Caratheodory-Meßbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 So 10.07.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo! Eine Frage zur Maßtheorie:
Ist [mm] \lambda:\mathcal{S}\to \overline{\IR}_{+} [/mm] ein Maß auf einer sigma-Algebra [mm] \mathcal{S}\subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] und [mm] \mu:\mathcal{P}(\Omega)\to \overline{\IR}_{+} [/mm] das zugeordnete äußere Maß, so ist jedes [mm] A\in \mathcal{S} [/mm] Caratheodory-meßbar. |
Also wenn A Caratheodory-meßbar ist, heißt das meines Wissens:
[mm] \mu(X)=\mu(X\cap A)+\mu(X\cap A^{C}) [/mm] für alle [mm] X\in \mathcal{P}(\Omega)
[/mm]
Diese Identität muss ich dann wohl zeigen.
Dass [mm] \mu(X)\leq \mu(X\cap A)+\mu(X\cap A^{C}) [/mm] gilt, folgt sofort aus der Subadditivität von äußeren Maßen.
Schwierigkeiten bereitet mir zu zeigen, dass
[mm] \mu(X)\geq \mu(X\cap A)+\mu(X\cap A^{C}).
[/mm]
Spontan würde mir da Folgendes einfallen:
Man nimmt einfach mal eine beliebige Überdeckung von X an, also [mm] X\subset \bigcup_{j}X_j, [/mm] dann ist ja nach Definition
[mm] \mu(X)=\inf \sum_{j}\lambda (X_j).
[/mm]
Dann kann man aber auch Überdeckungen von [mm] (X\cap [/mm] A) und [mm] (X\cap A^{C}) [/mm] finden, nämlich:
[mm] (X\cap A)\subset \bigcup_{j}(X_j\cap [/mm] A) und
[mm] (X\cap A^{C})\subset \bigcup_{j}(X_j\cap A^{C}).
[/mm]
Und nach Definition gilt dann
[mm] \mu(X\cap A)=\inf \sum_{j}\lambda(X_j\cap [/mm] A) und
[mm] \mu(X\cap A^{C})=\inf \sum_{j}\lambda(X_j\cap A^{C})
[/mm]
Hm, wie kann es jetzt weiter gehen...
Ist das der richtige Weg wenigstens?
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Huhu,
nutze nun noch: [mm] $\inf(a+b) \ge \inf [/mm] a + [mm] \inf [/mm] b$ und dass wenn du eine Überdeckung von $A [mm] \cap [/mm] X$ und eine von [mm] $A^c \cap [/mm] X$ hast, die Vereinigung beider Überdeckungen eine Überdeckung von X bilden.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 10.07.2011 | | Autor: | mikexx |
> Huhu,
>
> nutze nun noch: [mm]\inf(a+b) \ge \inf a + \inf b[/mm] und
Also:
[mm]\mu(X\cap A)+\mu(X\cap A^{C})=\inf\sum_{j}\lambda(X_j\cap A)+\inf\sum_{j}\lambda(X_j\cap A^{C})\leq \inf(\sum_{j}\lambda(X_j\cap A)+\sum_{j=1}\lambda(X_j\cap A^{C}))[/mm]
> dass wenn
> du eine Überdeckung von [mm]A \cap X[/mm] und eine von [mm]A^c \cap X[/mm]
> hast, die Vereinigung beider Überdeckungen eine
> Überdeckung von X bilden.
Das habe ich noch nicht verstanden.
>
> MFG,
> Gono.
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Huhu,
> Das habe ich noch nicht verstanden.
brauchst du auch nicht, weil es nicht zielführend wäre, da war ich ein wenig vorschnell.
Das funktioniert nur für die umgekehrte Ungleichung, die du eh hast.
Dann etwas detaillierter:
Für alle [mm] $\varepsilon$, [/mm] gibt eine Überdeckung von $X [mm] \subset \bigcup X_j$ [/mm] so dass (warum?):
[mm] $\mu(X) [/mm] + [mm] \varepsilon \ge \summe\lambda(X_j) [/mm] = [mm] \summe\lambda\left((X_j \cap A) \cup (X_j \cap A^c)\right) [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Naja, nun ausnutzen, dass [mm] \lambda [/mm] ein Maß ist, Infimum draufwerfen, [mm] $\varepsilon \to [/mm] 0$, fertig 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 10.07.2011 | | Autor: | mikexx |
> Dann etwas detaillierter:
>
> Für alle [mm]\varepsilon[/mm], gibt eine Überdeckung von [mm]X \subset \bigcup X_j[/mm]
> so dass (warum?):
>
> [mm]\mu(X) + \varepsilon \ge \summe\lambda(X_j) = \summe\lambda\left((X_j \cap A) \cup (X_j \cap A^c)\right) = \ldots[/mm]
>
> Naja, nun ausnutzen, dass [mm]\lambda[/mm] ein Maß ist, Infimum
> draufwerfen, [mm]\varepsilon \to 0[/mm], fertig
>
Bevor ich versuche zu verstehen, warum das geht mit dem Epsilon, will ich erstmal versuchen, die Ungleichungskette fertig aufzuschreiben:
[mm]\mu(X) + \varepsilon \ge \summe\lambda(X_j) = \summe\lambda\left((X_j \cap A) \cup (X_j \cap A^c)\right) =\sum_{j}\lambda(X_j\cap A)+\lambda(X_j\cap A^{C})=\sum_{j}\lambda(X_j\cap A)+\sum_{j}\lambda(X_j\cap A^{C}) [/mm]
Bis hierhin müsste es jedenfalls korrekt sein.
