Cauchy-Schwarzsche Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] a_{1}, [/mm] …, [mm] a_{n}, b_{1}, [/mm] …, [mm] b_{n} \in \IR. [/mm] Beweisen Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung [mm] \summe_{k=1}^{n} |a_{k} b_{k}| \le (\summe_{k=1}^{n} a_{k}^{2})^{0,5} (\summe_{k=1}^{n} b_{k}^{2})^{0,5}. [/mm] |
Also:
Ich hab das erst mal quadriert, um die Wurzeln wegzubekommen:
[mm] (\summe_{k=1}^{n} |a_{k} b_{k}|)^{2} \le (\summe_{k=1}^{n} a_{k}^{2}) (\summe_{k=1}^{n} b_{k}^{2})
[/mm]
Danach hatte ich aber leider schon keine Idee mehr. =( Deshalb habe ich das mal gegoogelt und bin auf das hier gestoßen: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung41/
Das sah zwar ganz toll aus, aber verstanden habe ich leider nur Bahnhof, deshalb wäre es ganz toll, wenn mir jemand entweder den Beweis erklären oder eine Idee, wie ich weiter mache, geben könnte.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 28.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Dath |
Wir beweisen das jetzt erst mal für den Spezialfall, dass alle Zahlen positiv und ungleich 0 sind. Wenn alle Zahlen gleich 0 sind tritt ja die Gleichheit ein.
Dass man tatsächlich nur den genannten Spezialfall beweisen muss sieht man durch das Betragszeichen auf der linekn Seite.
[mm]\summe_{i=1}^{n}(a_{i}+xb_{i})^{2}[/mm]
Man sieht, dass gelten muss:
[mm]\summe_{i=1}^{n}(a_{i}+xb_{i})^{2}>=0[/mm]
Man sieht weiterhin, dass durch Anwenden der binomischen Formel:
[mm]\summe_{i=1}^{n}(a_{i}^{2})+2x\summe_{i=1}^{n}(a_{i}b_{i})+x^{2}\summe_{i=1}^{n}(b_{i}^{2})[/mm]. Man sieht nun weiter, dass dies eine quadratische Gleichung ist, und dass diese höchstens eine Lösung haben kann (beachte die Linearfaktorzerlegung weiter oben!).
Aus diesem Grund muss in der Mitternachsformel die Diskriminante kleiner gleich 0 sein (warum?):
Man erhält:
[mm]4(\summe_{i=1}^{n}(a_{i}b_{i}))^{2}-4\summe_{i=1}^{n}(a_{i}^{2})\summe_{i=1}^{n}(b_{i}^{2})<=0[/mm]
Man erhält schließlich:
[mm](\summe_{i=1}^{n}(a_{i}b_{i}))^{2} <= \summe_{i=1}^{n}(a_{i}^{2})\summe_{i=1}^{n}(b_{i}^{2})[/mm]
Wurzelziehen auf beiden Seiten liefert schließlich die Behauptung.
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