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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:40 Sa 28.11.2009 | | Autor: | moreas |
| Aufgabe | Im Interval I:=[0,1] befindet sich das Loch:=(1/3,2/3). Wir iterieren die Abbildung
$f: [mm] \IR \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{3}{2}(1-2|x-\bruch{1}{2}|) [/mm] $
so oft, bis wir das Lich erreichen. Wir betrachten also für den Startwert [mm] $x_0 \in [/mm] I$ die Folge [mm] $(x_n)_{n \in\IN}$, $x_{n+1}:=f(x_n)$. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge [mm] $C:=\{x_0 \in I/L | \forall n \in \IN : x_n\in I/L\}$ [/mm] der nie in das Loch fallenden Anfangswerte das Maß Null haben, d.h. dass [mm] $I_C$ [/mm] Integral Null besitzt.
Tipp: Man kann eine Hüllreihe konstruieren und die Menge
[mm] $C_N:=\{x_0 \in I/L | \forall n \in N : x_n\in I/L\} [/mm] (N [mm] \in \IN)$ [/mm] benutzen |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe zu der Aufgabe schon herausgefunden, dass die Cantormenge nach n "Zerlegungen" zu [mm] $2^{n+1}$ [/mm] Teilintervallen mit einer Länge von [mm] $3^{-(n+1)}$ [/mm] zerfällt und ich hab dann auch die Integration verstanden, nämlich
[mm] $\summe_{n=0}^\infty \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{3^{n+1}}=1$.
[/mm]
Was ich nun nicht verstanden habe ist, dass meine Aufgabe ja nur den ersten "Zerlegungs"-Schritt enthält, ich also nur 2 Teilintervalle mit einer Länge von von 3 habe und wenn ich nun darüber integriere wie gerade
[mm] $\summe_{n=0}^\infty \summe_{k=1}^{2} \bruch{1}{3}$
[/mm]
dann kommt [mm] \infty [/mm] heraus. Außerdem weiß ich nicht, wofür die Funktion f von oben sein soll.
Wäre schön, wenn mir jemand einen Tipp geben kann. Vielen Dank schonmal im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 01.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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