Jetzt folgt vermutlich:
[mm]\geq \inf \sum_{j}\lambda(X_j\cap A)+\inf \sum_{j}\lambda(X_j\cap A^{C})=\mu(X\cap A)+\mu(X\cap A^{C}) [/mm]
Doch ich sehe nicht, wie daraus jetzt folgt, dass
[mm]\mu(X)\geq \mu(X\cap A)+\mu(X\cap A^{C})[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 So 10.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Anders gefragt:
Die Behauptung folgt, wenn man Epsilon gegen 0 gehen lässt.
Aber ich verstehe nicht, wie man auf den Anfang des Ganzen kommt, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] dieses gilt:
[mm]\mu(X)+\varepsilon\geq \sum_{j}\lambda(X_j)[/mm]
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Huhu,
> Bevor ich versuche zu verstehen, warum das geht mit dem
> Epsilon, will ich erstmal versuchen, die Ungleichungskette
> fertig aufzuschreiben:
>
> [mm]\mu(X) + \varepsilon \ge \summe\lambda(X_j) = \summe\lambda\left((X_j \cap A) \cup (X_j \cap A^c)\right) =\sum_{j}\lambda(X_j\cap A)+\lambda(X_j\cap A^{C})=\sum_{j}\lambda(X_j\cap A)+\sum_{j}\lambda(X_j\cap A^{C})[/mm]
>
> Bis hierhin müsste es jedenfalls korrekt sein.
Jap 
> Jetzt folgt vermutlich:
>
> [mm]\geq \inf \sum_{j}\lambda(X_j\cap A)+\inf \sum_{j}\lambda(X_j\cap A^{C})=\mu(X\cap A)+\mu(X\cap A^{C})[/mm]
Nicht nur vermutlich, sondern genau das folgt.
> Die Behauptung folgt, wenn man Epsilon gegen 0 gehen lässt.
Genau.
> Aber ich verstehe nicht, wie man auf den Anfang des Ganzen kommt, dass für jedes dieses gilt:
> $ [mm] \mu(X)+\varepsilon\geq \sum_{j}\lambda(X_j) [/mm] $
Das folgt einfach direkt aus der Definition von [mm] \mu [/mm] als Infimum über Summen von [mm] \lambda(X_j).
[/mm]
Denn allgemein gilt ja:
b ist Infimum (größte untere Schranke) einer Menge A, genau dann, wenn folgende 2 Eigenschaften erfüllt sind:
i) b ist untere Schranke von A
ii) [mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,a\in [/mm] A: [mm] b+\varepsilon [/mm] > a$ (heisst: sobald ich ich etwas noch so kleines zu b dazuaddiere, ist es keine untere Schranke mehr).
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 10.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Das heißt die Idee ist folgende:
Sorry, wenn ich das nochmal nachfrage, aber mir ist es wichtig, dass ich das klar kriege in meinem bescheidenen Mathe-Kopf:
[mm]\mu(X)[/mm] ist ja per Definition [mm]\inf\sum_{j}\lambda(X_j)[/mm]. Also sozusagen die "am besten passendste" Überdeckung von X. So stell ich mir das immer vor: Man näher sich sozusagen von außen X an und stoppt dann, wenn es "genau passt", dass ist dann die größte untere Schranke, also das Infimum.
Naja.
Wenn man jetzt ein Epsilon dazu addiert, so hat man irgendeine Summe [mm]\sum_{j}\lambda(X_j)[/mm], die kleiner (oder gleich) dem [mm] \mu(X)+\varepsilon [/mm] [/mm] ist. Das könnte theoretisch auch [mm] \mu(X) [/mm] selbst sein - oder eben irgendeine andere Summe, die nicht das Infimum ist und nur sozusagen zwischen [mm] \mu(X)+\varepsilon [/mm] und [mm] \mu(X) [/mm] liegt.
Ich hoffe, das ist so korrekt von mir verstanden.
