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Cauchyfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:18 Di 11.03.2008
Autor: jaruleking

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, wo ich die Lösung nicht so wirklich verstehe.

Aufgabe:

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage richtig ist: Es sei [mm] {a_n} [/mm] von n=1 bis [mm] \infty [/mm]  eine Folge reeler Zahlen mit [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}|\le2^{-n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] dann ist die Folge konvergent.
Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösungsvorschlag:

Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben und wähle N [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] 2^{-N+1} \le \varepsilon. [/mm] Dann gilt für alle n [mm] \ge [/mm] N und K [mm] \ge [/mm] 0, dass

[mm] |a_{n+k} [/mm] - [mm] a_{n}|=| \summe_{i=0}^{k-1} (a_{n+i+1} [/mm] - [mm] a_{n+i}| \le \summe_{i=0}^{k-1} |(a_{n+i+1} [/mm] - [mm] a_{n+i}| \le 2^{-n} \summe_{i=0}^{k-1} 2^{i} [/mm] = [mm] 2^{-n} \bruch{1 - 2^{-k}}{1 - 1/2} [/mm] < [mm] 2^{-n+1} \le 2^{-N+1} \le \varepsilon [/mm]

Also hier sind so einige dinge, die ich nicht verstehe, eigentlich fast alles. Das Prinzip ist mir eigentlich klar, man muss zeigen, dass es eine cauchyfolge ist, nur ich versteh nicht, wie die das gemacht haben.

fangen wa mal an.

1. wie kommt man auf das hier: [mm] |a_{n+k} [/mm] - [mm] a_{n}|=| \summe_{i=0}^{k-1} (a_{n+i+1} [/mm] - [mm] a_{n+i}| [/mm]

so und wenn man dann dann die summe aus dem betrag rausnimmt, wirds kleiner, wusste ich auch nicht, aber das ist noch ok. aber der schritt danach schon nicht mehr.

2. wie kommt auf auf das hier? [mm] \le 2^{-n} \summe_{i=0}^{k-1} 2^{i}, [/mm] wie kommt man drauf so eine abschätzung zu machen?

der schritt danach wir auf der lösung erklärt. aber zuletzt noch.

3. wie kommt man auf das hier  < [mm] 2^{-n+1} \le 2^{-N+1} [/mm]  ?

wenn jemand zeit und lust findet mir das zu erklären, dann wäre das super.

danke im voraus.

gruß

        
Bezug
Cauchyfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:11 Di 11.03.2008
Autor: leduart

Hallo

> Aufgabe:
>  
> Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage richtig ist: Es
> sei [mm]{a_n}[/mm] von n=1 bis [mm]\infty[/mm]  eine Folge reeler Zahlen mit
> [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}|\le2^{-n}[/mm] für alle n [mm]\in \IN,[/mm] dann ist die
> Folge konvergent.
> Begründen Sie Ihre Antwort.
>  
> Lösungsvorschlag:
>  
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig vorgegeben und wähle N [mm]\in \IN,[/mm]
> so dass [mm]2^{-N+1} \le \varepsilon.[/mm] Dann gilt für alle n [mm]\ge[/mm]
> N und K [mm]\ge[/mm] 0, dass
>  
> [mm]|a_{n+k}[/mm] - [mm]a_{n}|=| \summe_{i=0}^{k-1} (a_{n+i+1}[/mm] -
> [mm]a_{n+i}| \le \summe_{i=0}^{k-1} |(a_{n+i+1}[/mm] - [mm]a_{n+i}| \le 2^{-n} \summe_{i=0}^{k-1} 2^{i}[/mm]
> = [mm]2^{-n} \bruch{1 - 2^{-k}}{1 - 1/2}[/mm] < [mm]2^{-n+1} \le 2^{-N+1} \le \varepsilon[/mm]
>  
> Also hier sind so einige dinge, die ich nicht verstehe,
> eigentlich fast alles. Das Prinzip ist mir eigentlich klar,
> man muss zeigen, dass es eine cauchyfolge ist, nur ich
> versteh nicht, wie die das gemacht haben.
>  
> fangen wa mal an.
>  
> 1. wie kommt man auf das hier: [mm]|a_{n+k}[/mm] - [mm]a_{n}|=| \summe_{i=0}^{k-1} (a_{n+i+1}[/mm]
> - [mm]a_{n+i}|[/mm]

[mm] a_{n+k}-an=a_{n+k}-a_{n+k-1}+a_{n+k-1}-a_{n+k-2}+a_{n+k-2}...usw [/mm] bis man bei [mm] a_n [/mm] ankommt. dann die Klammern setzen.

