Cauchy Produkt, Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 So 21.11.2010 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | Zeigen Sie das die Reihe konvergiert.
Es sei |x|<1
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}n^{2} x^{n} [/mm] |
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
Ich habe mir überleg das ich hier das Cauchy Produkt anwenden kann.
Aber die Umsetzung gelingt mir nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 So 21.11.2010 | | Autor: | sanane |
Wir haben die gleichen Probleme....
ich kann mit dem cauchy produkt auch nichts anfangen ich hätte jetzt folgendes geschrieben:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^k [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} k^2 [/mm]
aber das ist sicherlich nicht der beweis... oh man ich hoffe ich versteh das alles eines tages:(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:42 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wir haben die gleichen Probleme....
>
> ich kann mit dem cauchy produkt auch nichts anfangen ich
> hätte jetzt folgendes geschrieben:
.............. besser nicht ....................
>
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} x^k[/mm] * [mm]\summe_{k=0}^{\infty} k^2[/mm]
Hallo sanane, obiges ist banane !!
>
> aber das ist sicherlich nicht der beweis
nein, es ist bodenloser Unsinn!
FRED
> .. oh man ich
> hoffe ich versteh das alles eines tages:(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie das die Reihe konvergiert.
> Es sei |x|<1
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}n^{2} x^{n}[/mm]
> Hallo,
> ich habe Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
Probiers mal mit dem Wurzelkriterium oder mit dem Quotientenkriterium
FRED
> Ich habe mir überleg das ich hier das Cauchy Produkt
> anwenden kann.
> Aber die Umsetzung gelingt mir nicht...
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Balsam |
Ich bekomme nun dieses raus:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} k^2 x^k [/mm]
= - [mm] \bruch{x(x+1)}{(x-1)^3}
[/mm]
bin mir aber nicht sicher...
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Hallo Balsam,
> Ich bekomme nun dieses raus:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} k^2 x^k[/mm]
>
> = - [mm]\bruch{x(x+1)}{(x-1)^3}[/mm]
>
Stimmt . ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bin mir aber nicht sicher...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sanane |
häää ? wie seit ihr drauf jetzt gekommen :( ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> häää ? wie seit ihr drauf jetzt gekommen :( ...
Da gibt es im wesentlichen zwei Ansaetze:
a) ueber das Cauchy-Produkt (siehe meine andere Antwort);
b) ueber Ableitungen.
Fuer b) leite mal [mm] $\frac{1}{1 - x} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty x^n$ [/mm] einmal und dann nocheinmal auf beiden Seiten ab.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie das die Reihe konvergiert.
> Es sei |x|<1
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}n^{2} x^{n}[/mm]
>
> ich habe Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
> Ich habe mir überleg das ich hier das Cauchy Produkt
> anwenden kann.
Ja, das geht sogar.
> Aber die Umsetzung gelingt mir nicht...
Sei [mm] $\sum c_n x^n$ [/mm] das CP von [mm] $\sum x^n$ [/mm] mit sich selbst, und sei [mm] $\sum d_n x^n$ [/mm] das CP von [mm] $\sum c_n x^n$ [/mm] mit [mm] $\sum x^n$.
[/mm]
(Es ist [mm] $\sum x^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1 - x}$ [/mm] fuer $|x| < 1$, wie du wissen solltest.)
Wie sehen die [mm] $c_n$ [/mm] und [mm] $d_n$ [/mm] aus?
Kannst du damit etwas machen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sanane |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n²* (1/1-n)
cn würde doch genauso aussehen wie dn oder nicht .. ? :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n²* (1/1-n)
Was soll das sein? Das CP von [mm] $\sum x^n$ [/mm] mit sich selbst? Wie kommst du dadrauf? Und das $x$ fehlt hier, das kann also gar nicht stimmen.
> cn würde doch genauso aussehen wie dn oder nicht .. ? :S
Nein.
Machen wir es mal ausfuehrlicher. Du hast die Potenzreihen [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] = 1$ und [mm] $\sum_{m=0}^\infty b_m x^m$ [/mm] mit [mm] $b_m [/mm] = 1$.
Was ist jetzt [mm] $\left( \sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right) \left( \sum_{m=0}^\infty b_m x^m \right) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty c_n x^n$? [/mm] In der CP-Formel hast du doch explizit eine Formel fuer [mm] $c_n$ [/mm] stehen. Wie lautet diese? Und was kommt heraus, wenn du [mm] $a_n [/mm] = [mm] b_m [/mm] = 1$ einsetzt?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sanane |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1*(1/1-x)² ... :S .. tut mir leid .. bin wirklich überfordert.. aber das wär jetzt mein cn :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] 1*(1/1-x)² ... :S .. tut mir leid ..
> bin wirklich überfordert.. aber das wär jetzt mein cn :/
Das ist weder eine Potenzreihe noch ein Koeffizient.
