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Forum "Folgen und Reihen" - Cauchy Folge
Cauchy Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Cauchy Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Mo 07.05.2007
Autor: grashalm

Aufgabe
Seien [mm] (x_{n})_{n\in \IN} [/mm] und [mm] (y_{n})_{n\in \IN} [/mm] Cauchy Folgen im metrischen Raum (X,d). Zeigen sie, dass [mm] (d(x_{n}, y_{n}))_{n\in \IN} [/mm] konvergiert.

Mh also anwenden der Dreiecksungleichung kann hier helfen aber ich komm so noch nicht drauf kann mir das jemand zeigen.

        
Bezug
Cauchy Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:08 Di 08.05.2007
Autor: maybe.

versuch mal zu zeigen dass deine folge eine cauchy-folge in IR (!!!!) ist.

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Cauchy Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:18 Di 08.05.2007
Autor: grashalm

Mh hilft mir leider noch nicht. Kannst das ein wenig mehr ausschmücken?

Bezug
                        
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Cauchy Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Di 08.05.2007
Autor: angela.h.b.


> Mh hilft mir leider noch nicht. Kannst das ein wenig mehr
> ausschmücken?

Hallo,

Die Folge  $ [mm] (d(x_{n}, y_{n}))_{n\in \IN} [/mm] $ ist, wie mein Vorredner bereits sagte, eine Folge in [mm] \IR. [/mm]

[mm] \IR [/mm] mit der Betragsmetrik ist vollständig, d.h. hier konvergiert jede Cauchyfolge.

Wenn es Dir also gelingt, zu zeigen, daß [mm] (d(x_{n}, y_{n}))_{n\in \IN} [/mm] CF in [mm] \IR [/mm] ist, hast Du die Konvergenz gezeigt.

Wie geht das?

Du zeigst, daß es zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein N gibt, so daß für alle [mm] n,m\ge [/mm] N gilt [mm] |d(x_{n}, y_{n})-d(x_{m}, y_{m})| \le \varepsilon. [/mm]

Hierfür mußt Du verwenden, daß [mm] x_n [/mm] und [mm] y_n [/mm] CF in (X;d) sind, Eigenschaften der Metrik, vermutlich auch des Betrages.

Gruß v. Angela


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Cauchy Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 Di 08.05.2007
Autor: ullim

Hi,

als kleiner Tipp, es gilt

[mm] ||x|-|y||\le|x-y| [/mm]

mfg ullim

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Bezug
Cauchy Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Di 08.05.2007
Autor: grashalm

Was mich stört wie hatten schonmal ne Bemerkung in der Vorlesung das nicht jede Cauchyfolge konvergiert bei ner Metrik [mm] \IR [/mm] ohne {0}
Aber ein Widerspruchsbeweis soll das hier nicht sein oder?

Bezug
                                        
Bezug
Cauchy Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Di 08.05.2007
Autor: maybe.

ich weiss jetzt nicht so ganz was du meinst mit
nicht jede Cauchyfolge konvergiert bei ner Metrik $ [mm] \IR [/mm] $ ohne {0}
aber fest steht dass deine Folge in IR liegt und dort jede c.f. konvergiert.
schreib doch mal hier rein was es bedeutet dass xn und yn c.f. sind und was es bedeutet dass d(xn,yn) eine c.f. in IR ist (also einfach nur definitionen rausschreiben)

Bezug
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