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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Cauchy Integral
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Cauchy Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Di 14.07.2009
Autor: Bodo0686

Aufgabe
Berechnen Sie

[mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x^2+1)^2} dx} [/mm]

Hallo,

ich benötige die Polstellen:

[mm] x^2+1=0 \gdw x^2=-1 \gdw z_0= [/mm] i, [mm] z_1=-i [/mm]
[mm] x^2+1 \gdw [/mm] (x+i)(x-i)

[mm] \integral_{0}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x^2+1)^2} dx} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x+i)(x-i)(x+i)(x-i)} dx} [/mm]

jetzt [mm] z_0=i [/mm]

= [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \frac{sin(z)}{(z+i)(z+i)}=2\pi [/mm] i [mm] \frac{e^{iz}}{(z+i)(z+i)} [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \frac{e^{i^2}}{(i+i)(i+i)}= 2\pi [/mm] i [mm] \frac{e^{-1}}{4i^2} [/mm] =  [mm] \frac{-\pi i}{2e} [/mm]

Grüße

        
Bezug
Cauchy Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Di 14.07.2009
Autor: MathePower

Hallo Bodo0686,

> Berechnen Sie
>  
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x^2+1)^2} dx}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich benötige die Polstellen:
>  
> [mm]x^2+1=0 \gdw x^2=-1 \gdw z_0=[/mm] i, [mm]z_1=-i[/mm]
>  [mm]x^2+1 \gdw[/mm] (x+i)(x-i)
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x^2+1)^2} dx}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{2}\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{sin(x)}{(x+i)(x-i)(x+i)(x-i)} dx}[/mm]
>  
> jetzt [mm]z_0=i[/mm]
>  
> = [mm]2\pi[/mm] i [mm]\frac{sin(z)}{(z+i)(z+i)}=2\pi[/mm] i
> [mm]\frac{e^{iz}}{(z+i)(z+i)}[/mm] = [mm]2\pi[/mm] i
> [mm]\frac{e^{i^2}}{(i+i)(i+i)}= 2\pi[/mm] i [mm]\frac{e^{-1}}{4i^2}[/mm] =  
> [mm]\frac{-\pi i}{2e}[/mm]


Da es sich bei den Polstellen, um solche der Ordnung 2 handelt,
benötigst Du die Ableitung von

[mm]\bruch{e^{ix}}{\left(x+i\right)^{2}}[/mm]


>  
> Grüße


Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Cauchy Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Di 14.07.2009
Autor: Bodo0686

Ich kann doch folgenden Ansatz wählen?

[mm] res_i [/mm] = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \frac{1}{(2-1)!}\frac{d^{2-1}}{d_z^{2-1}} [(z-i)^2 *\frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2} [/mm] ] z=i

=2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [(z-i)^2 *\frac{e^{iz}}{(z+1)(z-i)(z+i)(z-i)} [/mm] ] z=i

= 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [\frac{e^{i^2}}{(i+i)(i+i)} [/mm] ]

=2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [\frac{e^{-1}}{(4i^2)} [/mm] ]

= [mm] 2\pi [/mm] i *1 [mm] \frac{d^{1}}{d_z^{1}} -[\frac{1}{(4e)} [/mm] ]

jetzt ableiten... nach x...

geht nicht... daher ergebnis [mm] -\frac{\pi i }{2e} [/mm]

Das wäre die Variante die ich jetzt hier machen würde


wenn ich die ableitung brauche

dann habe ich nach x abgeleitet:

[mm] \frac{x*e^{ix}*(x^2+1)^2-2(x^2+1)2x*e^{ix}}{(x^2+1)^4} [/mm]


Bitte um Rückmeldung!

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Cauchy Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Di 14.07.2009
Autor: MathePower

Hallo Bodo0686,

> Ich kann doch folgenden Ansatz wählen?
>  
> [mm]res_i[/mm] = [mm]2\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{(2-1)!}\frac{d^{2-1}}{d_z^{2-1}} [(z-i)^2 *\frac{e^{ix}}{(x^2+1)^2}[/mm]
> ] z=i
>
> =2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [(z-i)^2 *\frac{e^{iz}}{(z+1)(z-i)(z+i)(z-i)}[/mm]
> ] z=i
>


Jetzt mußt Du den Ausdruck

[mm]\bruch{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}[/mm]

ableiten.

Und dann kannst Du z=i setzen.


> = 2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [\frac{e^{i^2}}{(i+i)(i+i)}[/mm]
> ]
>  
> =2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{1}\frac{d^{1}}{d_z^{1}} [\frac{e^{-1}}{(4i^2)}[/mm]
> ]
>  
> = [mm]2\pi[/mm] i *1 [mm]\frac{d^{1}}{d_z^{1}} -[\frac{1}{(4e)}[/mm] ]
>
> jetzt ableiten... nach x...
>  
> geht nicht... daher ergebnis [mm]-\frac{\pi i }{2e}[/mm]
>  
> Das wäre die Variante die ich jetzt hier machen würde
>  
>
> wenn ich die ableitung brauche
>  
> dann habe ich nach x abgeleitet:
>  
> [mm]\frac{x*e^{ix}*(x^2+1)^2-2(x^2+1)2x*e^{ix}}{(x^2+1)^4}[/mm]
>  


Das ist der falsche Ausdruck, den Du da abgeleitet hast.

Ableiten  mußt Du

[mm]\bruch{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}[/mm]


>
> Bitte um Rückmeldung!
>
> Grüße


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Cauchy Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 Di 14.07.2009
Autor: Bodo0686



[mm] \bruch{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}} [/mm]

nach z abgeleitet:

Kann ich hier LHospital  anwenden oder muss ich hier Quotientenregel beachten?

Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Cauchy Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 Di 14.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Bodo,

>
>
> [mm]\bruch{e^{iz}}{\left(z+i\right)^{2}}[/mm]
>  
> nach z abgeleitet:
>  
> Kann ich hier LHospital  anwenden [kopfkratz3]

de l'Hôpital ist doch keine Ableitungsregel ...

> oder muss ich hier Quotientenregel beachten? [ok]

Allerdings habe ich 2 andere Bedenken ...

Zum einen ist der Integrand ja ungerade, wieso ist also [mm] $\int\limits_{0}^{\infty}\text{bla}=\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\text{bla}$ [/mm]

Gilt das nicht für gerade Integranden?

Zum anderen ist [mm] $\sin(z)=Im(e^{iz})$, [/mm] ich würde sagen, dass [mm] Im\left(\int{\frac{e^{iz}}{\text{blubb}} \ dz}\right)$ [/mm] zu berechnen ist ...

Hmmm ....

>  
> Grüße

LG

schachuzipus

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