Schau mal in deinem Skript nach, wie die Formel fuer ein Cauchy-Produkt geht. Und schreib das hier auf. Dann gehen wir das in kleinen Schritten durch.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sanane |
soo ich habe das eben mal rausgesucht:
sind [mm] (an)=\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] an und [mm] (bn)=\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] bn
zwei absolut konvergente Reihen, so ist deren Produkt:
(an)*(bn)=(cn) mit (cn) [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a(unten)bn-k wiederum eine absolute konvergente reihe...
ich wäre dir echt dankbar wenn du das wie du gesagt hast schritt für schritt mit mir durchgehen würdest :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> soo ich habe das eben mal rausgesucht:
>
> sind [mm](an)=\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] an und
> [mm](bn)=\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] bn
> zwei absolut konvergente Reihen, so ist deren Produkt:
>
> (an)*(bn)=(cn) mit (cn) [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] a(unten)bn-k
Bei (unten) soll wohl k stehen, oder?
> wiederum eine absolute konvergente reihe...
Wenn du den Formeleditor ein wenig mehr nutzen wuerdest (grad bei den Indices), waer das ein wenig lesbarer 
Beispiel: [mm] $\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$. [/mm] (Das ist auch das, was bei [mm] $c_n$ [/mm] stehen soll.)
Hier ist jetzt [mm] $a_n [/mm] = [mm] x^n$ [/mm] und [mm] $b_n [/mm] = [mm] x^n$. [/mm] Kannst du jetzt eine schoene einfache Formel fuer [mm] $c_n$ [/mm] finden?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sanane |
[mm] \summe_{k=0}^{n} x^k*(x^n-k) [/mm] ... :/ .. ich will dich wirklich nicht verärgern, aber ich kann das nicht :( .. ich sitz davor und hab einfach keine ahnung..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\summe_{k=0}^{n} x^k*(x^n-k)[/mm] ... :/ .. ich will dich
Da fehlen dir geschweifte Klammern, dann steht da [mm] $\sum_{k=0}^n x^k x^{n - k}$.
[/mm]
> wirklich nicht verärgern, aber ich kann das nicht :( ..
Ich bin nicht veraergert.
> ich sitz davor und hab einfach keine ahnung..
Deswegen gehen wir das auch Schritt fuer Schritt durch.
So. Um das [mm] $\sum_{k=0}^n x^k x^{n-k}$ [/mm] zu vereinfachen, gucken wir uns erstmal [mm] $x^k x^{n-k}$ [/mm] an. Hier musst du eins der Potenzgesetze benutzen. Weisst du welches, und was herauskommt?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sanane |
eigentlich müsste da nur [mm] x^n [/mm] übrig bleiben oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> eigentlich müsste da nur [mm]x^n[/mm] übrig bleiben oder ?
Genau.
Und jetzt steht da [mm] $c_n [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n x^n$. [/mm] Es wird also [mm] $x^n$ [/mm] eine gewisse Anzahl oft selber zu sich addiert.
Wenn du es ausschreibst, also [mm] $c_n [/mm] = [mm] x^n [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] x^n$, [/mm] wie oft steht da das [mm] $x^n$?
[/mm]
Damit kannst du dann [mm] $c_n$ [/mm] als das passende Vielfache von [mm] $x^n$ [/mm] direkt hinschreiben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sanane |
[mm] x^n [/mm] steht dann unendlich oft da,d.h.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^n [/mm] . . und nu :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]x^n[/mm] steht dann unendlich oft da,d.h.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} x^n[/mm] . . und nu :/
Nein, eben nicht! Ich schrieb [mm] $\sum_{k=0}^n x^n$. [/mm] Da steht ein $n$ oben in der Summe und nicht [mm] $\infty$.
[/mm]
Wenn du dir nicht sicher bist, schreib es doch mal fuer $n = 1$ oder $n = 2$ aus.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sanane |
[mm] \summe_{k=0}^{n=1} x^n [/mm] für n=1 oder nicht ? :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Mo 22.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> [mm]\summe_{k=0}^{n=1} x^n[/mm] für n=1 oder nicht ? :/
So schreibt man das nicht auf. Du musst einfach im Ausdruck [mm] $\sum_{k=0}^{\red n} x^{\red n}$ [/mm] jedes [mm] $\red [/mm] n$ durch 1 ersetzen. Also: [mm] $\sum_{k=0}^{\red 1} x^{\red 1}$. [/mm] Und das ist...?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mo 22.11.2010 | | Autor: | sanane |
je nachdem was x ist ... wenn x=2 wäre.. [mm] x^1= [/mm] 2 ... :/ ... oder :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:43 Di 23.11.2010 | | Autor: | sanane |
Ist das denn jetzt soweit richtig?
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Hallo,
> je nachdem was x ist ... wenn x=2 wäre.. [mm]x^1=[/mm] 2 ... :/ ...
> oder :/
Nein, wieso hörst du nicht auf die gut gemeinten Ratschläge und schreibst das mal aus, wie empfohlen?
Es ist [mm]\sum\limits_{k=0}^{1}x^1=x^1+x^1=2x[/mm]
Du hast für [mm]k=0[/mm] und [mm]k=1[/mm] jeweils den Summanden [mm]x^1[/mm], das summierst du auf.
Entsprechend [mm]\sum\limits_{k=0}^{2}x^2=x^2+x^2+x^2=3x^2[/mm]
Du hast für [mm]k=0,1,2[/mm] jeweils den Summanden [mm]x^2[/mm], das wird aufsummiert.
Entsprechend bei [mm]\sum\limits_{k=0}^{n}x^n[/mm]
Was wird wie oft aufsummiert?
Gruß
schachuzipus
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