Cauchy-Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | Sei [mm] a_{n} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{(-1)^n}{n}. [/mm] Benutzen Sie nur die Definition einer
Cauchy-Folge, um zu zeigen, dass [mm] (a_{n}) [/mm] eine Cauchy-Folge ist. |
Hey,
Eine Cauchy-Folge muss folgendes erfüllen:
1. [mm] (a_{n}) [/mm] ist beschränkt (nach oben & unten)
2. [mm] (a_{n}) [/mm] besitzt also eine konvergente Teilfolge [mm] a_{n_{k}} \to [/mm] a
3. Sogar [mm] a_{n} \to [/mm] a
Meine bisherigen Ergebnisse:
Zu 1. ist die Folge nach unten von der 0 und nach oben von [mm] \bruch{3}{2} [/mm] beschränkt, weiß aber nicht wie ich das zeige.
Zu 2. keine Ahnung (Habt ihr hier irgendwelche Ansätze?)
& zu 3. [mm] a_{n} \to [/mm] 1, oder? (wie zeige ich das am besten?
Danke im Voraus! :)
|
|
| |
|
Hiho,
> Eine Cauchy-Folge muss folgendes erfüllen:
>
> 1. [mm](a_{n})[/mm] ist beschränkt (nach oben & unten)
das ergibt sich, weil sie konvergent ist.
> 2. [mm](a_{n})[/mm] besitzt also eine konvergente Teilfolge [mm]a_{n_{k}} \to[/mm] a
natürlich, wenn [mm] a_n [/mm] selbst konvergent ist, so auch jede Teilfolge.
> 3. Sogar [mm]a_{n} \to[/mm] a
Naja, weil es halt eine Cauchy-Folge ist.
> Meine bisherigen Ergebnisse:
sind für die Katz.
Wie lautet die Definition einer Cauchy-Folge? Die hast du bisher noch nicht hingeschrieben.
Ohne diese Definition wirst du nicht wissen, was du zeigen sollst, also nachschlagen!
Und dann nochmal von vorn 
Tipp: Dreiecksungleichung.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ähm, hab mir jetzt diverse Definitionen vom Begriff der Cauchy-Folge durchgelesen, aber ich verstehe es nicht.
[mm] a_{n} [/mm] Cauchy-Folge [mm] \Rightarrow \forall [/mm] e > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \mathbb [/mm] N : [mm] \mid a_n-a_m \mid [/mm] < [mm] e^{n,m} \ge [/mm] N
Kann mir das irgendwie jemand leichter erklären? Bin erst im 2. Semester und noch nicht wirklich der ANA-Pro ...
& was bringt mir die Dreiecksungleichung?
|
|
|
| |
|
Hallo Anazeug,
> Ähm, hab mir jetzt diverse Definitionen vom Begriff der
> Cauchy-Folge durchgelesen, aber ich verstehe es nicht.
>
> [mm]a_{n}[/mm] Cauchy-Folge [mm]\Rightarrow \forall[/mm] e > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \mathbb[/mm]
> N : [mm]\mid a_n-a_m \mid[/mm] < [mm]e^{n,m} \ge[/mm] N
Genauer
[mm]\forall\varepsilon>0 \ \exists N\in\IN \ \forall n,m\ge N: \ |a_n-a_m|<\varepsilon[/mm]
>
> Kann mir das irgendwie jemand leichter erklären? Bin erst
> im 2. Semester und noch nicht wirklich der ANA-Pro ...
Das ist doch nahe an der üblichen Folgengrenzwertdefinition.
Ist dir klar, was die anschaulich aussagt?
Dann sollte diese Definition hier doch auch klar sein.
Es besagt anschaulich:
Wie klein du [mm]\varepsilon[/mm] auch wählst, es gibt immer einen Index N, ab dem die Differenz zweier bel. Folgenglieder mit größeren Indizes kleiner als das [mm]\varepsilon[/mm] ist.
Die Folge ist sozusagen für hinreichend große n "fast konstant".
>
> & was bringt mir die Dreiecksungleichung?
Sie ist eines der probatesten Mittel in der Analysis
Schreibe dir mal [mm]|a_n-a_m|[/mm] hin.
Das musst du in einer wilden Nebenrechnung schön abschätzen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Schreibe dir mal [mm]|a_n-a_m|[/mm] hin.
meinst du jetzt | 1 + [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] - 1 + [mm] \bruch{(-1)^m}{m} [/mm] |
= | [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^m}{m} [/mm] |
evtl. Fallunterscheidung, für n und m gerade/ungerade?
