Cauchyfolge Metrik < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Gegeben sei der metrische Raum [mm] Z:=(\IR [/mm] , d), wobei die Metrik d durch [mm] {d}(x,y):=|e^{-x}-e^{-y}| [/mm] definiert sei. Weiterhin sei die Folge [mm] (z_{n})_{n\in\IN} [/mm] definiert durch [mm] z_{n}:= [/mm] n.
Ist die Folge eine Chauchyfolge bzgl. d?
Konvergiert die Folge in Z? |
Hi!
Ich habe mal wieder überhaupt keine Ahnung, wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll! Ich weiß schon, wie man allgemein auf eine Cauchyfolge untersucht, allerdings weiß ich hier nicht, wie mein Ansatz dafür lauten könnte!
Cauchyfolge (allgemein):= [mm] |a_{m}-a_{n}|< \epsilon.
[/mm]
Und wie untersuche ich dann auf Konvergenz?
Ich bin für jegliche Tipps/Hinweise dankbar!
Schonmal danke im Voraus und Gruß Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Fr 25.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum rechnest du nicht einfach los und berechnest [mm] d(z_m,z_n) [/mm] und versuchst ein [mm] n(\epsilon) [/mm] zu finden ab dem das < [mm] \epsilon
[/mm]
und wann konvergiert den eine Caucyfolge
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Hallo!
Erstmal danke für den Tipp!
Also, ich hab mal angefangen zu rechnen und bin zu Folgendem gekommen:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] >0$ [mm] $\exists N\in\IN [/mm] : [mm] \forall [/mm] n,m>N$ [mm] $d(x_{m},x_{n})<\epsilon$ [/mm]
Man wähle [mm] \bruch{2}{\epsilon}
Es gilt:
[mm] |a_{m}-a_{n}|=|e^{-m}-e^{-n}|=|\bruch{1}{e^m}-\bruch{1}{e^n}|=|\bruch{1}{e^m}+(-\bruch{1}{e^n})|\le |\bruch{1}{e^m}|+|(-\bruch{1}{e^n})|=|\bruch{1}{e^m}|+|\bruch{1}{e^n}|\le \bruch{1}{N}+\bruch{1}{N}=\bruch{2}{N}<\epsilon.
[/mm]
Somit ist die Folge eine Cauchyfolge bzgl. d!
Konvergenz:
[mm] |e^{-n}-a|<\epsilon
[/mm]
a:=Grenzwert der Folge.
Nun bin ich mir nicht sicher welcher Grenzwert gemeint ist. Ist es der Grenzwert der Folge [mm] z_{n}=n [/mm] oder von [mm] e^{-n}? [/mm] Denn für n existiert ja kein Grenzwert, wohingegen für [mm] e^{-n} [/mm] der Grenzwert 0 beträgt und somit hätte ich ja dann auch Konvergenz.
Man wähle [mm] \bruch{1}{\epsilon}
[mm] |e^{-n}-0|=|e^{-n}|=|\bruch{1}{e^n}|<\bruch{1}{N}<\epsilon.
[/mm]
Und somit hätte ich auch die Konvergenz in Z nachgewiesen.
Stimmt das so?
Kann man das so machen?
Gruß, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Sa 26.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Erstmal danke für den Tipp!
>
> Also, ich hab mal angefangen zu rechnen und bin zu
> Folgendem gekommen:
> [mm]\forall \epsilon >0[/mm] [mm]\exists N\in\IN : \forall n,m>N[/mm]
> [mm]d(x_{m},x_{n})<\epsilon[/mm]
Was ist denn [mm] x_n [/mm] ?
Unten schreibst Du plötzlich [mm] a_n [/mm] ?
In der Aufgabenstellung ist von [mm] z_n [/mm] die Rede !!
> Man wähle [mm]\bruch{2}{\epsilon}
>
> Es gilt:
>
> [mm]|a_{m}-a_{n}|=|e^{-m}-e^{-n}|=|\bruch{1}{e^m}-\bruch{1}{e^n}|=|\bruch{1}{e^m}+(-\bruch{1}{e^n})|\le |\bruch{1}{e^m}|+|(-\bruch{1}{e^n})|=|\bruch{1}{e^m}|+|\bruch{1}{e^n}|\le \bruch{1}{N}+\bruch{1}{N}=\bruch{2}{N}<\epsilon.[/mm]
>
> Somit ist die Folge eine Cauchyfolge bzgl. d!
Na ja, sauber und ausführlich hast Du das nicht gezeigt !
Es war doch [mm] z_n=n.
[/mm]
Also gehe von [mm] d(z_n,z_m) [/mm] =d(n,m) aus. Nutze aus, dass [mm] (e^{-n}) [/mm] eine konvergente Folge, also auch eine Cauchyfolge bezüglich dem Betrag auf [mm] \IR [/mm] ist.
>
> Konvergenz:
> [mm]|e^{-n}-a|<\epsilon[/mm]
> a:=Grenzwert der Folge.
> Nun bin ich mir nicht sicher welcher Grenzwert gemeint
> ist. Ist es der Grenzwert der Folge [mm]z_{n}=n[/mm] oder von
> [mm]e^{-n}?[/mm] Denn für n existiert ja kein Grenzwert, wohingegen
> für [mm]e^{-n}[/mm] der Grenzwert 0 beträgt und somit hätte ich
> ja dann auch Konvergenz.
> Man wähle [mm]\bruch{1}{\epsilon}
>
> [mm]|e^{-n}-0|=|e^{-n}|=|\bruch{1}{e^n}|<\bruch{1}{N}<\epsilon.[/mm]
> Und somit hätte ich auch die Konvergenz in Z
> nachgewiesen.
>
> Stimmt das so?
Nein.
> Kann man das so machen?
Nein.
Die Frage ist, ob die Folge [mm] (z_n)=(n) [/mm] einen Grenzwert bezüglich d hat. Die Frage lautet also, ob es ein z [mm] \in \IR [/mm] gibt mit
[mm] d(z_n,z) \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Die Antwort lautet: nein. Begründe dies.
FRED
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> Gruß, Petrit!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Petrit |
Alles klar, vielen Dank!
Ich habe es etwas unsauber aufgeschrieben, sorry.
Und das mit der Konvergenz ist mir jetzt auch klar, danke.
Gruß, Petrit!
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