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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 So 13.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr alle! 
Hab hier auf einem alten Übungsblatt die Cantormenge folgendermaßen definiert gehabt:
[mm] C:=\{x\in\IR;x=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{3^n}, a_n\in\{0,2\}\}
[/mm]
Aufgabenteil b lautete nun folgendermaßen:
Unter Verwendung der obigen Darstellung sei eine Funktion [mm] \varphi:C\to\IR [/mm] wie folgt definiert:
[mm] \varphi(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{2^{n+1}}.
[/mm]
Beweisen Sie, dass die Funktion monoton ist.
In der Übung haben wir dazu nun folgendes aufgeschrieben:
[mm] x_1=\summe\bruch{a_n}{3^n}
[/mm]
[mm] x_2=\summe\bruch{a_n'}{3^n}
[/mm]
[mm] x_2>x_1 \to x_2-x_1=\summe\bruch{a_n-a_n'}{3^n}>0
[/mm]
(Soweit ist das noch klar! )
[mm] \exists [/mm] k s.d. [mm] a_k'-a_k>0
[/mm]
[mm] \varphi_2(x)-\varphi_1(x)=\summe_{n\ge 1}\bruch{a_n'-a_n}{2^{n+1}}=\bruch{a_k'-a_k}{2^{k+1}}+\underbrace{\summe_{n\ge k}...}_{\le\bruch{1}{2^{k+1}}}\ge [/mm] 0
Aber was soll das k bedeuten? Worauf bezieht sich das? Oder ist es nur mit n verwechselt worden? Und [mm] \varphi_2 [/mm] und [mm] \varphi_1 [/mm] sollten wahrscheinlich [mm] \varphi(x_2) [/mm] und [mm] \varphi(x_1) [/mm] heißen, oder?
Vielleicht würden mir Antworten auf diese beiden Fragen ja schon weiterhelfen, zu verstehen, was das da oben sollte...
Und Aufgabenteil c war folgender:
Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] \varphi [/mm] eine stetige Fortsetzung [mm] \varphi':[0,1]\to\IR [/mm] besitzt.
Hierzu haben wir nun folgendes aufgeschrieben:
sei [mm] x\in Def.(\varphi), x\in[0,1]
[/mm]
[mm] a=sup\{a'|a'
[mm] \varphi'(x)=\varphi(a)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{2^{n+1}}
[/mm]
Hierbei frage ich mich zuerst, was das x nun sein soll. Ist der Definitionsbereich von C nun ganz [mm] \IR [/mm] gewesen oder nur das Intervall [0,1] oder wie?
Und vielleicht kann mir jemand mit Worten erklären, was da weiter gemacht wurde? Ich verstehe das nämlich irgendwie nicht...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mo 14.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo ihr alle!
>
> Hab hier auf einem alten Übungsblatt die Cantormenge
> folgendermaßen definiert gehabt:
>
> [mm]C:=\{x\in\IR;x=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{3^n}, a_n\in\{0,2\}\}
[/mm]
>
>
> Aufgabenteil b lautete nun folgendermaßen:
> Unter Verwendung der obigen Darstellung sei eine Funktion
> [mm]\varphi:C\to\IR[/mm] wie folgt definiert:
> [mm]\varphi(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{2^{n+1}}.
[/mm]
> Beweisen Sie, dass die Funktion monoton ist.
>
> In der Übung haben wir dazu nun folgendes aufgeschrieben:
> [mm]x_1=\summe\bruch{a_n}{3^n}
[/mm]
> [mm]x_2=\summe\bruch{a_n'}{3^n}
[/mm]
>
> [mm]x_2>x_1 \to x_2-x_1=\summe\bruch{a_n-a_n'}{3^n}>0
[/mm]
>
>
> (Soweit ist das noch klar! )
>
> [mm]\exists[/mm] k s.d. [mm]a_k'-a_k>0
[/mm]
>
> [mm]\varphi_2(x)-\varphi_1(x)=\summe_{n\ge 1}\bruch{a_n'-a_n}{2^{n+1}}=\bruch{a_k'-a_k}{2^{k+1}}+\underbrace{\summe_{n\ge k}...}_{\le\bruch{1}{2^{k+1}}}\ge[/mm]
> 0
>
> Aber was soll das k bedeuten? Worauf bezieht sich das? Oder
Hallo Bastiane
Zur Zahl [mm] $x_1$ [/mm] gehört die Folge [mm] $a_1,a_2,\dots$ [/mm] und zur Zahl [mm] $x_2$ [/mm] gehört die Folge [mm] $a_1',a_2',\dots$.
[/mm]
Die Zahl k ist der kleinste Index, bei dem sich die beiden Folgen $a_.$ und $a'_.$ unterscheiden.