Weiter wüsste ich nicht mehr ...
|
|
|
| |
|
Die Mathegötter in diesem Forum, mögen mich schlagen, aber:
Setze einmal $ m=2n $
Dann erhält man
[mm] |\bruch{2(-1)^n}{2n}+\bruch{(-1)^{2n}}{2n}|=...
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Die Mathegötter in diesem Forum, mögen mich schlagen,
> aber:
>
> Setze einmal [mm]m=2n[/mm]
> Dann erhält man
> [mm]|\bruch{2(-1)^n}{2n}+\bruch{(-1)^{2n}}{2n}|=...[/mm]
Danke, dann erhalte ich [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ... aber ich weiß noch nicht ganz, was ich damit anfange? Ist dieser Wert dann kleiner als mein [mm] \varepsilon [/mm] oder wie?
|
|
|
| |
|
> > Die Mathegötter in diesem Forum, mögen mich schlagen,
> > aber:
> >
> > Setze einmal [mm]m=2n[/mm]
> > Dann erhält man
> > [mm]|\bruch{2(-1)^n}{2n}+\bruch{(-1)^{2n}}{2n}|=...[/mm]
>
> Danke, dann erhalte ich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ...
Das würde ich nun nicht behaupten.
[mm] |\bruch{2(-1)^n}{2n}+\bruch{(-1)^{2n}}{2n}|=|\bruch{2(-1)^n}{2n}+\bruch{1}{2n}|<|\bruch{2}{2n}+\bruch{1}{2n}|=\bruch{3}{2n}<\epsilon
[/mm]
> aber ich weiß
> noch nicht ganz, was ich damit anfange? Ist dieser Wert
> dann kleiner als mein [mm]\varepsilon[/mm] oder wie?
Es gilt dann [mm] n>\bruch{3}{2\epsilon}
[/mm]
Also ist das [mm] m=2n=\bruch{3}{\epsilon}
[/mm]
Bsp.: [mm] \epsilon=0,01 [/mm] => n=150, m=300
[mm] |1+\bruch{1}{150}-(1+\bruch{1}{300})|=\bruch{1}{300}=0,00333...
[/mm]
Also kleiner als das vorgegebene [mm] \epsilon.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:40 Do 17.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Mathegötter in diesem Forum, mögen mich schlagen,
> aber:
>
> Setze einmal [mm]m=2n[/mm]
> Dann erhält man
> [mm]|\bruch{2(-1)^n}{2n}+\bruch{(-1)^{2n}}{2n}|=...[/mm]
und was bringt das ?
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Schreibe dir mal [mm]|a_n-a_m|[/mm] hin.
>
> meinst du jetzt | 1 + [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] - 1 +
> [mm]\bruch{(-1)^m}{m}[/mm] |
>
> = | [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^m}{m}[/mm] | ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> evtl. Fallunterscheidung, für n und m gerade/ungerade?
Herrjeh, es steht in jedem einzelnen Artikel dieses threads: DREIECKSUNGLEICHUNG ...
Dann nimm oE. an, dass [mm]n\ge m[/mm] (oder umgekehrt ...)
>
> Weiter wüsste ich nicht mehr ...
Naja, nach den ganzen Winken mit den Zäunen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Do 17.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ich habe die Dreiecksungleichung noch nicht effektiv eingesetzt, bzw. weiß grad nichts damit anzufangen, hab ein wenig recherchiert,
Die Dreiecksungleichung sagt aus: [mm] d_{(x_{m},x_{n})} \le d_{(x_{m}, x)} [/mm] + [mm] d_{(x_{n}, x)} [/mm]
Aber wie ich jetzt was für was einsetze und wieso ich annehmen soll n [mm] \le [/mm] m versteh ich noch nicht ganz ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Do 17.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Wir müssen zeigen: Zu vorgegebenem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein $\ N$, so daß
[mm] $|a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für $n, m > N$.
Wir wissen noch nicht, wie groß wir das $N$ wählen sollen, und schätzen den Betrag nach oben ab:
[mm] $|a_n [/mm] - [mm] a_m| [/mm] = [mm] \left| 1 +\bruch{(-1)^n} n - 1 + \bruch{(-1)^m} m\right|$
[/mm]
[mm] $=\left| \bruch{(-1)^n} n + \bruch{(-1)^m} m\right|$
[/mm]
[mm] $\le \left| \bruch{(-1)^n} n \right|+ \left|\bruch{(-1)^m} m\right|$
[/mm]
$= [mm] \bruch [/mm] 1 n + [mm] \bruch [/mm] 1 m < 2 * [mm] \bruch [/mm] 1 N$ falls $m, n > N $ ist.
