Cauchy Integralformel Komplex < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Sa 27.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich kapiere zwei Dinge in der Komplexen Analysis überhaupt nicht.
Hier Zitat aus Wikipedia zur Cauchy Integralformel:
"Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion f im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. "
In der Forlesung hat der Prof so eine geschlossene Kurve um einen Punkt gezeichnet und gesagt man kann den Bestimmen durch die Kurve drum herum? Da kann ich nur sagen: Hääää, dann kann ich ja die Kure wählen wie ich will und es gibt das gleiche oder wie?
Zweitens: Der Prof hat so eine ganz wilde geschlossene Kurve gezeichnet und in der geschlossenen Kurve auch noch einen Kreis gezeichnet. Dann hat er gesagt, anstelle diese wilde Fläche zu integrieren kann man einfach den Kreis inegriere, dass sei das gleiche???
Ich versteh das überhaupt nicht. Vielleicht sind auch meine Fragen bzw. Behauptungen falsch weil ich es völlig falsch verstanden habe?
Danke&Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Sa 27.03.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo,
ihr habt wahrscheinlich reguläre Funktionen betrachtet.
Das sind Funktionen für die
[mm]f'(z)=\lim_{z'\to z} \frac{f(z')-f(z)}{z'-z}[/mm] (*)
exisitiert.
Im Verleich zum Reellen ist das eine viel stärkere Eigenschaft, die u.a. das, was Du gesagt hast zur Folge hat:
[mm]f[/mm] lautet mit Real- und Imaginärteil [mm]f(z)=u(x,y)+iv(x,y)[/mm]
(*) muss für jede Annäherung [mm]z'\to z[/mm]. Daraus folgen die Cauachy-Riemannschen Differentialgleichungen:
[mm]u_x=v_y[/mm] und [mm]v_x=-u_y[/mm] (Die Indizes sollen die partiellen Ableitungen bezeichenen) (**)
Definiert man sich das Integral [mm]\integral_{\mathcal{L}}f(z)dz[/mm] längs eines Weges [mm]\mathcal{L}[/mm] analog zum Reellen so, erhält man als Bedingung, dass es vom Weg unabhängig ist, dieselben Bedingungen (**). Ähnliche Resultate gibt es auch im Reellen.
So das bedeutet jetzt für eine reguläre Funktion, dass [mm]\integral_{\mathcal{L}}f(z)dz=0[/mm] über einen geschlossenen Weg gleich null ist, wenn die Funktion in dem Bereich, den der Weg umrandet (und der Weg ist der einzige Rand, der Bereich ist also einfach zusammenhängend), regulär ist.
Hat der Bereich zum Beispiel zwei Ränder (einen außen und einen Innen, er hat also ein Loch, er ist also zweifach zusammenhängend), dann ist das Integral über die beiden RÄnder auch gleich null, da man beide Ränder mit einer Linie, die man hin und zurückläuft zu einem Rand über einen einfach zusammenhängenden Bereich machen kann. Da sich die Anteile auf der Verbindungslinie aufheben, bleiben die Anteile auf den beiden Rändern über.
Wenn nun eine Funktion [mm]f(z)[/mm] in einem Bereich mit Ausnahme z.B. eines Punktes regulär ist, dann darf man nicht mehr erwarten, dass das Integral über einen geschlossenen Weg, der den Punkt umrundet, verschwindet. Man kann aber um den Punkt einen beliebiges Kreisgebit aussparen. In dem verbleibenden Bereich ist die Funktion wieder regulär. Und das Integral über beide Ränder verschwindet. D.h. man kann das Integral über den äußeren komplizierten Weg durch den das Integral über den Inneren einfachen ausdrücken.
Und wenn Du das jetzt auf die Funktion [mm]\frac{f(z')}{z'-z}[/mm] anwendest, erhälst Du
[mm]f(z)=\frac{1}{2\pi i}\integral_{\mathcal{L}} \frac{f(z')}{z'-z}dz'[/mm]
Das heißt man verwendet nur die Werte von [mm]f[/mm] auf dem Weg [mm] \mathcal{L} [/mm] um [mm]z[/mm] herum, um den Wert bei [mm]z[/mm] zu erhalten, verrückt, nicht wahr?
Aber wie gesagt folgen aus (*) die Differentialgleichungen (**), die dafür sorgen, dass die Werte der Funktion über ihren ganzen Def.-Bereich "in Kommunikation stehen".
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Sa 27.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi !
Danke vielmals. Ich kann nur sagen perfekt erklärt. Und es ist genau das was ich wissen wollte.
Ich konnte irgendwie auch nicht glauben das das so ist. Ich habe so zusagen meinen Ohren nicht getraut.
Es war mir übrigens auch nicht so klar was es heisst "über einen Weg" zu integrieren. Ich habe quasi den Weg in der Komplexen Ebene auch als Kurve verstanden, wobei das ja der Web ist nach dem sich die Variablen verändern.
Wie auch immer, danke!
Schönes Wochenende
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