Cauchy Schwarz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Do 12.04.2012 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich verstehe nicht, wie man mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
([mm]E|XY|\le [EX^2]^{\bruch{1}{2}}[EY^2]^{\bruch{1}{2}}[/mm]) auf folgende Umformung kommt. [mm]X_i[/mm],[mm]Y_j[/mm] sollen Zufallsvariablen, [mm]a_i[/mm],[mm]b_j[/mm] Konstanten sein, [mm]f,g[/mm] stetige Abbildungen.
[mm]E\left|\sum_i f(X_i)\sum_j a_ib_jg(Y_j)\right|\le \left[E\left(\sum_i f(X_i)\right)\right]^{\bruch{1}{2}}\left[E\left(\sum_i f(X_i)\left[\sum_ja_ib_jg(Y_j)\right]^2\right)\right]^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Könntet ihr mir da weiterhelfen? Wäre echt super :)
Viele Grüße
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Do 12.04.2012 | | Autor: | luis52 |
> [mm]E\left|\sum_i f(X_i)\sum_j a_ib_jg(Y_j)\right|\le \left[E\left(\sum_i f(X_i)\right)\right]^{\bruch{1}{2}}\left[E\left(\sum_i f(X_i)\left[\sum_ja_ib_jg(Y_j)\right]^2\right)\right]^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Könntet ihr mir da weiterhelfen? Wäre echt super :)
>
Hm, m. E. stimmt hier was nicht. Wenn [mm] $f(X_i)$ [/mm] nur negative Werte annimmt, so ist
[mm] \left[E\left(\sum_i f(X_i)\right)\right]^{\bruch{1}{2}}[/mm]
nicht definert. (Es sei denn, es wird mit komplexen Erwartungswerten) gerechnet).
Sind die Variablen unabhaengig?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Do 12.04.2012 | | Autor: | Fry |
Hey Luis,
f,g sind so def., dass das passt. Die Variablen sind abhängig.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Do 12.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
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> Hallo,
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> ich verstehe nicht, wie man mit der Cauchy-Schwarzschen
> Ungleichung
> ([mm]E|XY|\le [EX^2]^{\bruch{1}{2}}[EY^2]^{\bruch{1}{2}}[/mm]) auf
> folgende Umformung kommt. [mm]X_i[/mm],[mm]Y_j[/mm] sollen Zufallsvariablen,
> [mm]a_i[/mm],[mm]b_j[/mm] Konstanten sein, [mm]f,g[/mm] stetige Abbildungen.
>
> [mm]E\left|\sum_i f(X_i)\sum_j a_ib_jg(Y_j)\right|\le \left[E\left(\sum_i f(X_i)\right)\right]^{\bruch{1}{2}}\left[E\left(\sum_i f(X_i)\left[\sum_ja_ib_jg(Y_j)\right]^2\right)\right]^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Könntet ihr mir da weiterhelfen? Wäre echt super :)
Setze:
[mm] X= \wurzel{\sum_i f(X_i)} [/mm]
[mm] Y= \wurzel{\sum_i f(X_i)} \sum_j a_ib_jg(Y_j) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Fry |
Hey Rainer,
danke für deine Antwort.
Kann man das so einfach machen? [mm] $a_i$ [/mm] hat ja auch den Index i.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mi 18.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hey Rainer,
>
> danke für deine Antwort.
> Kann man das so einfach machen? [mm]a_i[/mm] hat ja auch den Index
> i.
Sorry, das hatte ich ganz übersehen, das i für ein j gelesen. Es ist auch etwas komisch, dass das [mm] $a_i$ [/mm] unter der Summe über j steht.
Man könnte versuchen, etwas mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung für Skalarprodukte anzufangen, denn
[mm] \left(\summe_i f(X_i) a_i \summe_j b_j g(Y_j) \right)^2 \le \left( \summe_i f(X_i) a_i\right)^2 \left( \summe_j b_j g(Y_j)\right)^2 [/mm] .
Aber mir fällt dabei auch nichts ein.
Viele Grüße
Rainer
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