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Forum "Folgen und Reihen" - Cauchy-Produkt
Cauchy-Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Cauchy-Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Mi 29.01.2014
Autor: SturmGhost

Aufgabe
Gesucht ist [mm] R^2 [/mm] mit R:= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}} [/mm] (Hinweis: Setzen Sie für [mm] R^2 [/mm] das Cauchy-Produkt an)



Also geht es ja um das hier:

[mm] \left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}}\right)*\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}}\right) [/mm]

Das Cauchy-Produkt ist im Ergebnis nach einem Indexshift (da unsere Reihe bei 1 startet) ja so definiert:

[mm] c_{n}=\summe_{k=1}^{n}a_{k}*b_{n-k+1} [/mm]

Mein Ansatz ist nun:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k+1}}{\wurzel{k}}*\bruch{(-1)^{n-k+2}}{\wurzel{n-k+1}}\right) [/mm]

Jetzt muss ich doch aus der inneren Summe ja zunächst alles rausschmeißen was nicht über k summiert wird.

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k+1}}{\wurzel{k}}*(-1)*(-1)*(-1)^n*\bruch{(-1)^{-k}}{\wurzel{n-k+1}}\right) [/mm]

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}}*\bruch{(-1)^{-k}}{\wurzel{n-k+1}}\right) [/mm]

Bis hier hin überhaupt richtig? Was mache ich mit der Wurzel?

Edit: Habe noch weiter vereinfachen können:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k*(n-k+1)}}\right)[/mm]

        
Bezug
Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Mi 29.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Für das Cauchy-Produkt gilt:

      [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}a_n)*(\summe_{n=0}^{\infty}b_n)=\summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] mit [mm] c_n=\summe_{k=0}^{n}a_k*b_{n-k} [/mm]

Gesucht ist [mm] $R^2$ [/mm] mit

      [mm] R:=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}} [/mm]

Durch Indexverschiebung folgt:

      [mm] R=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+2}}{\wurzel{n+1}} [/mm]

Das Cauchy-Produkt ergibt sich nun wie folgt:

      [mm] R^2=\summe_{n=0}^{\infty}c_n [/mm] mit [mm] c_n=\summe_{k=0}^{n}a_k*a_{n-k} [/mm]

Wir gucken uns nun [mm] $c_n$ [/mm] genauer an:

      [mm] c_n=\summe_{k=0}^{n}a_k*a_{n-k}=\summe_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k+2}}{\sqrt{k+1}}*\frac{(-1)^{n-k+2}}{\sqrt{n-k+1}}=(-1)^{n+4}\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}*\sqrt{n-k+1}} [/mm]

Nun gilt aber:

      [mm] |c_n|=\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}*\sqrt{n-k+1}}\ge\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{\sqrt{n+1}*\sqrt{n+1}}=\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{n+1}=1 [/mm]

Damit divergiert [mm] $R^2$ [/mm] nach dem notwendigem Kriterium,
sodass das Cauchy-Produkt divergiert.

Entweder ich habe einen Fehler gemacht oder
du hast nicht die komplette Aufgabe hingeschrieben.


Gruß
DieAcht

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Bezug
Cauchy-Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Mi 29.01.2014
Autor: SturmGhost

Hmm, naja die Konvergenzuntersuchung habe ich nicht hingeschrieben, weil mir erstmal nur das Ergebnis des Cauchy-Produktes interessiert hat.

Die Lösung sieht so aus:

http://abload.de/img/cauchy4fj1z.png

Welche irgendwie für meine Variante spricht, aber ich weiß leider auch nicht.

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Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Mi 29.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Hmm, naja die Konvergenzuntersuchung habe ich nicht
> hingeschrieben, weil mir erstmal nur das Ergebnis des
> Cauchy-Produktes interessiert hat.
>  
> Die Lösung sieht so aus:
>  
> http://abload.de/img/cauchy4fj1z.png
>  
> Welche irgendwie für meine Variante spricht, aber ich
> weiß leider auch nicht.  

Ich weiß ehrlich gesagt nicht was ich jetzt sagen soll.

Wie willst du denn den Wert einer Reihe bestimmen,
wenn die Reihe selbst divergiert?

Mit divergenten Reihen spielt man nicht rum!

Wenn das Cauchy-Produkt konvergieren würde(!),
dann würde der Wert mit dem Produkt der beiden
Reihenwerte, nach dem Satz von Abel, übereinstimmen!


DieAcht

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Cauchy-Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:24 Mi 29.01.2014
Autor: SturmGhost

Hm, also ich wollte eig. nur wissen wie das Ergebnis aussieht, wenn ich die genannte Reihe potenziere mithilfe des Cauchy-Produktes muss ich mir da nun zwangsläufig Fragen zur Konvergenz stellen?





Bezug
                                        
Bezug
Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:29 Mi 29.01.2014
Autor: DieAcht


> Hm, also ich wollte eig. nur wissen wie das Ergebnis
> aussieht, wenn ich die genannte Reihe potenziere mithilfe
> des Cauchy-Produktes muss ich mir da nun zwangsläufig
> Fragen zur Konvergenz stellen?