>
> so und wenn man dann dann die summe aus dem betrag
> rausnimmt, wirds kleiner, wusste ich auch nicht, aber das
> ist noch ok. aber der schritt danach schon nicht mehr.

Das ist die Dreiecksungleichung |a+b|<|a|+|b| die man immer wieder braucht!

> 2. wie kommt auf auf das hier? [mm]\le 2^{-n} \summe_{i=0}^{k-1} 2^{i},[/mm]
> wie kommt man drauf so eine abschätzung zu machen?

das folgt aus  der Vors [mm] oben:mm]|a_n[/mm] [/mm] - [mm]a_{n+1}|\le2^{-n}[/mm]
wenn du für n  n+i einsetzt und dann [mm] 2^{-n} [/mm] aus der Summe rausziehst.

> der schritt danach wir auf der lösung erklärt. aber zuletzt
> noch.

in der Summe muss [mm] 2^{-i} [/mm] stehen, nicht [mm] 2^i [/mm]

> 3. wie kommt man auf das hier  < [mm]2^{-n+1} \le 2^{-N+1}[/mm]  ?

Am Anfang steht doch für n>N dann ist [mm] 2^{-n}<2^{-N} [/mm]

Gruss leduart



Bezug
                
Bezug
Cauchyfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:50 Di 11.03.2008
Autor: jaruleking

Hi, danke erstmal für die anwort. aber so paar dinge habe ich noch immer nicht verstanden.

bei meiner ersten frage.

1. ich meinte allegemein, warum man die folge so abändert. denn ich versteh nicht, warum die das hier gemacht haben [mm] |a_{n+k} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] wieso ersetzten die die 1 mit einem k?

2. bei der zweiten, woher weiß ich , dass ich n+i für n in [mm] 2^{-n} [/mm] einsetzen muss?

das mit [mm] 2^{-i} [/mm]  ist übrigens richtig, habe mich dort vertippt.

3. hier meinte ich auch eher, wie man auf diese abschätzung kommt:
[mm] 2^{-n} \bruch{1 - 2^{-k}}{1 - 1/2} [/mm] < [mm] 2^{-n+1} \le 2^{-N+1} \le \varepsilon [/mm]

danke im voraus.
gruß

Bezug
                        
Bezug
Cauchyfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:07 Di 11.03.2008
Autor: angela.h.b.


> 1. ich meinte allegemein, warum man die folge so abändert.
> denn ich versteh nicht, warum die das hier gemacht haben
> [mm]|a_{n+k}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] wieso ersetzten die die 1 mit einem k?

Hallo,

Du hast eine Folge [mm] (a_n) [/mm] gegeben mit einer bestimmten Eigenschaft.

Nun soll gezeigt werden, daß die Folge eine Cauchyfolge ist, das hattest Du selbst ja schon festgestellt.

Was ist denn eine Cauchyfolge? Hier solltest Du die Definition nachschlagen.
Es ist eine Folge, für welche für vorgegebenes [mm] \varepsilon [/mm] sämtliche Folgenglieder ab einem Schwellenwert N nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] auseinanderliegen, eine Folge also mit

für alle [mm] m,n\ge [/mm] N:  [mm] |a_m-a_n|<\varepsilon. [/mm]

m und n sind beliebige nat. Zahlen >N.
Mit obdA n<m kann man m auch schreiben als m=n+k, so daß man die Cauchybedingung auch als

für alle [mm] n\ge [/mm] N und für alle [mm] k\in \IN: |a_{n+k}-a_n|<\varepsilon [/mm]

formulieren kann.

Genau die hat man in 1. gemacht. Nochmal: man will die Cauchybedingung zeigen.

Als nächstes verwendet man [mm] |a_{n+k}-a_{n+k-1}+a_{n+k-1}-a_{n+k-2}+a_{n+k-2}-...+a_{n+2}-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|, [/mm]
das hat Dir leduart ja schon gezeigt.

Dann die Dreiecksungleichung.




>  
> 2. bei der zweiten, woher weiß ich , dass ich n+i für n in
> [mm]2^{-n}[/mm] einsetzen muss?

>>> [mm] ...\le \summe_{i=0}^{k-1} |(a_{n+i+1} [/mm] $ - $ [mm] a_{n+i}| \le 2^{-n} \summe_{i=0}^{k-1} 2^{i} [/mm] $

Lt. Voraussetzung hat die Folge die Eigenschaft, daß  $ [mm] |a_j [/mm] $ - $ [mm] a_{j+1}|\le 2^{-j} [/mm] $ für alle j $ [mm] \in \IN, [/mm] $ gilt.

