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Hallo,
ich versuche gerade nachzuvollziehen, dass
[mm] t_{n} [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k-1}}{k} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + - ....+ [mm] \bruch{(-1)^{n-1}}{n}
[/mm]
eine Cauchyfolge (und somit konvergent) ist.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gegeben und sei [mm] n_{0} [/mm] so gewählt, dass [mm] \bruch{1}{n_{0}} \le \varepsilon [/mm] gilt. Man zeigt nun [mm] |t_{n} [/mm] - [mm] t_{n0}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für jedes n [mm] \ge n_{0}.
[/mm]
Der Fall n = [mm] n_{0} [/mm] ist klar. Im Fall n > [mm] n_{0} [/mm] gilt
[mm] (-1)^{n0}(t_{n} [/mm] - [mm] t_{n0} [/mm] ) = [mm] (-1)^{n0} \summe_{k=n_{0}+1}^{n} \bruch{(-1)^{k-1}}{k}
[/mm]
Irgendwie verstehe ich nicht so ganz, wie man jetzt sowohl auf das eine als auch auf das andere kommt? Z.B. das [mm] (t_{n} [/mm] - [mm] t_{n0} [/mm] ) ist klar, aber warum noch das [mm] (-1)^{n0} [/mm] davor? usw.
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:07 So 29.04.2007 | | Autor: | lch |
Du hast dir | [mm] t_n [/mm] - [mm] t_{n_0} [/mm] | anzuschauen und willst zeigen, dass das kleiner [mm] \varepsilon [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{n_0} [/mm] ist. Also bildest du die Differenz, die ist halt wie bei dir angegeben die Summe von [mm] n_0+1 [/mm] bis n. Jetzt überlegst du dir, wie groß diese Summe sein kann. Wenn du für k das [mm] n_0+1 [/mm] einsetzt dann erhältst du im Zähler eine [mm] (-1)^{n_0}. [/mm] Das ist ein bißchen doof da diese von [mm] n_0 [/mm] abhängt und du daher nicht weißt ob das erste Reihenglied positiv oder negativ ist, aber das kannst du korrigieren indem du einfach nochmal [mm] (-1)^{n_0} [/mm] zur Summe hinzumultiplizierst. Das ist sozusagen eine "kreative Eins" die du hinzufügen darfst, da du dir den Betrag anschaust. Mit diesem Faktor ist nun gesichert, dass der erste, betragsmäßig größte Summand [mm] \bruch{1}{n_0+1} [/mm] positiv ist. Der ist schonmal kleiner als [mm] \bruch{1}{n_0} [/mm] und das ist kleiner als [mm] \varepsilon. [/mm] Kann die Summe denn noch größer werden? Nein, denn der nächste Summand ist negativ und kleiner als [mm] \bruch{1}{n_0+1}. [/mm] Der nächste ist dann wieder positiv, aber wieder kleiner als sein Vorgänger, also ziehst du insgesamt immernoch was ab. Und so weiter und so fort, insgesamt erhältst du also etwas [mm] \le \bruch{1}{n_0+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n_0} \le \varepsilon. [/mm] Aufschreiben würde ich das natürlich anders, aber das ist die Idee... ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 So 29.04.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo ich!
Vielen Dank für Deine Antwort! Ich werde sie gleich mal durcharbeiten, aber bereits jetzt beim ersten lesen Deiner Erklärung ist mir vieles klarer geworden! Danke!
Gruß,
Anna
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