Ja, denn das Cauchy-Produkt ist immerhin auch eine Reihe.

Gegeben sei eine Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_n\in\IR. [/mm]
Die entsprechende Reihe mit den Gliedern [mm] a_n [/mm] ist das Symbol

      [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm]

Die Zahlen

      [mm] S_1=a_1 [/mm]
      [mm] S_2=a_1+a_2 [/mm]
      [mm] \ldots [/mm]
      [mm] S_n=\summe_{k=1}^{n}a_n [/mm]

heißen Partialsummen der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n. [/mm]
Diese bilden eine weitere Folge [mm] (S_n)_{n\in\IN}, [/mm] die sogenannte Partialsummenfolge.

Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] heißt konvergent, falls ihre Partialsummenfolge [mm] (s_n)_{n\in\IN} [/mm] konvergiert.

Die Summe der Reihe ist der Grenzwert der Folge [mm] (S_n)_{n\in\IN}. [/mm]

Es gilt NUR bei Konvergenz:

      [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n=a:=\limes_{N\rightarrow\infty}S_N=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}a_n [/mm]

Das Symbol [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] hat demnach zwei verschiedene Bedeutungen.
Die Reihe als solche und NUR im Konvergenzfall die Summe der Reihe.


Gruß
DieAcht

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Cauchy-Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:35 Mi 29.01.2014
Autor: SturmGhost

Entweder ich verstehs nicht oder wir reden aneinander vorbei.

Ich möchte einfach nur wissen wie [mm] R^2 [/mm] aussieht. Die Konvergenz untersuche ich doch erst wenn ich [mm] R^2 [/mm] gebildet habe?! Und [mm] R^2 [/mm] bilde ich (hier) doch über das Cauchy-Produkt, oder nicht?

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Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Mi 29.01.2014
Autor: DieAcht

Dann guck dir deine, meine oder die Musterlösung an bis vor der Abschätzung. Mehr ist das nicht. Dir geht es also wirklich nur um die Anwendung der Formel ? Das hätte ich niemals für möglich gehalten..

DieAcht

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Cauchy-Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:45 Mi 29.01.2014
Autor: SturmGhost

Okay danke. Aber wie kommt es jetzt zu dem Unterschied der Lösungen?

In der Musterlösung wurde also zu Beginn ein anderer "Indexshift" gemacht als du Ihn gemacht hast oder wie entsteht der Term der Musterlösung?

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Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:56 Mi 29.01.2014
Autor: DieAcht

Die Musterlösung hat vorher gesehen, dass das Shiften auch so funktioniert. Schreib dir am Besten die Folgenglieder auf, dann merkst du es selber.

DieAcht

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Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:15 Do 30.01.2014
Autor: fred97


> Gesucht ist [mm]R^2[/mm] mit R:=
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}}[/mm]
> (Hinweis: Setzen Sie für [mm]R^2[/mm] das Cauchy-Produkt an)

Diese Aufgabenstellung ist doch völlig bescheuert !!

Ich kann gar nicht so viel kotzen, wie ich gerne möchte.

Die Reihe  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}}[/mm]  konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, somit ist R [mm] \in \IR. [/mm]

Damit ist auch


(1)  [mm] R^2 \in \IR. [/mm]

(2) Das Cauchyprodukt der Reihe  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}}[/mm]  mit sich selbst ist divergent.

Aus (1) und (2) ergibt sich: der Hinweis "Setzen Sie für $ [mm] R^2 [/mm] $ das Cauchy-Produkt an" ist an Dummheit nicht zu überbieten !!

Ich würde die Aufgabe so formulieren (davon hat jeder , der sich damit beschäftigt mehr, als von obiger vor Dummheit strotzender Aufgabenformulierung):



a) Zeige: die Reihe  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}}[/mm] ist konvergent.

b)  Berechnen Sie das Cauchyprodukt der Reihe  [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}}[/mm] mit sich selbst.

c) Ist das Cauchyprodukt aus b) konvergent oder divergent ?

d) Warum widerspricht das Resultat aus c) nicht dem folgenden

SATZ: Sind [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n [/mm] und [mm] \sum_{n=0}^\infty b_n [/mm] zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe

    [mm] \sum_{n=0}^\infty c_n [/mm] mit [mm] c_n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}} [/mm]

ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt

    [mm] \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^\infty b_n\right) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty c_n. [/mm]


FRED




>  
>
> Also geht es ja um das hier:
>  
> [mm]\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}}\right)*\left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n+1}}{\wurzel{n}}\right)[/mm]
>  
> Das Cauchy-Produkt ist im Ergebnis nach einem Indexshift
> (da unsere Reihe bei 1 startet) ja so definiert:
>
> [mm]c_{n}=\summe_{k=1}^{n}a_{k}*b_{n-k+1}[/mm]
>  
> Mein Ansatz ist nun:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k+1}}{\wurzel{k}}*\bruch{(-1)^{n-k+2}}{\wurzel{n-k+1}}\right)[/mm]
>  
> Jetzt muss ich doch aus der inneren Summe ja zunächst
> alles rausschmeißen was nicht über k summiert wird.
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k+1}}{\wurzel{k}}*(-1)*(-1)*(-1)^n*\bruch{(-1)^{-k}}{\wurzel{n-k+1}}\right)[/mm]
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{(-1)^{k}}{\wurzel{k}}*\bruch{(-1)^{-k}}{\wurzel{n-k+1}}\right)[/mm]
>  
> Bis hier hin überhaupt richtig? Was mache ich mit der
> Wurzel?
>  
> Edit: Habe noch weiter vereinfachen können:
>  
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{\wurzel{k*(n-k+1)}}\right)[/mm]
>  