Das heißt: das j.-te und (j+1)-te Glied liegen dichter zusammen als [mm] 2^{-j}. [/mm]

Also liegen das   (n+i+1)-te und das (n+i)-te Glied liegen dichter zusammen als [mm] 2^{-(n+i)}. [/mm]

dh. [mm] \summe_{i=0}^{k-1} |(a_{n+i+1} [/mm] $ - $ [mm] a_{n+i}|\le \summe_{i=0}^{k-1}2^{-(n+i)}=2^{-n}\summe_{i=0}^{k-1}2^{-i}. [/mm]

Hierauf wird nun die Formel für die endliche geometrische Reihe angewendet:

...=$ [mm] 2^{-n} \bruch{1 - 2^{-k}}{1 - 1/2} [/mm] $


> 3. hier meinte ich auch eher, wie man auf diese abschätzung
> kommt:
> [mm]2^{-n} \bruch{1 - 2^{-k}}{1 - 1/2}[/mm] < [mm]2^{-n+1} \le 2^{-N+1} \le \varepsilon[/mm]


[mm] 2^{-n} \bruch{1 - 2^{-k}}{1 - 1/2}=2^{-n}*2(1-2^{-k})=2^{-n+1}(1-2^{-k})<2^{-n+1} [/mm] und wegen n>N ist

[mm] ...<2^{-N+1} [/mm]

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Cauchyfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Di 11.03.2008
Autor: jaruleking

Hi. danke erstmal für die ausführliche antwort, echt nett. aber zwei kleine fragen habe ich dennoch.

1. [mm] |a_{n+k}-a_n| [/mm] = [mm] |\summe_{i=0}^{k-1}(a_{n+i+1} [/mm] - [mm] a_{n+i}| [/mm]
wenn ich hier das letzte glied der summe einsetze, dann müsste ja eigentlich wieder [mm] |a_{n+k} [/mm] - [mm] a_n| [/mm] rauskommen, oder?

weil bei mir kommts irgendwie nicht hin.

[mm] |(a_{n+k-1+1} [/mm] - [mm] a_{n+k-1}| [/mm] = [mm] |(a_{n+k} [/mm] - [mm] a_{n+k-1}| \not= |a_{n+k}-a_n| [/mm]

2.  und beim letzten schritt konnte ich irgendwie deine umrechnung nicht nachvollziehen [mm] 2^{-n} \bruch{1 - 2^{-k}}{1 - 1/2}=2^{-n}\cdot{}2(1-2^{-k}) [/mm] , also den letzten schritt mit [mm] 2^{-n}\cdot{}2(1-2^{-k}). [/mm] ich habe das mal mit hautnenner erweitern probiert, aber es kam nicht raus.

danke im voraus.
gruß

Bezug
                                        
Bezug
Cauchyfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Di 11.03.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Steve,

> Hi. danke erstmal für die ausführliche antwort, echt nett.
> aber zwei kleine fragen habe ich dennoch.
>  
> 1. [mm]|a_{n+k}-a_n|[/mm] = [mm]|\summe_{i=0}^{k-1}(a_{n+i+1}[/mm] -
> [mm]a_{n+i}|[/mm]
>  wenn ich hier das letzte glied der summe einsetze, dann
> müsste ja eigentlich wieder [mm]|a_{n+k}[/mm] - [mm]a_n|[/mm] rauskommen,
> oder?

Wenn du alle Summanden hinschreibst, ich mach's mal farbig, dann siehst du, nach welchem Schema sich die Summanden wegheben:

[mm] $\sum\limits_{i=0}^{k-1}(a_{n+i+1}-a_{n+i})=(\blue{a_{n+1}}\green{-a_n})+(\red{a_{n+2}}\blue{-a_{n+1}})+(\blue{a_{n+3}}\red{-a_{n+2}})+(\red{a_{n+4}}\blue{-a_{n+3}})+.....+(\blue{a_{n+k-1}}\red{-a_{n+k-2}})+(\green{a_{n+k}}\blue{-a_{n+k-1}})$ [/mm]

Es heben sich also immer der erste Summand einer Klammer und der zweite Summand der nächsten Klammer gegenseitig auf, und es bleibt [mm] $-a_n+a_{n+k}$ [/mm] übrig


>  
> weil bei mir kommts irgendwie nicht hin.
>  
> [mm]|(a_{n+k-1+1}[/mm] - [mm]a_{n+k-1}|[/mm] = [mm]|(a_{n+k}[/mm] - [mm]a_{n+k-1}| \not= |a_{n+k}-a_n|[/mm]
>  
> 2.  und beim letzten schritt konnte ich irgendwie deine
> umrechnung nicht nachvollziehen [mm]2^{-n} \bruch{1 - 2^{-k}}{1 - 1/2}=2^{-n}\cdot{}2(1-2^{-k})[/mm]
> , also den letzten schritt mit [mm]2^{-n}\cdot{}2(1-2^{-k}).[/mm]
> ich habe das mal mit hautnenner erweitern probiert, aber es
> kam nicht raus.

