matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisCauchy Integralformel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Cauchy Integralformel
Cauchy Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Cauchy Integralformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Di 29.03.2016
Autor: Reynir

Aufgabe
Sei f auf einem Gebiet G holomorph, das [mm] $\mathbb{\overline {H}}:=\{ z \in \mathbb{C}: Im(z) \geq 0 \}$ [/mm] enthält. Es gebe ein
[mm] $\alpha>0$ [/mm] und eine Konstante M > 0 mit [mm] $|z^\alpha [/mm] f(z)| [mm] \leq [/mm] M $ auf G. Man zeige für [mm] $a\in \mathbb{C}$ [/mm] mit $Im(a)>0$, dass
[mm] $f(a)=\frac{1}{2\pi i }\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x-a} [/mm] dx$.

Hallo,
ich wollte diese Aufgabe lösen, allerdings bin ich etwas verwirrt, wie ich das angehen soll. Es sollte wohl folgendes gemacht werden:
Man wählt einen Weg mit R und -R, welche auf der x-Achse liegen und einen Halbkreis mit Radius R, der in R und -R die x-Achse sberührt. Zu dem Integral soll man dann mit Cauchy's Integralformel kommen. Da kommt der Punkt, wo ich verwirrt bin, die ist doch erstmal nur für Kreise definiert, wie kann man das dann einfach so auf Halbkrise anwenden?
Viele Grüße,
Reynir

        
Bezug
Cauchy Integralformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Di 29.03.2016
Autor: fred97


> Sei f auf einem Gebiet G holomorph, das [mm]\mathbb{\overline {H}}:=\{ z \in \mathbb{C}: Im(z) \geq 0 \}[/mm]
> enthält. Es gebe ein
> [mm]\alpha>0[/mm] und eine Konstante M > 0 mit [mm]|z^\alpha f(z)| \leq M[/mm]
> auf G.


Wie ist denn die Potenz [mm] z^\alpha [/mm] auf G definiert ???

Oder lautet die Vor. vielleicht so:  [mm]|z|^\alpha | f(z)| \leq M[/mm] auf G ?

Kläre das !





> Man zeige für [mm]a\in \mathbb{C}[/mm] mit [mm]Im(a)>0[/mm], dass
>  [mm]f(a)=\frac{1}{2\pi i }\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x-a} dx[/mm].
>  
> Hallo,
>  ich wollte diese Aufgabe lösen, allerdings bin ich etwas
> verwirrt, wie ich das angehen soll. Es sollte wohl
> folgendes gemacht werden:
>  Man wählt einen Weg mit R und -R, welche auf der x-Achse
> liegen und einen Halbkreis mit Radius R, der in R und -R
> die x-Achse sberührt. Zu dem Integral soll man dann mit
> Cauchy's Integralformel kommen. Da kommt der Punkt, wo ich
> verwirrt bin, die ist doch erstmal nur für Kreise
> definiert, wie kann man das dann einfach so auf Halbkrise
> anwenden?

Sei a [mm] \in \IC [/mm] mit Im(a) >0. Dann Wähle R>0 so, dass a im Inneren von M liegt, wobei

    [mm] M:=\{z \in \IC: |z| \le R, Im(z) \ge 0\}. [/mm]

Ist dann [mm] \gamma_R, [/mm] der von Dir oben beschriebene Weg, so ist die Bildmenge von [mm] \gamma_R [/mm] gerade [mm] $=\partial [/mm] M$.

Nach der Cauchyschen Integralformel ist

  [mm] $f(a)=\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\gamma_R}^{}{\bruch{f(z)}{z-a} dz}$ [/mm]


Gruß FRED

>  Viele Grüße,
>  Reynir


Bezug
                
Bezug
Cauchy Integralformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 Sa 02.04.2016
Autor: Reynir

Hi,
ich hatte leider nur diese Aufgabenstellung, aber die Frage hat sich geklärt.
Viele Grüße,
Reynir

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]