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[mm] C^1[a,b] [/mm] bildet mit [mm] \parallel f\parallel_{C_{1}} [/mm] = [mm] \parallel f\parallel_{sup} [/mm] + [mm] \parallel f'\parallel_{sup} [/mm] einen Banachraum.
Wobei [mm] \parallel \cdot\parallel_{sup} [/mm] die Supremumsnorm ist und [mm] C^1[a,b] [/mm] die Menge der einmal stetig differenzierbaren Funktionen. |
Zu zeigen, dass [mm] \parallel \cdot\parallel_{C_{1}} [/mm] Norm ist, ist kein Problem. Das Problem liegt dabei, zu zeigen, dass [mm] (C^1[a,b], \parallel \cdot\parallel) [/mm] ein Banachraum ist, also dass jede Cauchy-Folge konvergiert.
Meine Idee war Folgendes:
Sei [mm] (f_{k})_{k \in \|N} [/mm] Cauchy-Folge in [mm] C^1[a,b]. [/mm] Also gilt:
[mm] \parallel f_{k}-f_{l}\parallel_{C_{1}}<\varepsilon [/mm] , [mm] \forall k,l\ge [/mm] N
Da gilt:
[mm] |f_{k}(x)-f_{l}(x)| \le \parallel f_{k}-f_{l}\parallel_{sup} \le \parallel f_{k}-f_{l}\parallel_{sup}+\parallel f'_{k}-f'_{l}\parallel_{sup} [/mm] = [mm] \parallel f_{k}-f_{l}\parallel_{C_{1}} <\varepsilon [/mm] , [mm] \forall k,l\ge [/mm] N , [mm] \forall x\in[a,b]
[/mm]
ist [mm] (f_{k}(x))_{k\in\IN} [/mm] Cauchy-Folge in [mm] \IR [/mm] => [mm] f_{k}(x) [/mm] konvergiert für alle [mm] x\in[a,b] [/mm] => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x) [/mm] = f(x).
So, ich war der Meinung, dass hiermit der Beweis schon zu Ende ist, da ich ja gezeigt habe, dass die Folge gegen eine Funktion für jedes x in [a,b] konvergiert. Aber es hieß, dass sei noch nicht ausreichend. Ich müsste noch zeigen, dass [mm] f_{k} [/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert. Und eigentlich auch, dass der der Grenzwert wieder in [mm] C^1[a,b] [/mm] liegt, aber das ist durch die Abgeschlossenheit der Menge sowieso klar. Meine Frage ist jetzt, wieso mein Beweis nicht ausreicht? Warum muss ich gleichmäßige Konvergenz zeigen? Und wie zeige ich das hier? Ich hab keine wirkliche Idee dazu.. ich weiß nur, irgendwie mit abschätzen, aber wie?
Vielen Danke schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
du hast einfach nur gezeigt, dass [mm] f_n [/mm] punktweise konvergiert, maximal noch, dass [mm] f_n [/mm] gleichmäßig konvergiert (warum?).
> So, ich war der Meinung, dass hiermit der Beweis schon zu Ende ist, da ich ja gezeigt habe, dass die Folge gegen eine Funktion für jedes x in [a,b] konvergiert. Aber es hieß, dass sei noch nicht ausreichend. Ich müsste noch zeigen, dass [mm]f_{k}[/mm] gleichmäßig gegen f konvergiert. Und eigentlich auch, dass der der Grenzwert wieder in [mm]C^1[a,b][/mm] liegt, aber das ist durch die Abgeschlossenheit der Menge sowieso klar.
Du willst doch gerade erst zeigen, dass [mm] C^1 [/mm] abgeschlossen ist!
So kannst du also nicht argumentieren, da beißt sich die Katze in den Schwanz.
> Meine Frage ist jetzt, wieso mein Beweis nicht ausreicht?
Hab ich dir eben geschrieben. Du willst die Sache benutzen als Argument, die du aber erst zeigen musst.
> Warum muss ich gleichmäßige Konvergenz zeigen?
Weil du das brauchen wirst 
> Und wie zeige ich das hier?