Na, im Nenner des Bruches steht doch [mm] $1-\frac{1}{2}$ [/mm]

Und das ist [mm] $=\frac{1}{2}$ [/mm]

Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert, also hier mit $2$

> danke im voraus.
>  gruß


LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Cauchyfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Di 11.03.2008
Autor: jaruleking

Hi, vielen dank.

ich dachte, dass wenn man gleich das letzte glied der summe einsetzt, wieder die ausgangsgleichung rauskommen muss. ist wohl doch nicht der fall.

und bei der zweiten frage, das war jetzt schon peinlich von, das ich das nicht gesehen habe. naja, sowas passiert hoffentlich nicht so oft :-)

danke und gruß

Bezug
                                        
Bezug
Cauchyfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Di 11.03.2008
Autor: Marcel

Hallo Jaruleking,

> Hi. danke erstmal für die ausführliche antwort, echt nett.
> aber zwei kleine fragen habe ich dennoch.
>  
> 1. [mm]|a_{n+k}-a_n|[/mm] = [mm]|\summe_{i=0}^{k-1}(a_{n+i+1} -a_{n+i})|[/mm]
>  wenn ich hier das letzte glied der summe einsetze, dann
> müsste ja eigentlich wieder [mm]|a_{n+k}[/mm] - [mm]a_n|[/mm] rauskommen,
> oder?

lass' die Betragsstriche mal weg:
[mm] $a_{n+k}-a_n=\sum_{i=0}^{k-1}(a_{n+i+1} -a_{n+i})$ [/mm]
werde ich behaupten.

Neben Schachuzipus Antwort, indem man diese Summe ausschreibt, will ich Dir das ganze einfach mal nur mit dem Summenzeichen zeigen, weil derartige Tricks wirklich immer wieder zum Einsatz kommen und man andernfalls unter Umständen den Überblick verliert:
Wir rechnen dazu für beliebige, aber feste $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm] die Summe
[mm] $\sum_{i=0}^{k-1}(a_{n+i+1} -a_{n+i})$ [/mm]
mal aus:
[mm] $\sum_{i=0}^{k-1}(a_{n+i+1} -a_{n+i})=\left(\sum_{i=0}^{k-1}a_{n+i+1}\right) -\sum_{i=0}^{k-1}a_{n+i}$ [/mm]

Ein kleiner Zwischenschritt für Dich:
Wenn man nun $j:=i+1$ setzt:
[mm] $\sum_{i=0}^{i=k-1}a_{n+i+1}=\sum_{j=1}^{j=k} a_{n+j}$ [/mm]

Daher:
[mm] $\sum_{i=0}^{k-1}(a_{n+i+1} -a_{n+i})=\left(\sum_{i=0}^{k-1}a_{n+i+1}\right) -\sum_{i=0}^{k-1}a_{n+i}=\left(\sum_{j=1}^{j=k} a_{n+j}\right)-\sum_{i=0}^{i=k-1}a_{n+i}=\left(a_{n+k}+\blue{\sum_{j=1}^{k-1}a_{n+j}}\right)-\left(a_n+\blue{\sum_{i=1}^{k-1}a_{n+i}\right)$ [/mm]

[mm] $=a_{n+k}}-a_n$ [/mm]

Also:
[mm] $|a_{n+k}-a_n|=\left|\sum_{i=0}^{k-1}(a_{n+i+1} -a_{n+i})\right|$ [/mm]

Danach wurde, wie gesagt, die allgemeine Dreiecksungleichung angwendet, die da etwa so formuliert werden kann:
Ist [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest und sind [mm] $x_0, [/mm] ..., [mm] x_{n_0}$ [/mm] gegeben, so gilt:
[mm] $\left|\sum_{i=0}^{n_0} x_i \right| \le \sum_{i=0}^{n_0} |x_i|$ [/mm]

Oben wird dies dann halt mit [mm] $n_0=k-1$ [/mm] und [mm] $x_i:=a_{n+i+1}-a_{n+i}$ [/mm] für $i=0,...,k-1$ benutzt.

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Cauchyfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 Di 11.03.2008
Autor: jaruleking

Vielen dank nochmal für die Erklärung.

Gruß

Bezug
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