Cauchyfolge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Do 24.07.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Sei (X,d) ein metrischer Raum und seien [mm] (x_n), (y_n) [/mm] zwei Folgen in X. Zeige: Ist [mm] (y_n) [/mm] eine Cauchyfolge und gibt es ein [mm] n_0 \in [/mm] IN und ein x [mm] \in [/mm] X mit [mm] e^nd(x,x_n) \le d(x,y_n) [/mm] für alle n [mm] \ge n_0, [/mm] so ist [mm] (x_n) [/mm] eine Cauchyfolge. |
Also, wenn ich zeigen soll, dass [mm] (x_n) [/mm] Cauchyfolge ist, muss ja gelten:
[mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0 \in [/mm] IN mit [mm] d(x_n,x_l) [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n,l [mm] \ge n_0.
[/mm]
Für [mm] (y_n) [/mm] weiß man ja bereits dass dies gilt, also dass [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists n_0 \in [/mm] IN mit [mm] d(y_n,y_l) [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n,l [mm] \ge n_0.
[/mm]
Mir fehlt iwie die zündende Idee. Kann ich z.B. [mm] X_l [/mm] = [mm] y_l [/mm] =x setzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Do 24.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei (X,d) ein metrischer Raum und seien [mm](x_n), (y_n)[/mm] zwei
> Folgen in X. Zeige: Ist [mm](y_n)[/mm] eine Cauchyfolge und gibt es
> ein [mm]n_0 \in[/mm] IN und ein x [mm]\in[/mm] X mit [mm]e^nd(x,x_n) \le d(x,y_n)[/mm]
> für alle n [mm]\ge n_0,[/mm] so ist [mm](x_n)[/mm] eine Cauchyfolge.
> Also, wenn ich zeigen soll, dass [mm](x_n)[/mm] Cauchyfolge ist,
> muss ja gelten:
>
> [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists n_0 \in[/mm] IN mit [mm]d(x_n,x_l)[/mm] <
> [mm]\epsilon \forall[/mm] n,l [mm]\ge n_0.[/mm]
>
> Für [mm](y_n)[/mm] weiß man ja bereits dass dies gilt, also dass
> [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists n_0 \in[/mm] IN mit [mm]d(y_n,y_l)[/mm] <
> [mm]\epsilon \forall[/mm] n,l [mm]\ge n_0.[/mm]
>
> Mir fehlt iwie die zündende Idee. Kann ich z.B. [mm]X_l[/mm] = [mm]y_l[/mm]
> =x setzen?
Steht da wirklich [mm] $e^nd(x,x_n) \le d(x,y_n)$ [/mm] mit der Eulerschen Zahl $e$ ?
Wenn ja, so zeige der Reihe nach:
1. [mm] |d(y_n,x)-d(y_m,x)| \le d(y_n,y_m) [/mm] für alle n,m [mm] \in \IN
[/mm]
2. die reelle Folge [mm] (d(x,y_n)) [/mm] ist konvergent, also beschränkt. Es ex. also ein c>0 mit [mm] d(x,y_n)\le [/mm] c für alle n.
Damit haben wir
[mm] d(x,x_n) \le \bruch{c}{e^n} [/mm] für [mm] n>n_0.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Do 24.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Ja, das steht tatsächlich da. Warum ist das so verwunderlich?
Ist der 1. Schritt den du genannt hast nicht einfach die umgekehrte Dreiecksungleichung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 24.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, das steht tatsächlich da. Warum ist das so
> verwunderlich?
Weil statt $e$ jede reelle Zahl >1 das gleiche leistet.
>
> Ist der 1. Schritt den du genannt hast nicht einfach die
> umgekehrte Dreiecksungleichung?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 24.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Zunächst mal: Wie sieht man dann überhaupt, dass man so vorgehen muss/sollte, wie du es vorschlägst? Also wie kommt man drauf?
Gut, 1. ist dann klar.
Wie zeige ich, dass [mm] (d(x,y_n)) [/mm] konvergiert? Hat dies damit zu tun, dass [mm] y_n [/mm] Cauchyfolge ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Do 24.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zunächst mal: Wie sieht man dann überhaupt, dass man so
> vorgehen muss/sollte, wie du es vorschlägst? Also wie
> kommt man drauf?
Strategie:
Aus $ [mm] e^nd(x,x_n) \le d(x,y_n) [/mm] $ für [mm] n>n_0 [/mm] folgt
[mm] d(x,x_n) \le \bruch{d(x,y_n)}{e^n} [/mm] für alle [mm] n>n_0.
[/mm]
Aus der umgekehrten Dreiecksungleichung
$ [mm] |d(y_n,x)-d(y_m,x)| \le d(y_n,y_m) [/mm] $
folgt, dass [mm] (d(x,y_n)) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] \IR [/mm] ist. Also ist [mm] (d(x,y_n)) [/mm] konvergent und damit beschränkt.
>
> Gut, 1. ist dann klar.
> Wie zeige ich, dass [mm](d(x,y_n))[/mm] konvergiert? Hat dies damit
> zu tun, dass [mm]y_n[/mm] Cauchyfolge ist?
Ja, siehe oben.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 03.08.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich muss nochmal kurz nachfragen, warum folgt aus der dreiecksungleichung dass (d (x, [mm] y_n) [/mm] Cauchy Folge ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 So 03.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich muss nochmal kurz nachfragen, warum folgt aus der
> dreiecksungleichung dass (d (x, [mm]y_n)[/mm] Cauchy Folge ist?
Aus
$ [mm] |d(y_n,x)-d(y_m,x)| \le d(y_n,y_m) [/mm] $
und der Tatsache, dass [mm] (y_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist.
FRED
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