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Hiho,
> Sorry, wenn ich das nochmal nachfrage, aber mir ist es
> wichtig, dass ich das klar kriege in meinem bescheidenen
> Mathe-Kopf:
dafür sind wir da, und insbesondere wenn soviel von dir selbst zurückkommt, ist es ok
> [mm]\mu(X)[/mm] ist ja per Definition [mm]\inf\sum_{j}\lambda(X_j)[/mm]. Also
> sozusagen die "am besten passendste" Überdeckung von X. So
> stell ich mir das immer vor: Man näher sich sozusagen von
> außen X an und stoppt dann, wenn es "genau passt",
"genau passt" muß nicht stimmen. Sag lieber "bestmöglichst" passt.
Stell dir bspw. vor, wenn du nur einzelne Rechtecke hast und dadurch einen Kreis approximieren willst. Du wirst immer einen (ziemlich großen) Unterschied zum Kreis haben.
Das Infimum kann also auch vom "genauen" Wert abweichen.
> Naja.
>
> Wenn man jetzt ein Epsilon dazu addiert, so hat man
> irgendeine Summe [mm]\sum_{j}\lambda(X_j)[/mm], die kleiner (oder
> gleich) dem [mm]\mu(X)+\varepsilon[/mm][/mm] ist.
Du findest auf jedenfall eine Summe, die echt kleiner und NICHT gleich ist.
Würde es eine solche Summe NICHT geben, wäre ja [mm] $\mu(X)+\varepsilon$ [/mm] eine untere Schranke und damit könnte [mm] $\mu(X)$ [/mm] nicht das Infimum sein.
> Das könnte theoretisch
> auch [mm]\mu(X)[/mm] selbst sein - oder eben irgendeine andere
> Summe, die nicht das Infimum ist und nur sozusagen zwischen
> [mm]\mu(X)+\varepsilon[/mm] und [mm]\mu(X)[/mm] liegt.
Genau. [mm] $\mu(X)$ [/mm] könnte es aber nur sein, wenn das Infimum auch angenommen wird und es damit ein Minimum wird.
Als kleine Übung kannst du dir ja mal überlegen, dass das Infimum nur dann angenommen wird, wenn [mm] $X\in [/mm] S$ gilt.
> Ich hoffe, das ist so korrekt von mir verstanden.
Bisher ja
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 So 10.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Vielen lieben Dank! Finde ich ganz toll, dass Du mir so geduldig geholfen hast.
In einer Klausur wäre ich zwar mit ziemlicher Sicherheit auf diese Beweisidee nicht gekommen (leider...), aber zumindest ist mir nun überhaupt gelungen, die Aufgabe zu beweisen.
Für mich ist es immer wieder ein Rätsel, wie man solche Ideen hat.
Einen schönen Sonntag noch!
mikexx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 10.07.2011 | | Autor: | dennis2 |
Hi!
Kannst Du vielleicht mal erklären, wie Du auf diese Idee mit dem Epsilon gekommen bist?
Einfach so spontan? Oder wie kommt einem eine solche Idee?
[Wüsste ich gern mal!]
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Huhu,
> Kannst Du vielleicht mal erklären, wie Du auf diese Idee
> mit dem Epsilon gekommen bist?
Üben, üben, üben
Irgendwann "sieht" man sowas dann.
Andererseits ist es eben so, dass solche Beweise oftmals gleich ablaufen.
Bspw. wenn Gleichheit zu zeigen ist, kann man es manchmal direkt zeigen, manchmal zeigt man aber auch erst (wie hier) [mm] \le [/mm] und dann [mm] \ge [/mm]
Und meistens gilt: Je offensichtlicher eine der beiden Ungleichungen, umso schwieriger ist die andere zu zeigen
Hier bietet sich das mit dem Epsilon aber aus mehreren Gründen an.
1.) Wenn Gleichheit gelten soll, könnte man es ein bisschen größer machen und dann ist es ja erst recht größer
2.) Bei Beweisen mit [mm] \inf, \sup, \lim [/mm] etc. bietet sich meistens an, ein [mm] \varepsilon [/mm] zu verwenden, da es die Grundlage ihrer Definitionen bildet. Dazu ist es natürlich notwendig Definitionen, etc zu kennen.
Der Rest ist dann meistens "schauen wir mal".
MFG;
Gono.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:52 So 10.07.2011 | | Autor: | dennis2 |
Danke für den bisherigen Erklärungsversuch; aber irgendwie werde ich da noch nicht schlau draus:
Es muss doch ganz konkret eine Erklärung dafür geben, wie man darauf kommt diesen Beweisschritt mit diesem Ansatz zu lösen.
Es kann ja kein Hokuspokus sein. Und für jemanden wie mich ist es immer interessant, die konkreten Gedankengänge zu erfahren, die zu solchen Ansätzen führen.
Kannst Du es evtl. etwas konkreter versuchen zu beschreiben?
Wenn nicht, dann danke ich dennoch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 12.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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