Cauchy-Produkt Nr. 2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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So, bevor ich wieder gesteinigt werden - hier die original Aufgabenstellung:
http://abload.de/img/cauchy2qaajz.png
Also geht es hier rum:
[mm] f(x)*f'(x)=\left(\summe_{n=0}^{\infty}x^n\right)*\left(\summe_{n=0}^{\infty}n*x^{n-1}\right)
[/mm]
Mit Onkel Cauchy also nun
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*(n-k)*x^{n-k-1}\right)=\summe_{n=0}^{\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*(n-k)*x^n*x^{-1}*x^{-k}\right)=\summe_{n=0}^{\infty}x^n*x^{-1}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*(n-k)*x^{-k}\right)=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}\left(\summe_{k=0}^{n}n-k\right)=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}+n-\left(\summe_{k=0}^{n}k\right)=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}+n-(n+1)=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}-1
[/mm]
Hmm, alles richtig gemacht für das Cauchy-Produkt? Ist das schon das Endergebnis (für [mm] c_{n})?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Do 30.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> So, bevor ich wieder gesteinigt werden - hier die original
> Aufgabenstellung:
>
> http://abload.de/img/cauchy2qaajz.png
Hast Du folgendes abgeschnitten oder fehlt das wirklich: |x|<1 ?
>
> Also geht es hier rum:
>
> [mm]f(x)*f'(x)=\left(\summe_{n=0}^{\infty}x^n\right)*\left(\summe_{n=0}^{\infty}n*x^{n-1}\right)[/mm]
>
> Mit Onkel Cauchy also nun
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*(n-k)*x^{n-k-1}\right)=\summe_{n=0}^{\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*(n-k)*x^n*x^{-1}*x^{-k}\right)=\summe_{n=0}^{\infty}x^n*x^{-1}\left(\summe_{k=0}^{n}x^k*(n-k)*x^{-k}\right)=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}\left(\summe_{k=0}^{n}n-k\right)=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}+n-\left(\summe_{k=0}^{n}k\right)=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}+n-(n+1)=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}-1[/mm]
>
> Hmm, alles richtig gemacht für das Cauchy-Produkt?
Nein. Bei Dir ist [mm] \summe_{k=0}^{n}k=n+1. [/mm] Das ist aber falsch.
Richtig ist [mm] \summe_{k=0}^{n}k= \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
FRED
> Ist das
> schon das Endergebnis (für [mm]c_{n})?[/mm]
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Ohje der kleine Gauss. :D
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}-n(\bruch{n^2+n}{2})=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}-\bruch{-n^3-n^2}{2}
[/mm]
Bin mir gerade etwas unsicher mit den Vorzeichen. Ist das so richtig?
Was kann ich denn jetzt noch tun?
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Hallo,
> Ohje der kleine Gauss. :D
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}-n(\bruch{n^2+n}{2})=\summe_{n=0}^{\infty}x^{n-1}-\bruch{-n^3-n^2}{2}[/mm]
Erkläre bitte, wie aus dem ursprünglichen [mm]...n\red - \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)[/mm] ein [mm]...n\red{\cdot{}}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)[/mm] geworden ist ...
>
> Bin mir gerade etwas unsicher mit den Vorzeichen. Ist das
> so richtig?
Die Summe kannst du explizit berechnen ...
Und die "n-Terme" scheinen mir falsch verrechnet - siehe Bem. zu - <---> *
>
> Was kann ich denn jetzt noch tun?
Mir scheint eh noch was falsch zu sein in deiner Rechnung aus dem ersten post:
[mm]\sum\limits_{n\ge 0}x^{n-1}\cdot{}\left(\sum\limits_{k=0}^n(n-k)\right) \ = \ \sum\limits_{n\ge 0}x^{n-1}\cdot{}\left((n+1)\cdot{}n-\frac{n(n+1)}{2}\right) \ = \ \ldots{}[/mm]
>
Gruß
schachuzipus
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Hm habe die Auflösung der Summe noch nicht ganz verstanden.
