matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenCauchy-Produkt
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Folgen und Reihen" - Cauchy-Produkt
Cauchy-Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Cauchy-Produkt: Bitte um Überprüfung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Di 01.05.2012
Autor: qetu

Aufgabe
Die folgende Cauchy Produkte sollen gebildet werden:

a) [mm] $(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}})^2$ [/mm]
b) $ [mm] (\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^k)(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k)$ [/mm]

Lieber Matheraum,

ich habe die beiden Cauchy-Produkte berechnet und würde euch bitten, mal über meine Rechnungen zu schauen:

Zur (a):

[mm] $(\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}})^2$ [/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}} \cdot \frac{(-1)^{n-k+1}}{\sqrt{n-k}}$ [/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1} {\sqrt{k} \cdot \sqrt{n-k}}$ [/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1} {\sqrt{k(n-k)}}$ [/mm]

Mein Problem bei dieser Lösung: Für $n=k$ ist der Nenner 0...

Zur (b):
[mm] $(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^k)(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k)$ [/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} 3^k \cdot 2^{n-k}$ [/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n \sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{3}{2})^k$ [/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n \cdot \left( \frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}} {1-(\frac{3}{2})} -1 \right)$ [/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] (-2 [mm] (2^n [/mm] - [mm] 3^n \cdot \frac{3}{2}) -2^n)$ [/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] (-2 [mm] \cdot 2^n [/mm] + 3 [mm] \cdot 3^n [/mm] - [mm] 2^n) [/mm] $
$= [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] (-3 [mm] \cdot 2^n [/mm] + 3 [mm] \cdot 3^n)$ [/mm]
$= 3 [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} [/mm] (- [mm] 2^n [/mm] + [mm] 3^n)$ [/mm]

Die Lösung sieht für mich richtig aus :-) ich hoffe, ihr seht das auch so

Herzliche Grüße und einen schönen 1. Mai
qetu




        
Bezug
Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Di 01.05.2012
Autor: MathePower

Hallo qetu,


> Die folgende Cauchy Produkte sollen gebildet werden:
>  
> a) [mm](\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}})^2[/mm]
>  
> b) [mm](\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^k)(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k)[/mm]
>  
> Lieber Matheraum,
>  
> ich habe die beiden Cauchy-Produkte berechnet und würde
> euch bitten, mal über meine Rechnungen zu schauen:
>  
> Zur (a):
>  
> [mm](\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}})^2[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}} \cdot \frac{(-1)^{n-k+1}}{\sqrt{n-k}}[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1} {\sqrt{k} \cdot \sqrt{n-k}}[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1} {\sqrt{k(n-k)}}[/mm]
>  
> Mein Problem bei dieser Lösung: Für [mm]n=k[/mm] ist der Nenner
> 0...
>  


Der Index n läuft doch von 2 bis [mm]\infty[/mm]

Der Index k läuft doch von 1 bis [mm]n-1[/mm]


> Zur (b):
>  [mm](\sum\limits_{k=1}^{\infty} 3^k)(\sum\limits_{k=1}^{\infty} 2^k)[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} 3^k \cdot 2^{n-k}[/mm]
>  


Hier läuft ebenfalls der Index n von 2 bis [mm]\infty[/mm]


> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n \sum\limits_{k=1}^{n} (\frac{3}{2})^k[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} 2^n \cdot \left( \frac{1-(\frac{3}{2})^{n+1}} {1-(\frac{3}{2})} -1 \right)[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-2 (2^n - 3^n \cdot \frac{3}{2}) -2^n)[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n - 2^n)[/mm]
>  
> [mm]= \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-3 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n)[/mm]
>  
> [mm]= 3 \sum\limits_{n=1}^{\infty} (- 2^n + 3^n)[/mm]
>  
> Die Lösung sieht für mich richtig aus :-) ich hoffe, ihr
> seht das auch so
>  
> Herzliche Grüße und einen schönen 1. Mai
>  qetu
>  


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]