Wann liegt denn gleichmäßige Konvergenz vor? Mach dir klar, dass [mm] f_n [/mm] trivialerweise gleichmäßig konvergiert, eben so [mm] ${f_n}'$
[/mm]
Dann weißt du, dass [mm] $f_n \to [/mm] f$ gleichmäßig, $f'_n [mm] \to [/mm] g$ gleichmäßig.
Was weißt du dann über f und g? Zu zeigen wäre dann noch: $f' = g$
Tipp: Hauptsatz der Integralrechnung!
Gruß,
Gono.
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Danke für deine Antwort, Gono!
Also ich hab mir jetzt ein paar Stunden Gedanken über deine Hilfestellung gemacht:
Wenn [mm] f_{k} \to [/mm] f glm., dann [mm] \parallel f_{k}-f\parallel_{sup} \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty
[/mm]
Falls also [mm] f_{k} \to f [/mm] glm. und [mm] f'_{k} \to f' [/mm] glm., dann kann man sagen:
[mm] \parallel f_{k}-f\parallel_{C_{1}} [/mm] = [mm] \parallel f_{k}-f\parallel_{sup} [/mm] + [mm] \parallel f'_{k}-f'\parallel_{sup} \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty [/mm] ,
woraus folgen würde, dass [mm] (f_{k})_{k\in\IN} [/mm] konvergent ist und somit jede Cauchy Folge in [mm] (C^1[a,b], \parallel\cdot\parallel_{C_{1}}) [/mm] konvergiert, also [mm] (C^1[a,b], \parallel\cdot\parallel_{C_{1}}) [/mm] Banachraum ist. Für die Abschätzung muss der Grenzwert von [mm] f_{k} [/mm] auch wieder in [mm] C^1[a,b] [/mm] liegen. Sind das die Gründe, warum man gleichmäßige Konvergenz und Abgeschlossenheit zeigen muss?
Ich hab jetzt einfach mal so gerechnet. Könnte mal jemand schauen, ob das nun so richtig ist?
Sei [mm] (f_{k})_{k\in\IN} [/mm] Cauchy-Folge in [mm] C^1[a,b]. [/mm] Es gilt also:
[mm] |f_{k}(x)-f_{l}(x)|\le\parallel f_{k}-f_{l}\parallel_{sup}\le\parallel f_{k}-f_{l}\parallel_{C_{1}} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] \forall k,l\ge [/mm] N (da Cauchy-Folge)
=> [mm] (f_{k}(x))_{k\in\IN} [/mm] Cauchy-Folge in [mm] \IR [/mm] für alle [mm] x\in[a,b] [/mm] => [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f_k(x) [/mm] = f(x) existiert für alle [mm] x\in[a,b] [/mm]
[mm] |f'_{k}(x)-f'_{l}(x)|\le\parallel f'_{k}-f'_{l}\parallel_{sup}\le\parallel f_{k}-f_{l}\parallel_{C_{1}} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] \forall k,l\ge [/mm] N (da Cauchy-Folge)
=> [mm] (f'_{k}(x))_{k\in\IN} [/mm] Cauchy-Folge in [mm] \IR [/mm] für alle [mm] x\in[a,b] [/mm] => [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f'_k(x) [/mm] = g(x) existiert für alle [mm] x\in[a,b] [/mm]
Jetzt zeigt man, dass die Folgen glm. gegen die Grenzwerte konvergieren:
[mm] |f_{k}(x)-f(x)| [/mm] = [mm] |f_{k}(x)-\limes_{l\rightarrow\infty}f_{l}(x)| [/mm] = [mm] \limes_{l\rightarrow\infty}|f_{k}(x)-f_{l}(x)|\le\varepsilon [/mm] (da [mm] |\cdot| [/mm] stetig) => [mm] \parallel f_{k}-f\parallel_{sup}\le\varepsilon [/mm] => [mm] f_{k} \to [/mm] f glm.
[mm] |f'_{k}(x)-g(x)| [/mm] = [mm] |f'_{k}(x)-\limes_{l\rightarrow\infty}f'_{l}(x)| [/mm] = [mm] \limes_{l\rightarrow\infty}|f'_{k}(x)-f'_{l}(x)|\le\varepsilon [/mm] (da [mm] |\cdot| [/mm] stetig) => [mm] \parallel f'_{k}-g\parallel_{sup}\le\varepsilon [/mm] => [mm] f'_{k} \to g [/mm] glm.
