgt: sei
> [mm]A_n:=\{x\in[0,\frac{1}{n}\}[/mm] wobei
> [mm]f(x-)[/mm] der linke Limes bei [mm]x[/mm] ist. Alles was ich wissen muss,
> ist, dass [mm]A_n[/mm] abzählbar ist. Aber wieso ist dies der Fall.
> Es wir argumentiert, dass dies der Fall sei, da [mm]A_n[/mm] keine
> Häufungspunkte besitzt. Wie kann ich denn einen
> Widerspruch herleiten aus der Existenz eines
> Häufungspunktes?

Versuchs doch mal: Annahme [mm] A_n [/mm] hat einen HP [mm] x_0. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (x_k) [/mm] in [mm] A_n [/mm] mit:

     [mm] x_k \to x_0 [/mm] und [mm] x_k \ne x_0 [/mm] für alle k.

Jetzt Du !

>
> Wieso gilt: [mm]A_n[/mm] keinen Häufungspunkt, daher ist die Menge
> höchstens abzählbar?

Allgemein: sei X eine Teilmenge von [mm] \IR, [/mm] die keinen HP hat.

Für j [mm] \in \IN [/mm] setze [mm] $B_j:=X \cap [/mm] [-j,j]$.

Nun betrachten wir ein [mm] B_j [/mm] , wobei wir annehmen, dass [mm] B_j [/mm] nichtleer ist. Klar, [mm] B_j [/mm] ist beschränkt. Zeige nun, durch Widerspruch, dass [mm] B_j [/mm] endlich ist.

Damit ist wegen, [mm] X=\bigcup_{j=1}^{\infty}B_j, [/mm] die Menge X höchstens abzählbar.

FRED

>  
> danke und gruss
>  
> hulaaaaaaaaa


Bezug
                
Bezug
Cadlag Funktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:37 Fr 31.01.2014
Autor: hula

Hallo Fred!

> Versuchs doch mal: Annahme [mm]A_n[/mm] hat einen HP [mm]x_0.[/mm] Dann gibt
> es eine Folge [mm](x_k)[/mm] in [mm]A_n[/mm] mit:
>  
> [mm]x_k \to x_0[/mm] und [mm]x_k \nr x_0[/mm] für alle k.
>  
> Jetzt Du !

Indem wir zu einer Teilfolge übergehen, können wir annehmen [mm] $x_k\downarrow x_0$. [/mm] Da $f$ rechtsseitig stetig ist, finden wir also ein [mm] $N\in\mathbb{N}$ [/mm] so dass für alle [mm] $k\ge [/mm] N$ wir haben [mm] $|f(x_0)-f(x_k)|\le \frac{1}{n}$, [/mm] was ein Widerspruch wäre. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob wir immer so eine Teilfolge finden können.

>  >

> > Wieso gilt: [mm]A_n[/mm] keinen Häufungspunkt, daher ist die Menge
> > höchstens abzählbar?
>  
> Allgemein: sei X eine Teilmenge von [mm]\IR,[/mm] die keinen HP
> hat.
>  
> Für j [mm]\in \IN[/mm] setze [mm]B_j:=X \cap [-j,j][/mm].
>  
> Nun betrachten wir ein [mm]B_j[/mm] , wobei wir annehmen, dass [mm]B_j[/mm]
> nichtleer ist. Klar, [mm]B_j[/mm] ist beschränkt. Zeige nun, durch
> Widerspruch, dass [mm]B_j[/mm] endlich ist.
>  

Also, nehmen wir an, dass [mm] $B_j$ [/mm] nicht endlich ist, d.h. mindest abzählbar. Wählen wir also eine Folge [mm] $\{x_k\}\in B_j$ [/mm] ist diese beschränkt. Daher existiert eine Teilfolge die gegen ein Element [mm] $x\in B_j$ [/mm] konvergiert (abgeschlossen in Teilraumtopologie). Dann hätte aber $X$ einen Häufungspunkt, also wieder Widerspruch.

Hier bin ich mir mit der Abgeschlossenheit nicht ganz sicher. Danke für deine Hilfe

Bezug
                        
Bezug
Cadlag Funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mo 03.02.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 12h 41m 4. fred97
MaßTheo/Sigma-Algebra = P(X)
Status vor 1d 14h 0m 8. Gonozal_IX
MaßTheo/Beweis Sigma-Algebra
Status vor 2d 6. hohohaha1234
USons/Größtmöglichstes Produkt
Status vor 2d 2. matux MR Agent
Mathematica/parametrischen Plot
Status vor 2d 3. Gonozal_IX
UAuslg/Log. Äquivl. vs. log. Schluss
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]