Ist es bei der Auflösung nach Gauss egal wo die Summe startet? Im Wiki startet die bei k=1 und man erhält den bereits genannten Term - hier startet sie jedoch bei k=0. Oder ist das unerheblich weil der erste Summand n-0 wäre?
Darf ich das n nicht aus der Summe ziehen, wenn darüber gar nicht summiert wird?
Wie löse ich die ganze Summe jetzt auf?
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Hallo nochmal,
> Hm habe die Auflösung der Summe noch nicht ganz
> verstanden.
>
> Ist es bei der Auflösung nach Gauss egal wo die Summe
> startet? Im Wiki startet die bei k=1 und man erhält den
> bereits genannten Term - hier startet sie jedoch bei k=0.
> Oder ist das unerheblich weil der erste Summand n-0 wäre?
Der erste Summande ist hier [mm]k=0[/mm] ...
>
> Darf ich das n nicht aus der Summe ziehen, wenn darüber
> gar nicht summiert wird?
>
> Wie löse ich die ganze Summe jetzt auf?
Nochmal langsam.
Wenn ich das richtig sehe, warst du bei [mm]\sum\limits_{n\ge 0}x^{n-1}\cdot{}\left(\sum\limits_{k=0}^n(n-k)\right)[/mm]
Die hintere Summe spalte auf in [mm]\sum\limits_{k=0}^nn \ - \ \sum\limits_{k=0}^nk[/mm]
In der ersten wird lediglich [mm](n+1)[/mm]-mal (nämlich für k=0 bis k=n) der konstante Term n aufsummiert, da steht also [mm](n+1)\cdot{}n[/mm]
Wahlweise kannst du n rausziehen, dann wird in der Summe [mm](n+1)[/mm]-mal die 1 aufsummiert:
[mm]\sum\limits_{k=0}^nn=n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^n1=n\cdot{}(n+1)[/mm] - ist also gehüpft wie gesprungen ...
In der hinteren Summe versteckt sich Gauß ...
Die erste Summe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}x^{n-1}[/mm] schreibe um zu
[mm]\frac{1}{x}\cdot{}\sum\limits_{n\ge 0}x^n[/mm] - und das kennst du ...
Gruß
schachuzipus
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Bin mir nicht sicher ob das nun mein Endergebnis sein soll:
[mm] \bruch{1}{x}*\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}*\left((n+1)-\bruch{n^2+n}{2})\right)=\bruch{1}{x}*\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}*\left(\bruch{-n^2+3n+2}{2}\right) [/mm] für [mm] x\not=1
[/mm]
Oder anders: Ich weiß nicht so recht wie mein Ergebnis überhaupt aussehen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:52 Fr 31.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Bin mir nicht sicher ob das nun mein Endergebnis sein
> soll:
>
> [mm]\bruch{1}{x}*\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}*\left((n+1)-\bruch{n^2+n}{2})\right)=\bruch{1}{x}*\bruch{1-x^{n+1}}{1-x}*\left(\bruch{-n^2+3n+2}{2}\right)[/mm]
> für [mm]x\not=1[/mm]
Wieso multiplizierst du deine Terme aus?
Außerdem gilt:
$a-(b+c)=a-b-c$ für alle [mm] a,b,c\in\IR
[/mm]
> Oder anders: Ich weiß nicht so recht wie mein Ergebnis
> überhaupt aussehen soll.
So wie es da oben steht ist die Äquivalenz verloren gegangen,
denn ganz vorne Stand hattest du mal eine Reihe!
