Cauchy-Produkt Nr. 3 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe:
http://abload.de/img/cauchynr.37zu9e.png
[mm] \bruch{1}{(1+x)*(1-2x)}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{n=0}^{\infty}(-x)^n*\summe_{n=0}^{\infty}(2x)^n
[/mm]
Cauchy: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^k*x^k*(2x)^{n-k}=\summe_{n=0}^{\infty}2^n\summe_{k=0}^{n}\left(-\bruch{1}{2}\right)^k=\summe_{n=0}^{\infty}2^n*\left(\bruch{1-\left(-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}}{1+\bruch{1}{2}}\right)=\summe_{n=0}^{\infty}2^n*\left(1-\left(-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right)*\bruch{2}{3}=\summe_{n=0}^{\infty}\left(2^n-2^n*\left(-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right)*\bruch{2}{3}=\summe_{n=0}^{\infty}\left(2^{n+1}-2^{n+1}*\left(-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right)\bruch{1}{3}=\summe_{n=0}^{\infty}\left(2^{n+1}-\left(-\bruch{1}{2}*2\right)^{n+1}\right)\bruch{1}{3}=\summe_{n=0}^{\infty}\left(2^{n+1}-(-1)^{n+1}\right)\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{2}{3}*2^n+(-1)^n*\bruch{1}{3}\right)*x^n
[/mm]
Ist das Cauchy-Produkt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das Ergebnis ist absolut richtig, allerdings hast du in der oberen Zeile fast immer das [mm] x^n [/mm] vergessen. (Hast dir wohl gedacht, dass die Zeile eh schon lang genug ist.)
Gruß Sax.
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Naja ich dachte mir, das das [mm] x^n [/mm] für die Folge [mm] a_{n} [/mm] eh nicht von Bedeutung ist und habe es einfach komplett raus genommen und dann am Ende einfach wieder dazugeschmissen. Ob das so korrekt ist weiß ich nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 05.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Das darfst du natürlich nicht machen! So etwas wäre doch auch falsch:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2}{n^4+2n}=\frac{1}{n^2+\frac{2}{n}}=0
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Ich blicke dein Beispiel gerade nicht. :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
dann lass es.
Cauchy: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^k*x^k*(2x)^{n-k}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}2^n\summe_{k=0}^{n}\left(-\bruch{1}{2}\right)^k
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}2^n*\left(\bruch{1-\left(-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}}{1+\bruch{1}{2}}\right)
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}2^n*\left(1-\left(-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right)*\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\left(2^n-2^n*\left(-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right)*\bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\left(2^{n+1}-2^{n+1}*\left(-\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right)\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\left(2^{n+1}-\left(-\bruch{1}{2}*2\right)^{n+1}\right)\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\left(2^{n+1}-(-1)^{n+1}\right)\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{2}{3}*2^n+(-1)^n*\bruch{1}{3}\right)*x^n [/mm]
Entscheidend für deine Aufgabe ist, dass du am Anfang völlig richtig die Potenzen [mm] x^k [/mm] und [mm] x^{n-k} [/mm] mit aufführst, was sich ja zu [mm] x^n [/mm] zusammenkürzt, dann aber ab der zweiten Zeile (trotz Gleichheitszeichens !) diese x-Potenzen einfach weglässt. Das geht natürlich nicht.
Gestatte mir noch eine zusätzliche Bemerkung:
Sollte dir in der Praxis jemals eine solche Aufgabe begegnen, hoffe ich, dass du sie nicht nach der hier verlangten Methode ("Das haben wir in unseren Übungen immer so gemacht.") löst, sondern zunächst eine Partialbruchentwicklung machst, dann zwei geometrische Reihen hinschreibst und diese schließlich nach Potenzen von x zusammenfasst.
So kannst du dann auch kontrollieren, ob die Sache mit dem Konvergenzradius klappt.
Gruß Sax.
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Naja in unserer Klausur wird explizit das Cauchy-Produkt verlangt, also von daher keine Chance.
Du hättest mit dem Bruch also zunächst eine Partialbruchzerlegung mit dem Ansatz:
[mm] \bruch{1}{(1+x)(1-2x)}=\bruch{A}{1+x}+\bruch{B}{1-2x} [/mm]
gemacht?
Und hättest dann glaube ich das erhalten:
[mm] \bruch{2}{1+x}+\bruch{1}{1-2x}
[/mm]
Und jetzt willst du die geometrischen Reihen draus basteln?
[mm] 2*\summe_{n=0}^{\infty}x^n+\summe_{n=0}^{\infty}(2x)^n
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Mi 05.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Naja in unserer Klausur wird explizit das Cauchy-Produkt
> verlangt, also von daher keine Chance.
>
> Du hättest mit dem Bruch also zunächst eine
> Partialbruchzerlegung mit dem Ansatz:
>
> [mm]\bruch{1}{(1+x)(1-2x)}=\bruch{A}{1+x}+\bruch{B}{1-2x}[/mm]
>
> gemacht?
Genau.
>
> Und hättest dann glaube ich das erhalten:
>
> [mm]\bruch{2}{1+x}+\bruch{1}{1-2x}[/mm]
Dass du es glaubst, kann ich nicht verhindern, aber tatsächlich ergibt sich
[mm] \bruch{1/3}{x+1}+\bruch{2/3}{1-2x}
[/mm]
>
> Und jetzt willst du die geometrischen Reihen draus
> basteln?
>
>
> [mm]2*\summe_{n=0}^{\infty}x^n+\summe_{n=0}^{\infty}(2x)^n[/mm]
Ja, aber dir richtigen (nämlich mit dem Minuszeichen in der ersten Reihe, das du doch in deinem Anfangsbeitrag auch hattest).
Gruß Sax.
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Habe ich jetzt auch raus. Den Koeffizientenvergleich falsch gemacht. :D
[mm] \bruch{1}{3}*\summe_{n=0}^{\infty}(-x)^n+\bruch{2}{3}*\summe_{n=0}^{\infty}(2x)^n
[/mm]
Finde ich gerade schwerer zu lösen. Naja morgen nochmal versuchen. ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Do 06.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
was heißt "lösen" ?
[mm] \bruch{1}{3}*\summe_{n=0}^{\infty}(-x)^n+\bruch{2}{3}*\summe_{n=0}^{\infty}(2x)^n=\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{3}*(-x)^n+\bruch{2}{3}*(2x)^n\right)=\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{3}*(-1)^n+\bruch{2}{3}*(2)^n\right)*x^n
[/mm]
also ganau das, was du oben auch raus hattest.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Do 06.02.2014 | | Autor: | SturmGhost |
War wohl etwas zu spät gestern. Habe angefangen die Summen bzw. die geometrischen Reihen aufzulösen...
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