Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Di 17.02.2009 | | Autor: | Baeni |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (x_i)_{i\in \mathbb{N}} [/mm] = [mm] (i)_{i\in \mathbb{N}} [/mm] ist keine Cauchy-Folge:
Sei [mm] \varepsilon=1/2 [/mm] gewählt, und N eine beliebige natürliche Zahl. Dann wähle m = N + 1 und n = m + 1. Es ist dann
[mm] d\left(x_n, x_m\right) [/mm] = |n-m| = 1 > [mm] \varepsilon,
[/mm]
die Bedingung einer Cauchy-Folge ist also nicht erfüllt |
Dumme Frage:
Wenn man bei diesem Beispiel das [mm] \varepsilon [/mm] = 2 wählen würde, dann wäre doch die Bedingung für die Cauchy-Folge erfüllt, oder?
Das [mm] \varepsilon [/mm] kann man doch beliebig wählen. Woher weiß man dann, wie man es wählen soll, denn je nachdem welche Auswahl man trifft, varriert das Ergebnis?!
Ich danke schonmal für die Aufklärung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Di 17.02.2009 | | Autor: | Merle23 |
Bei einer Cauchy-Folge gilt es für -jedes- [mm] \epsilon.
[/mm]
edit: Auch mit [mm] \epsilon [/mm] auf zwei gesetzt haut es nicht hin. Nimm' n=m+3.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mi 18.02.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Baeni,
da hat Merle absolut recht.
> "Das [mm] \epsilon [/mm] kann man doch beliebig wählen"
Das ist nicht der originale Wortlaut der Bedingung.
Man muss es beliebig wählen können, wobei das Kriterium immer erfüllt bleibt.
Ergo: "Für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0" muss es gelten.
Das beliebig hast du wahrscheinlich aus diesem Kontext schon einmal gehört:
"Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 beliebig gewählt"
Das bedeutet allerdings nur: Egal welches wir wählen, es stimmt immer - oder anders formuliert: Für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 gilt...
Gruß, Maraq
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Baeni |
Das heißt dann ja auch, dass ich meine m,n [mm] \ge n_0 [/mm] dem frei gewählten [mm] \varepsilon [/mm] anpassen muss, oder?
Dann habe ich´s kapiert [hoffentlich :)]
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