> ist es nur mit n verwechselt worden? Und [mm]\varphi_2[/mm] und
> [mm]\varphi_1[/mm] sollten wahrscheinlich [mm]\varphi(x_2)[/mm] und
> [mm]\varphi(x_1)[/mm] heißen, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielleicht würden mir Antworten auf diese beiden Fragen ja
> schon weiterhelfen, zu verstehen, was das da oben
> sollte...
>
>
> Und Aufgabenteil c war folgender:
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]\varphi[/mm] eine stetige
> Fortsetzung [mm]\varphi':[0,1]\to\IR[/mm] besitzt.
>
> Hierzu haben wir nun folgendes aufgeschrieben:
> sei [mm]x\in Def.(\varphi), x\in[0,1]
[/mm]
> [mm]a=sup\{a'|a'
>
> [mm]\varphi'(x)=\varphi(a)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{2^{n+1}}
[/mm]
>
> Hierbei frage ich mich zuerst, was das x nun sein soll. Ist
> der Definitionsbereich von C nun ganz [mm]\IR[/mm] gewesen oder nur
> das Intervall [0,1] oder wie?
Die Menge C ist eine nirgends dichte, abgeschlossene Teilmenge des Intervalls [0,1]. Das heisst, dass das Komplement offen ist. Wie soll man [mm] $\varphi$ [/mm] fortsetzen.
Ist [mm] $x\in[0,1]\smallsetminus [/mm] C$ dann sei [mm] $a_x$ [/mm] der grösste Wert in C, der kleiner als x ist. Und man definiert [mm] $\varphi(x)=\varphi(a_x)$. [/mm] (Die Funktion [mm] $\varphi$ [/mm] ist also "stückweise" konstant!).
Jetzt muss man "nur noch" zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] stetig ist. Dazu muss man nur zeigen, dass sie stetig ist in den Punkten von C.
mfG Moudi
> Und vielleicht kann mir jemand mit Worten erklären, was da
> weiter gemacht wurde? Ich verstehe das nämlich irgendwie
> nicht...
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
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>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo moudi!
Ist zwar etwas spät, aber besser als nie!
> > Hallo ihr alle!
> >
> > Hab hier auf einem alten Übungsblatt die Cantormenge
> > folgendermaßen definiert gehabt:
> >
> > [mm]C:=\{x\in\IR;x=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{3^n}, a_n\in\{0,2\}\}
[/mm]
>
> >
> >
> > Aufgabenteil b lautete nun folgendermaßen:
> > Unter Verwendung der obigen Darstellung sei eine
> Funktion
> > [mm]\varphi:C\to\IR[/mm] wie folgt definiert:
> > [mm]\varphi(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{2^{n+1}}.
[/mm]
> > Beweisen Sie, dass die Funktion monoton ist.
> >
> > In der Übung haben wir dazu nun folgendes aufgeschrieben:
> > [mm]x_1=\summe\bruch{a_n}{3^n}
[/mm]
> > [mm]x_2=\summe\bruch{a_n'}{3^n}
[/mm]
> >
> > [mm]x_2>x_1 \to x_2-x_1=\summe\bruch{a_n-a_n'}{3^n}>0
[/mm]
> >
> >
> > (Soweit ist das noch klar! )
> >
> > [mm]\exists[/mm] k s.d. [mm]a_k'-a_k>0
[/mm]
> >
> > [mm]\varphi_2(x)-\varphi_1(x)=\summe_{n\ge 1}\bruch{a_n'-a_n}{2^{n+1}}=\bruch{a_k'-a_k}{2^{k+1}}+\underbrace{\summe_{n\ge k}...}_{\le\bruch{1}{2^{k+1}}}\ge[/mm]
> > 0
> >
> > Aber was soll das k bedeuten? Worauf bezieht sich das? Oder
>
> Hallo Bastiane
>
> Zur Zahl [mm]x_1[/mm] gehört die Folge [mm]a_1,a_2,\dots[/mm] und zur Zahl
> [mm]x_2[/mm] gehört die Folge [mm]a_1',a_2',\dots[/mm].
> Die Zahl k ist der kleinste Index, bei dem sich die beiden
> Folgen [mm]a_.[/mm] und [mm]a'_.[/mm] unterscheiden.
Ok. Also was das k bedeutet, hattest du mir ja jetzt erklärt - danke. Allerdings verstehe ich die Zeile mit dem [mm] \varphi_2(x) [/mm] usw. da oben immer noch nicht. Warum gilt das erste Gleichheitszeichen? Und könntest du vielleicht auch noch etwas zu dem Rest der Zeile erklären?
Aufgabenteil c habe ich jetzt glaube ich verstanden.
Viele Grüße
Bastiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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Hallo Bastiane!
Hm, also so wie es aussieht, liegt ein Schreibfehler vor... statt [mm] $\varphi_2(x) [/mm] - [mm] \varphi_1(x)$ [/mm] sollte es eigentlich heißen: [mm] $\varphi(x_2) [/mm] - [mm] \varphi(x_1)$.
