Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Di 29.11.2005 | | Autor: | roXma |
Hi!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt)
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Sei [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge und q [mm] \in \IR [/mm] mit 0<q<1. Ferner sei
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}| \le q^n
[/mm]
Zeige: [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] ist eine Cauchy-Folge.
Ich habe bereits die Definition für eine Cauchy-Folge herausgesucht:
[mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] heisst Cauchy-Folge, falls für alle
[mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] existiert, so dass für alle n,m [mm] \ge n_0 [/mm] gilt:
[mm] |a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Nun weiss ich jedoch nicht, wie ich beides zusammen bringen soll.
Und enspricht "q" eigentlich dem Epsilon?
Für einen Lösungsansatz wäre ich sehr dankbar!
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> Hi!
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> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt)
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> Ich muss folgende Aufgabe lösen:
>
> Sei [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge und q [mm]\in \IR[/mm] mit 0<q<1.
> Ferner sei
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}| \le q^n[/mm]
> Zeige:
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] ist eine Cauchy-Folge.
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> Ich habe bereits die Definition für eine Cauchy-Folge
> herausgesucht:
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] heisst Cauchy-Folge, falls für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]n_0 \in \IN[/mm] existiert, so dass für alle
> n,m [mm]\ge n_0[/mm] gilt:
> [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_m|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Nun weiss ich jedoch nicht, wie ich beides zusammen bringen
> soll.
Hallo,
mein Tip: wenn m=n+p ist, hast Du
[mm] |a_n-a_m|=|a_n-a_{n+p}|=|a_n-a_{n-1}+a_{n-1}-a_{n-2}+ [/mm] ... [mm] -a_{n+p-1}+a_{n+p-1}-a_{n+p}|.
[/mm]
Das mußt Du nun abschätzen.
[mm] q^n [/mm] ist nicht [mm] =\varepsilon, [/mm] aber Du kannst durch geeignete Bedingung an n erreichen, daß [mm] q^n< \varepsilon.
[/mm]
Gruß v. Angela
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