Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] x_{0}=1, x_{1}=0,5 [/mm] und [mm] x_{n+1}= \bruch{1}{1+x_{n}} [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen sie 0,5 [mm] \le x_{n} \le [/mm] 1 für alle n [mm] \in \IN [/mm] und
[mm] |x_{n+k+1}-x_{n+1}| \le [/mm] ( [mm] \bruch{2}{3})^2 |x_{n+k}-x_{n}| \le [/mm] ( [mm] \bruch{4}{9})^n |x_{k}-x_{0}|
[/mm]
für k,n [mm] \in \IN. [/mm] Folgern sie, dass (xn) eine Cauchy-Folge ist und bestimmen sie den Grenzwert. |
So ich habe jetzt mal versucht zu zeigen:
xn [mm] \ge [/mm] 0,5
n=1: [mm] x_{2}= \bruch{2}{3} \ge0,5
[/mm]
n [mm] \to [/mm] n+1:
[mm] x_{n+1+1}= \bruch{1}{1+x_{n+1}}= \bruch{1+x_{n}}{2+x_{n}}= \bruch{1}{2+x_{n}}+ \bruch{x_{n}}{2+x_{n}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1+x_{n}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2+x_{n}} [/mm] > 0,5 (IV)
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{2+x_{n}}+ \bruch{x_{n}}{2+x_{n}} \ge [/mm] 0,5 (Weil der zweite Summand ja auf jeden Fall <0 ist)
Ist das bis hier richtig? für <1 will ich das dann genauso versuchen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Mo 29.11.2010 | | Autor: | wauwau |
1. dass die Folgenglieder <1 sind ist unmittelbar ersichtlich, da der Nenner der Rekursion gößer ist als der Zähler [mm] (x_n [/mm] positiv)
2. deine vollst. Induktion kann ich nicht ganz nachvollziehen
gelte die Behauptung für [mm] x_n [/mm] und [mm] x_n [/mm] < 1 wie in 1. gezeigt
dann folgt
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{1+x_n}>\frac{1}{1+1}=0,5
[/mm]
daher gilt die Behauptung auch für n+1 qed.
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ich habe zur ersten Ungleichung den Ansatz:
[mm] |x_{n+k+1}-x_{n+1}|= [/mm] | [mm] \bruch{x_{n}-x_{n+k}}{(1+x_{n+k})(1+x_{n})}| \le \bruch{x_{n}-x_{n+k}}{(1+ \bruch{1}{2})(1+ \bruch{1}{2})}|=( \bruch{2}{3})^2 *|x_{n}-x_{n+k}|
[/mm]
Und für die zweite:
ich nutze die erste aus
( [mm] \bruch{2}{3})^2 *|x_{n+k}-x_{n}| \le [/mm] ( [mm] \bruch{2}{3})^2 [/mm] *( [mm] \bruch{2}{3})^2 *|x_{n+k-1}-x_{n-1}| \le... \le \underbrace{( \bruch{2}{3})^2 *...*( \bruch{2}{3})^2}_{=n+1} *|x_{n+k-n}-x_{n-n}|= [/mm] ( [mm] \bruch{4}{9})^{n+1} [/mm] |xk-x0|
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Mi 01.12.2010 | | Autor: | wauwau |
Stimmt im Prinzip
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