Caratheodory Differenzierbar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige mit Hilfe der Definition der Caratheodory Differenzierbarkeit (Definition der komplexen Differenzierbarkeit mittels Linearisierung) die Produkt und die Kettenregel. |
Hallo,
a) Produktregel:
Seien $c [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] $f_{c},g_{c}: [/mm] D [mm] \rightarrow \IC$ [/mm] stetig und seien diese komplex differenzierbar, also gelte:
$f(z)= [mm] f(c)+(z-c)f_{c}(z), g(z)=g(c)+(z-c)g_{c}(z)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] (fg)(z)= [mm] (fg)(c)+(z-c)\big( f_{c}(z)g(c)+f(c)g_{c}(z) [/mm] + [mm] (z-c)(f_{c}g_{c})(z)\big)$
[/mm]
und damit für $(fg)'(c)= [mm] f_{c}(c)g(c)+f(c)g_{c}(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c) [/mm] = f'g+g'f$
b) Kettenregel: Sei [mm] $c\in D_{1}, D_{2}$ [/mm] , $f,g$ komplex differenzierbar mit [mm] $f_{c},g_{c}: D_{1},D_{2} \rightarrow \IC$ [/mm] stetig. Dann gilt:
$ [mm] f(z)=f(c)+(z-c)f_{c}(z) [/mm] ; [mm] g(y)=g(f(c))+(y-f(c))g_{c}(y)$
[/mm]
mit h(c) stetig gilt $ [mm] \forall [/mm] z [mm] \in D_{1},D_{2}$: [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] h(f(z))-g(f(c)) = [mm] (z-c)g_{c}(f(z))f_{c}(z) [/mm] $
[mm] $g_{c}(f(z))$ [/mm] ist stetig in c [mm] $\Rightarrow g\circ [/mm] f$ komplex differenzierbar, damit gilt:
[mm] $(g\circ f)'(c)=g_{c}(f(c))f_{c}(c) [/mm] = g'(f(c))f'(c) = (g'f)f'$
Ist das so in Ordnung?
Bin für jegliche Hilfestellung dankbar.
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 05.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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