Jetzt mußt Du $\ N $ so groß wählen, daß $2 * [mm] \bruch [/mm] 1 N < [mm] \epsilon$ [/mm] ist.
OK?
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 17.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Also muss mein N kleiner 0 sein, damit laut Voraussetzung gilt [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ?
und deinen letzten Teil, also wieso [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{m} [/mm] < 2 * [mm] \bruch{1}{N} [/mm] ist, hab ich nciht verstanden
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Do 17.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Also muss mein N kleiner 0 sein, damit laut Voraussetzung
> gilt [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ?
Muhahahahahahaha. Erinnert mich an den Mathematikerwitz: "Sei [m]\varepsilon < 0[/m].".
N ist eine natürlich Zahl größer 0!
> und deinen letzten Teil, also wieso [mm]\bruch{1}{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{m}[/mm] < 2 * [mm]\bruch{1}{N}[/mm] ist, hab ich nciht
> verstanden
Nach Vorraussetzung ist [m]m,n\ge N[/m]. Jetzt teile mal.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Do 17.05.2012 | | Autor: | Marcel |
>
> > Also muss mein N kleiner 0 sein, damit laut Voraussetzung
> > gilt [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ?
>
> Muhahahahahahaha. Erinnert mich an den Mathematikerwitz:
> "Sei [m]\varepsilon < 0[/m].".
Da gibt's einen besseren: "Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so klein, dass [mm] $\epsilon/2\,$ [/mm] schon echt negativ ist..."
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Super das es euch so amüsiert, hab mich verschrieben, aber okay ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Marcel |
> Super das es euch so amüsiert, hab mich verschrieben, aber
> okay ...
![[]](/images/popup.gif) Spaß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Helbig |
> Also muss mein N kleiner 0 sein, damit laut Voraussetzung
> gilt [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ?
Wenn $\ N$ kleiner 0 ist, wäre die geforderte Ungleichung erfüllt, insofern hast Du Recht.
Aber wir müssen eine natürliche Zahl $\ N $ finden, so daß die Ungleichung erfüllt ist.
Und diese gilt für jedes $\ N > [mm] \bruch [/mm] 2 [mm] \epsilon [/mm] $. Daß es solche $\ N [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, sagt das Axiom von Archimedes.
>
> und deinen letzten Teil, also wieso [mm]\bruch{1}{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{m}[/mm] < 2 * [mm]\bruch{1}{N}[/mm] ist, hab ich nciht
> verstanden
$ n $ und $ m $ sind größer $ N$. Dann ist $ [mm] \bruch [/mm] 1 n $ und $ [mm] \bruch [/mm] 1 m $ kleiner $ [mm] \bruch [/mm] 1 N $ und [mm] $\bruch [/mm] 1 n + [mm] \bruch [/mm] 1 m < [mm] \bruch [/mm] 1 N + [mm] \bruch [/mm] 1 N = [mm] 2*\bruch [/mm] 1 N $.
viel Erfolg
Wolfgang
|
|
|
| |
|
Das geniale bei dieser Grenzwertdefinition von Cauchy ist eben, dass man eine Folge auf Konvergenz untersuchen kann, ohne den eigentlichen Grenzwert zu kennen.
Sowas ist überaus praktisch, weil es natürlich sehr schwere Folgen geben kann, wo man den Grenzwert nicht sofort ersehen kann.
Wenn die Folge also konvergiert, dann wird der Abstand zwischen Folgenglieder immer kleiner, ja, sogar beliebig klein.
Bsp.: Die Folge [mm] a_n=\bruch{1}{n} [/mm] führt auf die Glieder [mm] 1,\bruch{1}{2},\bruch{1}{3},\bruch{1}{4},\bruch{1}{5},\bruch{1}{6},....
[/mm]
Nun ist: [mm] a_1-a_2=\bruch{1}{2}>a_3-a_2=\bruch{1}{6}>...