DieAcht
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Ich hab mich nochmal dran gesetzt. Also wir waren bei:
[mm] \bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\summe_{k=0}^{n}n-k\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\summe_{k=0}^{n}n-\summe_{k=0}^{n}k\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(n*(n+1)-\bruch{n*(n+1)}{2}\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\bruch{n*(n+1)}{2}\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\bruch{n^2+n}{2}\right)
[/mm]
Hmm, was muss ich jetzt noch tun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Ich hab mich nochmal dran gesetzt. Also wir waren bei:
>
> [mm]\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\summe_{k=0}^{n}n-k\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\summe_{k=0}^{n}n-\summe_{k=0}^{n}k\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(n*(n+1)-\bruch{n*(n+1)}{2}\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\bruch{n*(n+1)}{2}\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\bruch{n^2+n}{2}\right)[/mm]
>
> Hmm, was muss ich jetzt noch tun?
Das ist soweit richtig.
Tipp: Geometrische Reihe.
DieAcht
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Hm. muss das [mm] x^n [/mm] nicht stehen bleiben, weil das Teil der Potenzreihe ist mit Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0? [/mm]
Mit dem anderen Faktor weiß ich nichts anzufangen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Es gilt für $|q|<1$ und [mm] \alpha\in\IR [/mm] folgendes:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\alpha*q^n=\frac{\alpha}{1-q}
[/mm]
Was gilt denn für die folgende Reihe mit $|q|<1$:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}n*q^n
[/mm]
Übrigens: Am Ende erhältst du ein sehr schönes (kurzes) Ergebnis.
DieAcht
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Wer sagt denn das |x|<1 ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Wer sagt denn das |x|<1 ist?
Nur mit $|x|<1$ folgt die Behauptung. 
DieAcht
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Ich weiß überhaupt nicht mehr was ich jetzt tun soll. :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Sei [mm] f(x):=\summe_{n=0}^{\infty}x^n.
[/mm]
Zu zeigen:
$f(x)*f'(x)=f''(x)$ für alle $|x|<1$
Die linke Seite hast du fast fertig, denn es gilt:
[mm] \bruch{1}{x}\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\bruch{n^2+n}{2}\right)=\frac{1}{2x}(\summe_{n=0}^{\infty}n^2*x^n+\summe_{n=0}^{\infty}n*x^n)
[/mm]
Gucken wir uns nun die einzelnen Summen genauer an, es gilt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}n*x^n=\summe_{n=0}^{\infty}x*\frac{d}{dx}x^n=x*\frac{d}{dx}\summe_{n=0}^{\infty}x^n=x*\frac{d}{dx}(\frac{1}{1-x})=\frac{x}{(x-1)^2}
[/mm]
Analog gilt für die andere Seite und das kannst du mal selbst nachrechnen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}n^2*x^n=x*\frac{1+x}{(1-x)^3}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] f(x)*f'(x)=\frac{1}{2x}(\summe_{n=0}^{\infty}n^2*x^n+\summe_{n=0}^{\infty}n*x^n)=\frac{1}{2x}(x*\frac{1+x}{(1-x)^3}+\frac{x}{(x-1)^2})=\ldots=-\frac{1}{(x-1)^3}
[/mm]
Auf der rechten Seite der Gleichung gilt:
[mm] \frac{1}{2}f''(x)=\frac{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\frac{d^2}{dx^2}x^n=\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}\summe_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}(\frac{1}{1-x})=-\frac{1}{(x-1)^3}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] f(x)*f'(x)=\frac{1}{2}f''(x) [/mm] für alle $|x|<1$
Gruß
DieAcht
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Du hast geschrieben:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^n=\summe_{n=0}^{\infty}x\cdot{}\frac{d}{dx}x^n
[/mm]
Wo ist das n hin und woher auf einmal das x?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Du hast geschrieben:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^n=\summe_{n=0}^{\infty}x\cdot{}\frac{d}{dx}x^n[/mm]
>
> Wo ist das n hin und woher auf einmal das x?
Es gilt:
[mm] x*\frac{d}{dx}x^n=x*n*x^{n-1}=x*n*x^n*x^{-1}=n*x^n
[/mm]
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 So 02.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
du bist doch auf dieser Seite der zu beweisenden Gleichung fertig.
Mit geometrischen Reihen hat diese Aufgabe überhaupt nichts zu tun !
