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| Aufgabe | | Sei [mm] a_0=0, a_1=1 [/mm] und für n=2,3,... sei [mm] a_n [/mm] durch die Rekursion [mm] a_n=\frac{a_{n-1}+a{n-2}}{2} [/mm] definiert. Zeigen Sie, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchy-Folge ist, indem sie zum Beispiel zunächst induktiv die Formel [mm] a_{n+1}-a_n=\frac{(-1)^n}{2^n} (n\in\IN) [/mm] nachweisen. Letzteres erlaubt auch die explizite Bestimmung des Grenzwertes. Was ist sein Wert? |
[mm] a_{n+1}-a_n=\frac{(-1)^n}{2^n}
[/mm]
Induktionsanfang: n=0
[mm] a_1-a_0=1
[/mm]
1-0=1
[mm] n\to [/mm] n+1
[mm] a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}
[/mm]
Wie gehts jetzt weiter?? Bitte helft mir.glg steffi
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Hallo!
> Sei [mm]a_0=0, a_1=1[/mm] und für n=2,3,... sei [mm]a_n[/mm] durch die
> Rekursion [mm]a_n=\frac{a_{n-1}+a{n-2}}{2}[/mm] definiert. Zeigen
> Sie, dass [mm](a_n)[/mm] eine Cauchy-Folge ist, indem sie zum
> Beispiel zunächst induktiv die Formel
> [mm]a_{n+1}-a_n=\frac{(-1)^n}{2^n} (n\in\IN)[/mm] nachweisen.
> Letzteres erlaubt auch die explizite Bestimmung des
> Grenzwertes. Was ist sein Wert?
> [mm]a_{n+1}-a_n=\frac{(-1)^n}{2^n}[/mm]
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> Induktionsanfang: n=0
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> [mm]a_1-a_0=1[/mm]
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> 1-0=1
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> [mm]n\to[/mm] n+1
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> [mm]a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}[/mm]
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> Wie gehts jetzt weiter?? Bitte helft mir.glg steffi
Nur mal so aus Interesse... Hast du jetzt alle Aufgaben von deinem Aufgabenzettel hier abgetippt  ?
Benutzt die Definition der Folge und schreibe:
[mm] $a_{n+2}-a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{a_{n+1}+a_{n}}{2}-a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{a_{n}-a_{n+1}}{2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}*(a_{n+1}-a_{n})$
[/mm]
Nun die Induktionsvoraussetzung benutzen!
Zur Bestimmung des Grenzwerts: Nach der Formel gilt
[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] a_{n-1} [/mm] + [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
[/mm]
$= [mm] a_{n-2} [/mm] + [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} [/mm] + [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}$
[/mm]
$= [mm] a_{n-3} [/mm] + [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} [/mm] + [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2} [/mm] + [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-3}$,
[/mm]
usw. Führe das mal bis auf [mm] a_{0} [/mm] zurück. Dann hast du rechts eine geometrische Reihe stehen, deren Grenzwert du berechnen kannst.
Grüße,
Stefan
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