Bezug
                
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Cauchy-Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Do 30.01.2014
Autor: SturmGhost

Damit ich wieder ruhig schlafen kann, hier mal die original Aufgabenstellung:

http://abload.de/img/20140130_1118089ksin.jpg

Da sich meine Frage(n) auf die Bildung von [mm] R^2 [/mm] bezogen, habe ich bewusst die Frage nach der Konvergenz weggelassen. Das ich nun so einen Sturm losgebrochen haben konnte ich ja nicht ahnen. :D

Ich stimme dir zu das man wahrscheinlich viele Klausuraufgaben verständlicher formulieren könnte, aber ob das immer so gewollt ist? ;-)

Deine Fragestellung finde ich aber auch interessant.

Die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium ist doch nur konvergent und nicht absolut konvergent, oder nicht (steht zumindest nichts im Script von absoluter Konvergenz)?

Bezug
                        
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Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Do 30.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Damit ich wieder ruhig schlafen kann, hier mal die original
> Aufgabenstellung:

>

> http://abload.de/img/20140130_1118089ksin.jpg

Aha!

>

> Da sich meine Frage(n) auf die Bildung von [mm]R^2[/mm] bezogen,
> habe ich bewusst die Frage nach der Konvergenz weggelassen.
> Das ich nun so einen Sturm losgebrochen haben konnte ich ja
> nicht ahnen. :D

>

> Ich stimme dir zu das man wahrscheinlich viele
> Klausuraufgaben verständlicher formulieren könnte, aber
> ob das immer so gewollt ist? ;-)

>

> Deine Fragestellung finde ich aber auch interessant.

>

> Die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium ist doch nur
> konvergent und nicht absolut konvergent,

Stimmt, es ist ja [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt n}\right| \ = \ \sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^{1/2}}[/mm] - und die konvergenten und divergenten Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n^s}[/mm] kennt man doch hinlänglich.

Mit [mm]s=1[/mm] hast du die harmonische Reihe, die divergiert genauso wie all jene mit [mm]s<1[/mm]. Diejenigen Reihen dieses Typs mit [mm]s>1[/mm] konvergieren hingegen ...

> oder nicht (steht
> zumindest nichts im Script von absoluter Konvergenz)?

Das kannst du schnell nachweisen, indem du mit der harmonischen Reihe eine divergente Minorante angibst:

Es ist [mm]\sqrt{n}\le n[/mm], also [mm]\frac{1}{\sqrt n}\ge\frac{1}{n}[/mm]

Also [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt n}\ge\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n}[/mm]

Und die harmonische Reihe divergiert schon gegen [mm]\infty[/mm], was bleibt da der größeren Reihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt n}$ [/mm] anderes übrig als auch zu divergieren?

Gruß

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Do 30.01.2014
Autor: fred97


> Damit ich wieder ruhig schlafen kann, hier mal die original
> Aufgabenstellung:
>  
> http://abload.de/img/20140130_1118089ksin.jpg

Mein Vorredner hat sich zur  Originalaufgabenstellung so geäußert: "Aha!"

Wenn das Zustimmung bedeutet, so bin ich damit nicht einverstanden.

Da steht: "Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
.
.
b) [mm] R:=\summe_{i=1}^{n}blablablubber [/mm]

c) [mm] R^2 [/mm] mit R aus Teil b) (Hinweis: ...) "

Wenn ich das R aus b) als Folge auffasse, nämlich als die Teilsummenfolge der fraglichen Reihe, so stellt sich mir die Frage:

   als was, zum Teufel, darf ich dann [mm] R^2 [/mm] auffassen ???

Man mag es drehen und wenden wie man will, die Formulierung der Aufgabe ist einfach Scheiße.

FRED

>  
> Da sich meine Frage(n) auf die Bildung von [mm]R^2[/mm] bezogen,
> habe ich bewusst die Frage nach der Konvergenz weggelassen.
> Das ich nun so einen Sturm losgebrochen haben konnte ich ja
> nicht ahnen. :D
>  
> Ich stimme dir zu das man wahrscheinlich viele
> Klausuraufgaben verständlicher formulieren könnte, aber
> ob das immer so gewollt ist? ;-)
>  
> Deine Fragestellung finde ich aber auch interessant.
>
> Die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium ist doch nur
> konvergent und nicht absolut konvergent, oder nicht (steht
> zumindest nichts im Script von absoluter Konvergenz)?  


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