Es gilt allerdings f'=g, denn:
[mm] f_{k}: [a,b]\to \IR, k\in\IN, [/mm] stetig diff'bar und [mm] \exists x_{0}\in [/mm] [a,b], sodass [mm] (f_{k}(x_{0}))_{k\in\IN} [/mm] kovergent. Falls f'_{k} glm. konvergent, dann ist auch [mm] f_{k} [/mm] glm. konvergent gegen ein f stetig diff'bar und es gilt: f'(x)= [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}f'_{k}(x). [/mm]
Dieser Satz ist aus der Vorlesung bekannt und bewiesen. Also gilt: f'=g, da [mm] f_{k} [/mm] stetig diff'bar , punktweise konvergent und [mm] f'_{k} [/mm] glm. konvergent. Außerdem liegt dann f wieder in [mm] C^1[a,b], [/mm] da stetig diff'bar nach dem Satz.
Also ist die Norm [mm] \parallel\cdot\parallel_{C_{1}} [/mm] auch auf f anwendbar und es gilt:
[mm] \parallel f_{k}-f\parallel_{C_{1}} [/mm] = [mm] \parallel f_{k}-f\parallel_{sup} [/mm] + [mm] \parallel f'_{k}-f'\parallel_{sup} \to [/mm] 0 für k [mm] \to \infty [/mm]
Daraus folgt: [mm] f_{k} \to [/mm] f, also [mm] (f_{k})_{k\in\IN} [/mm] ist konvergente Cauchy-Folge. Da [mm] (f_{k})_{k\in\IN} [/mm] bel., konvergiert jede Cauchy-Folge in [mm] (C^1[a,b], \parallel\cdot\parallel_{C_{1}}), [/mm] ist also Banachraum.
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Hiho,
deine Sache enthält alles, was notwendig ist, zeigt aber auch, dass du es noch nicht wirklich verstanden hast.
Aber nach und nach:
> Wenn [mm]f_{k} \to[/mm] f glm., dann [mm]\parallel f_{k}-f\parallel_{sup} \to[/mm] 0 für k [mm]\to \infty[/mm]
Genau dann, wenn!
> Falls also [mm]f_{k} \to f[/mm] glm. und [mm]f'_{k} \to f'[/mm] glm., dann kann man sagen: [mm]\parallel f_{k}-f\parallel_{C_{1}}[/mm] = [mm]\parallel f_{k}-f\parallel_{sup}[/mm] + [mm]\parallel f'_{k}-f'\parallel_{sup} \to[/mm] 0 für k [mm]\to \infty[/mm]
Ja, oder viel einfacher ausgedrückt:
[mm] $\parallel f_k [/mm] - f [mm] \parallel_{C_1} \to [/mm] 0 [mm] \quad \gdw \quad \parallel f_k [/mm] - [mm] f\parallel_\infty \to [/mm] 0 [mm] \; \wedge\; \parallel [/mm] f'_k - [mm] f'\parallel_\infty \to [/mm] 0 [mm] \quad\gdw\quad f_k \to [/mm] f [mm] \text{glm} \;\wedge \; [/mm] f'_k [mm] \to [/mm] f' [mm] \text{glm}$
[/mm]
Oder in Worten: Funktionenfolgen sind Cauchy-Folgen bezüglich [mm] $\parallel [/mm] * [mm] \parallel_{C_1}$, [/mm] genau dann, wenn sie selbst und die Folge ihrer Ableitungen Cauchy-Folgen bezüglich [mm] $\parallel [/mm] * [mm] \parallel_\infty$ [/mm] sind!
Das muss man sich nur mal überlegen, da steht noch gar keine große Mathematik hinter.
Aber weiter im Text.
> woraus folgen würde, dass [mm](f_{k})_{k\in\IN}[/mm] konvergent ist und somit jede Cauchy Folge in [mm](C^1[a,b], \parallel\cdot\parallel_{C_{1}})[/mm] konvergiert, also [mm](C^1[a,b], \parallel\cdot\parallel_{C_{1}})[/mm] Banachraum ist.
NEIN!
