Cauchy Verteilung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Do 18.11.2010 | | Autor: | su92 |
| Aufgabe | Cauchy Verteilung
Die Aufgabe ist im Anhang
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich kann leide die Folgende Aufgabe nicht lösen und brächte dafür einen Ansatz !!
Also zur Aufgabe b) ist die Bedingung, dass die Funktion gleich 1 ergibt:
f(x) = [mm] \bruch{1}{\pi} * \bruch{1}{1 + x^{2}} [/mm] = 1
Aber in Aufgabe c) weiß ich überhaupt nicht wie ich den symmetrischen Intervall um den erwartungswert [mm] \mu [/mm] , in dem 50% der Ergebnisse liegen bestimmen soll !!!!!
Würde mich auf eine hilfreiche Antwort freuen ^^ :))
MfG
Su92
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Do 18.11.2010 | | Autor: | Sigma |
Hallo sue92,
jetzt geh bitte nochmal in dich und suche dir die Eigenschaften einer Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X raus. (z Bsp. Bei wikipedia)
Das was du bei b) geschrieben hast ist falsch. Stichwort Normierung.
zu c)
[mm] $P(\mu-x \le [/mm] X [mm] <\mu+x)\ge0.5$
[/mm]
mfg sigma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Sa 20.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
soweit ich die Aufgabe noch im Kopf habe musst Du folgendes herausfinden.
Unter der Annahme eines zufälligen gleichverteilten Winkels [mm] \phi\in\left(-\br{\pi}{2}, \br{\pi}{2}\right) [/mm] muss ein symetrisches Intervall um den Mittelwert von [mm] x=tan(\phi) [/mm] bestimmt werden, s.d. 50% der Werte von x in diesem Intervall liegen.
Damit ergeben sich verschiedene Fragestellungen.
1. Wie sieht die Dichte der Zufallsgröße [mm] \phi [/mm] aus
2. Wie sieht die Dichte der aus [mm] \phi [/mm] abgeleiteten Zufallsgröße x aus.
3. Welchen Wert nimmt der Mittelwert [mm] \mu [/mm] der Zufallsgröße x an
4. Wie sind die Intervallgrenzen zu bestimmen
(1.)
Die Dichte von [mm] \phi [/mm] lautet [mm] f_{\phi}(u)=\begin{cases} \br{1}{\pi} & \mbox{für } -\br{\pi}{2} < u < \br{\pi}{2} \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Damit ergibt sich die Verteilungsfunktion von [mm] \phi [/mm] zu
[mm] F_{\phi}(u)=\begin{cases} 0 & \mbox{für } u\le-\br{\pi}{2} \\ \br{1}{\pi}\left(u+\br{\pi}{2}\right) & \mbox{für } -\br{\pi}{2} < u < \br{\pi}{2} \\ 1 & \mbox{für } u\ge \br{\pi}{2} \end{cases}
[/mm]
[mm] F_{\phi}(u) [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, das die Zufallsgröße [mm] \phi [/mm] kleiner als u ist, also [mm] F_{\phi}(u)=W(\phi
(2.)
Die Wahrscheinlichkeit das x<u ist ist gleichbedeutend mit
[mm] F_x(u)=W(x
Die Dichte [mm] f_x(u) [/mm] von x berechnet sich zu
[mm] f_x(u)=\br{d}{du}F_x(u)=\br{d}{du}F_{\phi}(arctan(u))=f_{\phi}(arctan(u))*\br{1}{1+u^2}=\br{1}{\pi}*\br{1}{1+u^2}
[/mm]
(3.)
Der Erwartungswert von x berechnet sich zu
[mm] \mu=E(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{u*f_x(u) du}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\br{1}{\pi}*\br{u}{1+u^2}}=\limes_{a\rightarrow\infty}\br{ln(a^2+1)-ln(a^2+1)}{2\pi}=0
[/mm]
Obige Berechnung ist leider falsch, danke an sigma für den Hinweis. Der Ewartungswert für eine Cauchyverteilung existiert nicht. Man kann es daran erkennen, das [mm] \integral_{0}^{\infty}{\br{1}{\pi}*\br{u}{1+u^2}} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert und [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] ist eben nicht definiert. Ich lasse die falsche Herleitung aber hier stehen, damit man aus Fehlern lernen kann.
Wenn man in (4.) einfach [mm] \mu [/mm] als gegeben oder für [mm] \mu [/mm] den Median nimmt (der ist Null) stimmt aber der Rest wieder.
(4.)
Gesucht ist das Intervall [mm] -\Delta+\mu\le [/mm] x [mm] \le \Delta+\mu [/mm] s.d. gilt
[mm] W(-\Delta+\mu\le [/mm] x [mm] \le \Delta+\mu)=W(-\Delta\le [/mm] x [mm] \le \Delta)=\br{1}{2}
[/mm]
Es gilt
[mm] W(-\Delta\le [/mm] x [mm] \le \Delta)=F_{\phi}(arctan(\Delta))-F_{\phi}(arctan(-\Delta))=\integral_{-arctan(\Delta)}^{arctan(\Delta)}{\br{1}{\pi} du}=\br{2}{\pi}*arctan(\Delta)
[/mm]
Für [mm] \br{2}{\pi}*arctan(\Delta) [/mm] muss nun gelten [mm] \br{2}{\pi}*arctan(\Delta)=\br{1}{2}
[/mm]
also [mm] arctan(\Delta)=\br{\pi}{4} [/mm] also [mm] \Delta=1
[/mm]
Vielleich thilft Dir das ja.
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