matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisCauchyformel-Fkt./Ableitung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Cauchyformel-Fkt./Ableitung
Cauchyformel-Fkt./Ableitung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Cauchyformel-Fkt./Ableitung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Mi 01.06.2011
Autor: Rubstudent88

Aufgabe 1
(1) Es seien [mm] z_{1},...,z_{n} [/mm] paarweise verschiedene komplexe Zahlen, R>0 mit [mm] z_{j} \not\in \partial \Delta_{R} [/mm] für alle j=1,...,n und f:  [mm] \IC \to \IC; [/mm] z [mm] \mapsto \produkt_{i=1}^{n} (z-z_{j}). [/mm] Zeigen Sie:
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\partial \Delta_{R}}{\bruch{f' } {f} dz} [/mm]
mit f´ [mm] =\bruch{\partial f}{\partial z} [/mm] ist die Anzahl der Nullstellen von f in [mm] \Delta_{R}. [/mm]

Aufgabe 2
(2) Es sei [mm] z_{0} \in \IC [/mm] und [mm] \gamma=\partial \Delta_{R}(z_{0}) [/mm] mit r [mm] \in \IR^{>0}. [/mm] Berechnen Sie: [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{f' } {f} dz} [/mm]
für f: [mm] \IC \to \IC; [/mm] z [mm] \mapsto (z-z_{0})^{n} [/mm] mit n [mm] \in \IZ [/mm] fest.

Hallo zusammen,

ich bräuchte bei obiger Aufgabe eure Hilfe.

Zu Teil (1):

Zuerst möchte ich mein f ableiten:
[mm] f'=1*\produkt_{i=2}^{n}(z-z_{j})+(\bruch{\partial}{\partial z}\produkt_{i=2}^{n}(z-z_{j})*(z-z_{1})) [/mm]
Hat jemand eine Idee wie ich das am besten vereinfache? Mein Ziel ist irgendetwas wegzukürzen, so dass ich über die Cauchy-Integrationsformel mit der Anzahl der Nullstellen argumentieren kann.
Ist das der richtige Ansatz?

Zu Teil (2):

[mm] f'=1*(z-z_{0})^{n-1} [/mm]

[mm] \bruch{f'}{f}=\bruch{n}{z-z_{0}} [/mm]

Wie sieht dann mein Integral aus, was ich ausrechnen muss?

Beste Grüße


        
Bezug
Cauchyformel-Fkt./Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Mi 01.06.2011
Autor: fred97


> (1) Es seien [mm]z_{1},...,z_{n}[/mm] paarweise verschiedene
> komplexe Zahlen, R>0 mit [mm]z_{j} \not\in \partial \Delta_{R}[/mm]
> für alle j=1,...,n und f:  [mm]\IC \to \IC;[/mm] z [mm]\mapsto \produkt_{i=1}^{n} (z-z_{j}).[/mm]
> Zeigen Sie:
>  [mm]\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\partial \Delta_{R}}{\bruch{f' } {f} dz}[/mm]
>  
> mit f´ [mm]=\bruch{\partial f}{\partial z}[/mm] ist die Anzahl der
> Nullstellen von f in [mm]\Delta_{R}.[/mm]
>  (2) Es sei [mm]z_{0} \in \IC[/mm] und [mm]\gamma=\partial \Delta_{R}(z_{0})[/mm]
> mit r [mm]\in \IR^{>0}.[/mm] Berechnen Sie:
> [mm]\integral_{\gamma}{\bruch{f' } {f} dz}[/mm]
>  für f: [mm]\IC \to \IC;[/mm]
> z [mm]\mapsto (z-z_{0})^{n}[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm] fest.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich bräuchte bei obiger Aufgabe eure Hilfe.
>  
> Zu Teil (1):
>  
> Zuerst möchte ich mein f ableiten:
>  
> [mm]f'=1*\produkt_{i=2}^{n}(z-z_{j})+(\bruch{\partial}{\partial z}\produkt_{i=2}^{n}(z-z_{j})*(z-z_{1}))[/mm]
>  
> Hat jemand eine Idee wie ich das am besten vereinfache?
> Mein Ziel ist irgendetwas wegzukürzen, so dass ich über
> die Cauchy-Integrationsformel mit der Anzahl der
> Nullstellen argumentieren kann.
>  Ist das der richtige Ansatz?

Es ist [mm] $f(z)=(z-z_1)g(z)$ [/mm] mit [mm] $g(z):=\produkt_{j=2}^{n} (z-z_{j}). [/mm] $

Zeige nun:

                 [mm] \bruch{f'(z)}{f(z)}= \bruch{1}{z-z_1}+ \bruch{g'(z)}{g(z)}$ [/mm]

Mit g verfahre genauso. Dann erhältst Du eine schöne und brauchbare Darstellung von  [mm] \bruch{f'(z)}{f(z)} [/mm]

Beispiel: n=2. Dann ist [mm] g(z)=z-z_2 [/mm] und somit  

               [mm] \bruch{f'(z)}{f(z)}= \bruch{1}{z-z_1}+ \bruch{1}{z-z_2} [/mm]

Verallgemeinere dies.

>  
> Zu Teil (2):
>  
> [mm]f'=1*(z-z_{0})^{n-1}[/mm]

Nein.  [mm]f'(z)=n*(z-z_{0})^{n-1}[/mm]

>  
> [mm]\bruch{f'}{f}=\bruch{n}{z-z_{0}}[/mm]
>  
> Wie sieht dann mein Integral aus, was ich ausrechnen muss?

So:    [mm] $\integral_{\gamma}{\bruch{n}{z-z_{0}}dz} [/mm] $

FRED

>  
> Beste Grüße
>  


Bezug
                
Bezug
Cauchyformel-Fkt./Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Mi 01.06.2011
Autor: Rubstudent88

Erstmal vielen Dank für die Antwort Fred, der erste Teil ist nachvollziehbar, danke.

Zum zweiten Teil. Dass das Integral so aussehen muss, war mir auch soweit klar, nur meine Frage ist, wie ich damit weiterechne. Ich brauche wohl eine Parametrisierung für mein [mm] \gamma. [/mm] Wäre dies eine?: [mm] (x+rcos\Phi,y+rsin\Phi) [/mm] Oder direkt mit Polarkoordinaten arbeiten?

Bezug
                        
Bezug
Cauchyformel-Fkt./Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mi 01.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Erstmal vielen Dank für die Antwort Fred, der erste Teil
> ist nachvollziehbar, danke.
>  
> Zum zweiten Teil. Dass das Integral so aussehen muss, war
> mir auch soweit klar, nur meine Frage ist, wie ich damit
> weiterechne. Ich brauche wohl eine Parametrisierung für
> mein [mm]\gamma.[/mm]

Nein, du kannst doch direkt die Integralformel von Cauchy benutzen.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                        
Bezug
Cauchyformel-Fkt./Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Do 02.06.2011
Autor: fred97


> Erstmal vielen Dank für die Antwort Fred, der erste Teil
> ist nachvollziehbar, danke.
>  
> Zum zweiten Teil. Dass das Integral so aussehen muss, war
> mir auch soweit klar, nur meine Frage ist, wie ich damit
> weiterechne. Ich brauche wohl eine Parametrisierung für
> mein [mm]\gamma.[/mm] Wäre dies eine?: [mm](x+rcos\Phi,y+rsin\Phi)[/mm] Oder
> direkt mit Polarkoordinaten arbeiten?

Ihr hattet sicher die "Umlaufzahl" oder "Windungszahl"

FRED


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]