[/mm]
Ist dann die Gleichung klar? [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] waren ja oben definiert und die Bilder unter [mm] $\varphi$ [/mm] sind zwei Reihen, die einfach voneinander abgezogen werden - der Nenner stimmt jeweils überein, also zieht man die Zähler voneinander ab. Bis zum Index $k$ sind die Folgen gleich, also fallen die Summanden weg. Dann kommt der Summand für den Index $k$ und den Rest kann man abschätzen.
Alle Klarheiten beseitigt?
Gruß,
Lars
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 28.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Sorry, ich hab doch noch ne Frage zum letzten Teil:
> > Und Aufgabenteil c war folgender:
> > Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]\varphi[/mm] eine stetige
> > Fortsetzung [mm]\varphi':[0,1]\to\IR[/mm] besitzt.
> >
> > Hierzu haben wir nun folgendes aufgeschrieben:
> > sei [mm]x\in Def.(\varphi), x\in[0,1]
[/mm]
> > [mm]a=sup\{a'|a'
>
> >
> >
> [mm]\varphi'(x)=\varphi(a)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_n}{2^{n+1}}
[/mm]
> >
> > Hierbei frage ich mich zuerst, was das x nun sein soll. Ist
> > der Definitionsbereich von C nun ganz [mm]\IR[/mm] gewesen oder nur
> > das Intervall [0,1] oder wie?
>
> Die Menge C ist eine nirgends dichte, abgeschlossene
> Teilmenge des Intervalls [0,1]. Das heisst, dass das
> Komplement offen ist. Wie soll man [mm]\varphi[/mm] fortsetzen.
>
> Ist [mm]x\in[0,1]\smallsetminus C[/mm] dann sei [mm]a_x[/mm] der grösste Wert
> in C, der kleiner als x ist. Und man definiert
> [mm]\varphi(x)=\varphi(a_x)[/mm]. (Die Funktion [mm]\varphi[/mm] ist also
> "stückweise" konstant!).
Wenn man sich das jetzt vorstellt, was macht man denn dann z. B. mit dem Intervall [mm] [\bruch{1}{3}, \bruch{2}{3}]? [/mm] Da müssen doch quasi alle Elemente "fortgesetzt" werden, wenn ich aber nur einen Wert für das größte a definiere, was passiert mit dem Rest? Was wird für alle anderen Zahlen definiert?
Und dann hatten wir noch darunter stehen:
[mm] 0,a_1a_2a_3...a_n0...
[/mm]
Was könnte das denn bedeuten?
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 30.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Bastiane
Die Zahl [mm] $\frac [/mm] 13$ gehört zu C, denn [mm] $\frac13$ [/mm] ist ternär $0.10000000...0=0.02222222...$
Also ist für [mm] $x\in(\frac13,\frac [/mm] 23)$ der Funktionswert [mm] $\varphi'(x)=\varphi(\frac13)$.
[/mm]
Die Zahl [mm] $\frac [/mm] 23$ gehört ebenfalls zu C, denn [mm] $\frac [/mm] 23$ ist ternär $0.20000...$
Und man muss jetzt zeigen, dass [mm] $\varphi(2/3)=\varphi(1/3)$ [/mm] ist.
mfG Moudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mi 30.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo moudi!
> > Die Zahl [mm]\frac 13[/mm] gehört zu C, denn [mm]\frac13[/mm] ist ternär
> > [mm]0.10000000...0=0.02222222...[/mm]
> >
> > Also ist für [mm]x\in(\frac13,\frac 23)[/mm] der Funktionswert
> > [mm]\varphi'(x)=\varphi(\frac13)[/mm].
> Also wird dann für das ganze Intervall, das vorher nicht
> enthalten war, jetzt ein Funktionswert definiert - sehe ich
> das richtig? Ich frage mich dann nur, warum man a als die
> größte Zahl definiert hat? Es müssten doch dann eigentlich
> alle Zahlen dazwischen gewesen sein, oder nicht?
Hallo Bastiane
Ich verstehe deine Frage nicht ganz. Ist x nicht in C, dann definiert man [mm] $\varphi`(x)=\varphi(a)$, [/mm] wobei a die grösste Zahl in C ist, die kleiner als x ist. Diese Zahl existiert (ein wirkliches Maximum), da C abgeschlossen ist.
mfG Moudi
> ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
>
> Viele Grüße
> Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo moudi!
> Ich verstehe deine Frage nicht ganz. Ist x nicht in C, dann
> definiert man [mm]\varphi'(x)=\varphi(a)[/mm], wobei a die grösste
> Zahl in C ist, die kleiner als x ist. Diese Zahl existiert
> (ein wirkliches Maximum), da C abgeschlossen ist.
Entschuldige, da habe ich wohl falsch hingeguckt. Ich dachte, x wäre in C und a nicht. Wenn natürlich a in C ist und x nicht, dann ist das klar. Danke.
Viele Grüße
Bastiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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