Cauchy-Riemannschen Di erentia < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie alle a; b; c [mm] \in \IR [/mm] für die
x + iy -> [mm] x^3 [/mm] + [mm] ax^{2}y [/mm] + [mm] bxy^2 [/mm] + [mm] cy^3
[/mm]
der Realteil einer holomorphen Funktion f [mm] :\IC->\IC [/mm] ist und bestimmen sie diese. |
Hallo,
ich weiß hier nicht, was ich da genau machen muss. Bestimme ich hier die partiellen Ableitungen? Wenn ja, was mache ich dann damit?
Schon mal vielen Dank im Vorraus
fg
Chrissi
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Hallo!
> Bestimmen sie alle a; b; c [mm]\in \IR[/mm] für die
> x + iy -> [mm]x^3[/mm] + [mm]ax^{2}y[/mm] + [mm]bxy^2[/mm] + [mm]cy^3[/mm]
> der Realteil einer holomorphen Funktion f [mm]:\IC->\IC[/mm] ist
> und bestimmen sie diese.
> Hallo,
>
> ich weiß hier nicht, was ich da genau machen muss.
> Bestimme ich hier die partiellen Ableitungen? Wenn ja, was
> mache ich dann damit?
Wieso schreibst du "Cauchy-Riemannsche DGL" in den Titel und benutzt sie nicht?
Damit eine Funktion [mm] f:\IC\to\IC [/mm] holomorph sein kann, müssen die CR-DGL gelten.
Schreibe wir $f(x+i*y) = u(x,y) + v(x,y)*i$ mit u,v reellwertige Funktionen, d.h. $Re(f) = u, Im(f) = v$, dann muss also gelten:
(I) [mm] $\frac{\partial u}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial v}{\partial y}$
[/mm]
(II) [mm] $\frac{\partial u}{\partial y} [/mm] = [mm] -\frac{\partial v}{\partial x}$
[/mm]
In der Aufgabenstellung ist dir gegeben, dass bei deiner Funktion f der Realteil $u(x,y) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] ax^{2}y +bxy^2 +cy^3$ [/mm] ist.
Was folgt also aus (I) für v(x,y)? Was folgt aus (II) für v(x,y)?
Grüße,
Stefan
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Hallo Stefan,
danke für die Antwort, und ja soweit war ich auch schon, aber wenn ich die partiellen Ableitungen gleich null setze bekomm ich trotzdem für a,b,c keine Werte raus.
ich hab dann dastehen:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] = [mm] 3x^2+2axy+by^2 [/mm] = [mm] \bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] =0
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] = [mm] 3cy^2+2bxy+ax^2 [/mm] = [mm] -\bruch{\partial v}{\partial x} [/mm] = 0
Aber wie komme ich davon auf die Werte von a,b,c?
fg
Chrissi
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Hallo!
> Hallo Stefan,
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> danke für die Antwort, und ja soweit war ich auch schon,
1. Warum schreibst du das dann nicht?
> aber wenn ich die partiellen Ableitungen gleich null setze
> bekomm ich trotzdem für a,b,c keine Werte raus.
2. Wieso setzt du die Ableitungen gleich Null? Was gibt es da für einen Grund?
> ich hab dann dastehen:
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm] = [mm]3x^2+2axy+by^2[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial v}{\partial y}[/mm] =0
Ich habe das jetzt nicht kontrolliert (ich denke, du kannst partiell ableiten  ).
Das "= 0" lassen wir mal weg, dann erhalten wir:
[mm] $3x^2+2axy+by^2 [/mm] = [mm] \bruch{\partial v}{\partial y}$.
[/mm]
Was können wir daraus für v(x,y) folgern? Mit anderen Worten: Wie muss v(x,y) = ... ausgesehen haben, damit bei einer partiellen Ableitung nach y dieser Term rauskommt? (Beachte, dass bei partieller Ableitung nach y ein Summand, der nur von x abhängt, vollständig eliminiert wird!)
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}[/mm] = [mm]3cy^2+2bxy+ax^2[/mm] =
> [mm]-\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
Hier genauso!
Grüße,
Stefan
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Hallo,
also wenn
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] = [mm] 3x^2+2axy+by^2 =\bruch{\partial v}{\partial y}
[/mm]
=>v(x,y) [mm] =3x^{2}y+axy^2+\bruch{1}{3}by^3
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] = [mm] 3cy^2+2bxy+ax^2 [/mm] = [mm] \bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
=>v(x,y) = [mm] -3cxy^2-bx^{2}y-\bruch{1}{3}ax^3
[/mm]
gut und was bringt mir jetzt diese Erkenntnis?
fg
Chrissi
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Hallo,
> Hallo,
>
> also wenn
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}[/mm] = [mm]3x^2+2axy+by^2 =\bruch{\partial v}{\partial y}[/mm]
>
> =>v(x,y) [mm]=3x^{2}y+axy^2+\bruch{1}{3}by^3 + \red{V_{1}(x)}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}[/mm] = [mm]3cy^2+2bxy+ax^2[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
> =>v(x,y) =
> [mm]-3cxy^2-bx^{2}y-\bruch{1}{3}ax^3 + \red{V_{2}(y)}[/mm]
>
> gut und was bringt mir jetzt diese Erkenntnis?
Habe jetzt auch mal nachgerechnet, und deine Ergebnisse stimmen. Du musst aber noch die Funktionen ergänzen, die nur von x bzw. y abhängen! (Siehe rot markiertes)
Das v(x,y) muss natürlich in beiden Fällen dasselbe sein! Setze also die beiden v's gleich - was folgt für a,b,c?
Grüße,
Stefan
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Hallo,
ich steh grad aufm Schlauch, aber wie berechne ich denn [mm] v_1(x),v_2(y)?
[/mm]
Ich mein [mm] 3cy^2+2bxy+ax^2 [/mm] = [mm] \bruch{\partial v}{\partial x} [/mm] , des hängt ja jetz nicht nur von x ab;
fg
Chrissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Sa 22.05.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Die V(x) bzw. V(y) musst du nicht berechnen. Du musst sie beim Gleichsetzen nur richtig interpretieren bzw. überlegen, was das für die a,b und c und somit die Lösung heissen kann.
Gruss
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:59 So 23.05.2010 | | Autor: | chrissi2709 |
Hallo,
danke für die Antwort;
wenn ich die beiden Gleichungen dann gleichsetze, habe ich
[mm] 3x^{2}y+axy^2+\bruch{1}{3}by^3=-bx^{2}y-3cxy^2-\bruch{1}{3}ax^3
[/mm]
daraus folgt für b=-3 und a=-3c;
für a habe ich auch noch [mm] -3\bruch{y^3}{x^3}
[/mm]
So habe ich für b einen festen Wert für a,c aber nicht;
Wie krieg ich jetzt no9ch a und c raus?
fg
Chrissi
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Hallo,
[mm] 3x^{2}y+axy^2+\bruch{1}{3}by^3=-bx^{2}y-3cxy^2-\bruch{1}{3}ax^3 [/mm]
also wenn ich die zwei Gleichungen gleich setze folgt doch für b=-3, soviel stimmt doch oder?
für a hab ich dann a=-3c,
wie kann ich denn jetzt noch a und c ausrechnen, nachdem b ja einen festen Wert hat?
fg
Chrissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 27.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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