[/mm]
Also kann ich die Differenz beliebig klein machen. Ergo: OHO! Die Folge [mm] a_n [/mm] konvergiert, na wer hätte das gedacht? ;)
Ok, das war jetzt einmal die Erklärung an einem Beispiel. Mithilfe von Quantorendefinitionen ist es sicherlich schwer, den Sinn/die Idee der Cauchyfolge nachzuvollziehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Die Erklärung ist super, vielen Dank! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
der Sinn einer Cauchy-Folge ist aber eben, dass man nicht immer nur benachtbarte Folgenglieder vergleicht.
Würde man nur das tun, müsste die Folge nicht konvergieren!
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Was wäre das z.B. für eine Folge?
Beispiele erheben nie den Anspruch auf allgemeine Richtigkeit, verdeutlichen aber Sachverhalte. Ich finde, da kann man auch etwas lax formulieren. Restriktionen kann man immer vornehmen, und sind wie im wahren Leben vorhanden. Man denke an die Fußnoten in Verträgen.
Aber da scheiden sich die Gemüter eines strengen Mathematikers mit einem einem allgemein eher mathematisch skrupellosen Physikers... ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Mi 16.05.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Was wäre das z.B. für eine Folge?
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^n \bruch{1}{k}$
[/mm]
Der Abstand zweier benachbarter Folgenglieder ist [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] und geht damit gegen Null, konvergieren tut diese Folge aber bekanntlich nicht.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Do 17.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Was wäre das z.B. für eine Folge?
>
>
> Beispiele erheben nie den Anspruch auf allgemeine
> Richtigkeit, verdeutlichen aber Sachverhalte.
wenn man anhand eines Beispiels eine allgemeine Aussage verdeutlichen will, sollte das Beispiel natürlich zu der Aussage passen.
> Ich finde, da
> kann man auch etwas lax formulieren.
Dann formuliere halt lax "intuitiv kann man oft die Idee haben, dass, wenn der Abstand zweier benachbarter Glieder beliebig klein wird, dass dann auch der Abstand irgendzweier Glieder beliebig klein wird, wenn man "nur Glieder mit genügend großem Index" hat."
Wie Gono zeigte, ist das aber nicht wirklich so: Das, was ich da formuliert habe, gilt nur im Sinne von :
"Wenn für genügend große Indizes der Abstand entsprechender Glieder irgendwann beliebig klein wird, dann auch der zweier direkt benachbarter Glieder" - Gonos Beispiel zeigt ja gerade, dass umgekehrtes nicht gilt.
> Restriktionen kann man
> immer vornehmen, und sind wie im wahren Leben vorhanden.
> Man denke an die Fußnoten in Verträgen.
> Aber da scheiden sich die Gemüter eines strengen
> Mathematikers mit einem einem allgemein eher mathematisch
> skrupellosen Physikers... ;)
Die Mathematiker müssen ja die die brutalen Ergebnisse der Physiker erstmal mathematisch gerecht machen, damit sie auch Hand und Fuß haben. 
Ne, Spaß beiseite: Ich finde schon, dass man so manche Idee mal lax formulieren kann. Aber man muss es halt akzeptieren, wenn jemand drauf aufmerksam macht, dass das doch ein wenig zu lax war - so, wie Gonos Einwand hier vollkommen gerechtfertigt war!
P.S.
Cauchys Erkenntnis "Folge konvergiert genau dann, wenn Cauchyfolge" gilt zudem ja auch nicht überall - sondern eben in vollständigen metrischen Räumen etwa. Du kennst auch tolle Beispiele:
In [mm] $\IQ$ [/mm] kann man eine Folge [mm] $(q_n)$ [/mm] mit allen Glieder [mm] $q_n \in \IQ$ [/mm] angeben, die etwa gegen [mm] $\sqrt{2} \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] konvergiert. Als in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folge (beachte [mm] $\IQ \subseteq \IR$) [/mm] ist sie insbesondere eine Cauchyfolge (konvergente Folgen sind stets Cauchy!), damit ist sie offenbar auch Cauchy in [mm] $\IQ\,.$ [/mm] (Die Metrik in [mm] $\IQ$ [/mm] ist die Metrik in [mm] $\IR$ [/mm] eingeschränkt auf [mm] $\IQ$ [/mm] - genauer sollte man vielleicht sogar von der Einschränkung auf [mm] $\IQ \times \IQ$ [/mm] reden). In [mm] $\IQ$ [/mm] kann sie aber nicht konvergieren - wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes einer konvergenten Folge in einem metrischen Raum würde sonst [mm] $\sqrt{2} \in \IQ$ [/mm] folgen.
Das Problem: [mm] $\IQ$ [/mm] ist halt unvollständig!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