"konvergent" ist eine Folge in einem Raum nur, wenn sie gegen einen Grenzwert in dem Raum strebt. Das sollst du doch hier beweisen, also kannst du es nicht voraussetzen!
Und bisher hast du das nicht gezeigt. Bisher hast du "nur":
1.) Du hast eine Cauchy-Folge bezüglich [mm] $\parallel [/mm] * [mm] \parallel_{C_1}$.
[/mm]
2.) Dann ist sie auch Cauchy-Folge bezüglich [mm] $\parallel [/mm] * [mm] \parallel_\infty$ [/mm] und damit gleichmäßig konvergent.
3.) Dann ist auch die Folge der Ableitungen Cauchy-Folge bezüglich [mm] $\parallel [/mm] * [mm] \parallel_\infty$ [/mm] und damit gleichmäßig konvergent.
> Es gilt allerdings f'=g, denn:
> [mm]f_{k}: [a,b]\to \IR, k\in\IN,[/mm] stetig diff'bar und [mm]\exists x_{0}\in[/mm]
> [a,b], sodass [mm](f_{k}(x_{0}))_{k\in\IN}[/mm] kovergent. Falls
> f'_{k} glm. konvergent, dann ist auch [mm]f_{k}[/mm] glm. konvergent
> gegen ein f stetig diff'bar und es gilt: f'(x)=
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}f'_{k}(x).[/mm]
> Dieser Satz ist aus der Vorlesung bekannt und bewiesen.
Wenn ihr diesen Satz hattet (dann brauchst du vieles gar nicht zeigen) musst du jetzt nur überlegen, warum aus den 3 Punkten oben die Voraussetzungen des Satzes folgen. Das ist zwar eigentlich trivial, aber eine Erwähnung wäre schick.
Und dann bist du wirklich fertig.
> Also gilt: f'=g, da [mm]f_{k}[/mm] stetig diff'bar , punktweise
> konvergent und [mm]f'_{k}[/mm] glm. konvergent. Außerdem liegt dann
> f wieder in [mm]C^1[a,b],[/mm] da stetig diff'bar nach dem Satz.
Jo, mit dem Satz ist das natürlich einfach
Gruß,
Gono.
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Hey
danke Gono, Du so viel Geduld mit mir hast! Aber jetzt dürfte ich es verstanden haben. Das mit der gleichmäßigen Konvergenz ist wirklich nicht kompliziert, keine Ahnung, wieso ich da verwirrt war. Und dass man die Abgeschlossenheit erst zeigen muss und nicht voraussetzen kann, ist mir auch bewusst.
Wenn ich also alles kapiert hab, dann dürfte die Folgerung, dass [mm] C^1[a,b] [/mm] mit [mm] \parallel\cdot\parallel_{sup} [/mm] keinen Banachraum bildet, richtig sein, oder? Weil, zwar kann man zeigen, dass die Folge glm. konvergiert, jedoch der Grenzwert nicht unbedingt mehr in [mm] C^1[a,b] [/mm] liegen muss, weil zwar stetig, aber nicht differenzierbar sein muss. Die Differenzierbarkeit des Grenzwertes würde voraussetzen, dass die Folge der Ableitungen glm. konvergiert, was nur mit [mm] \parallel\cdot\parallel_{sup} [/mm] nicht gegeben ist, oder?
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Hiho,
> Wenn ich also alles kapiert hab, dann dürfte die
> Folgerung, dass [mm]C^1[a,b][/mm] mit [mm]\parallel\cdot\parallel_{sup}[/mm]
> keinen Banachraum bildet, richtig sein, oder? Weil, zwar
> kann man zeigen, dass die Folge glm. konvergiert, jedoch
> der Grenzwert nicht unbedingt mehr in [mm]C^1[a,b][/mm] liegen muss,
> weil zwar stetig, aber nicht differenzierbar sein muss. Die
> Differenzierbarkeit des Grenzwertes würde voraussetzen,
> dass die Folge der Ableitungen glm. konvergiert, was nur
> mit [mm]\parallel\cdot\parallel_{sup}[/mm] nicht gegeben ist, oder?
Genau.
Hast du auch ein Beispiel?
Tipp: Welche Funktion lernt man ziemlich schnell als nicht differenzierbar kennen?
Verwende diese als Grenzfunktion.
Gruß,
Gono.
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