> Ich hab mich nochmal dran gesetzt. Also wir waren bei:
>
> [mm]\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\summe_{k=0}^{n}n-k\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\summe_{k=0}^{n}n-\summe_{k=0}^{n}k\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(n*(n+1)-\bruch{n*(n+1)}{2}\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\bruch{n*(n+1)}{2}\right)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\bruch{n^2+n}{2}\right)[/mm]
>
> Hmm, was muss ich jetzt noch tun?
Fast nichts mehr.
Der vorletzte Term in deiner Gleichungskette lautet
[mm] f(x)*f'(x)=\bruch{1}{x}*\summe_{n=0}^{\infty}x^{n}\left(\bruch{n*(n+1)}{2}\right), [/mm] also [mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}n*(n+1)*x^{n-1}.
[/mm]
Laut Aufgabenstellung sollst du nur nachweisen, dass das gleich [mm] \bruch{1}{2}*f''(x) [/mm] ist. Also schreibe [mm] \bruch{1}{2}*f''(x) [/mm] hin, vergleiche (einige Summanden mit Faktor 0 fallen weg) und das war's dann.
Gruß Sax.
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Hmm also ich habe für 1/2*f''(x)
[mm] \bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}(n-1)*n*x^{n-2}
[/mm]
Wenn ich hier n=3 setze erhalte ich 3x.
Im dem Ergebnis für f(x)*f('x) erhalte ich bereits für n=2 -> 3x. Ich bekomme zwar für die vorherigen n immer Null, aber wenn ich unterschiedliche n einsetzen muss um das gleiche zu erhalten, dann ist es doch irgendwie nicht gleich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hier steht es.
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 So 02.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hmm also ich habe für 1/2*f''(x)
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}(n-1)*n*x^{n-2}[/mm]
>
> Wenn ich hier n=3 setze erhalte ich 3x.
>
> Im dem Ergebnis für f(x)*f('x) erhalte ich bereits für
> n=2 -> 3x. Ich bekomme zwar für die vorherigen n immer
> Null, aber wenn ich unterschiedliche n einsetzen muss um
> das gleiche zu erhalten, dann ist es doch irgendwie nicht
> gleich?
Doch, die Reihen sind natürlich gleich, nur eben etwas anders durchnummeriert. Anders ausgedrückt : Es sind beides Potenzreihen in x , beginnend mit [mm] x^0 [/mm] und der Koeffizient bei [mm] x^m [/mm] ist immer $ (m+1)*(m+2) $
Gruß Sax.
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Du meinst damit das ich bei beiden Reihen erst dann einen Wert erhalte der nicht Null ist wenn dort [mm] x^0 [/mm] steht? Aber wie ist damit nun die Gleichheit gezeigt, was soll ich da hinschreiben?
Und zum Ansatz von DieAcht hätte ich wieder Fragen. :/
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Und zum Ansatz von DieAcht hätte ich wieder Fragen. :/
Dann stell sie auf dem anderen Pfad,
sonst wird das hier unübersichtlich.
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 So 02.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
nochmal ausführlich:
Beide Reihen sind ausgeschrieben [mm] \bruch{1}{2}*(2*1*x^0+3*2*x^1+4*3*x^2+5*4*x^3+...).
[/mm]
Das kannst du hinschreiben, aber ich finde meine vorige Antwort besser.
Gruß Sax.
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Hi,
mh, mal anders herangegangen.
[mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}x^n
[/mm]
Berechnen sollst du f'(x)*f(x), das ist aber [mm] \frac{d}{dx}\frac{1}{2}f(x)^2
[/mm]
Ich bin mir recht sicher, dass du [mm] f(x)^2 [/mm] aber schon einmal als Übung ausgerechnet hast.
Differenziere dann die entstandene Funktion. Damit erhältst du ebenso das Ergebnis. Wie dieAcht auch schon erwähnt hat: Das Ergebnis hat eine schöne Struktur.
Liebe Grüße!
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