Cauchyformel anwendbar? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Di 11.09.2012 | | Autor: | lichti |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{|z|=3}{\bruch{cos z}{(z-\bruch{\pi}{4})(z^2-10)} dz} [/mm] |
Hallo zusammen,
wäre toll wenn mal jemand gucken könnte ob ich das richtig verstanden habe. danke im vorraus, lichti.
[mm] \integral_{|z|=3}{\bruch{cos z}{(z-\bruch{\pi}{4})(z^2-10)} dz}
[/mm]
hat Singularitäten bei [mm] \bruch{\pi}{4},\wurzel{10}, -\wurzel{10}
[/mm]
also liegt nur [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] in |z|=3.
sei also [mm] f(z)=\bruch{cos z}{z^2-10}
[/mm]
dann ist [mm] f(\bruch{\pi}{4})=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{|z|=3}{\bruch{cos z}{(z-\bruch{\pi}{4})(z^2-10)} dz}
[/mm]
==>
[mm] \integral_{|z|=3}{\bruch{cos z}{(z-\bruch{\pi}{4})(z^2-10)} dz} [/mm] = 2 [mm] \pi if(\bruch{\pi}{4})=2i\pi \bruch{cos (\bruch{\pi}{4})}{\bruch{\pi ^2}{16}-10}
[/mm]
mit freundlichen grüßen, lichti
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Di 11.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie
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> [mm]\integral_{|z|=3}{\bruch{cos z}{(z-\bruch{\pi}{4})(z^2-10)} dz}[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> wäre toll wenn mal jemand gucken könnte ob ich das
> richtig verstanden habe. danke im vorraus, lichti.
>
> [mm]\integral_{|z|=3}{\bruch{cos z}{(z-\bruch{\pi}{4})(z^2-10)} dz}[/mm]
>
> hat Singularitäten bei [mm]\bruch{\pi}{4},\wurzel{10}, -\wurzel{10}[/mm]
>
> also liegt nur [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] in |z|=3.
>
> sei also [mm]f(z)=\bruch{cos z}{z^2-10}[/mm]
>
> dann ist [mm]f(\bruch{\pi}{4})=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{|z|=3}{\bruch{cos z}{(z-\bruch{\pi}{4})(z^2-10)} dz}[/mm]
>
> ==>
> [mm]\integral_{|z|=3}{\bruch{cos z}{(z-\bruch{\pi}{4})(z^2-10)} dz}[/mm]
> = 2 [mm]\pi if(\bruch{\pi}{4})=2i\pi \bruch{cos (\bruch{\pi}{4})}{\bruch{\pi ^2}{16}-10}[/mm]
Alles richtig. cos [mm] (\bruch{\pi}{4}) [/mm] kannst Du noch ausrechnen.
FRED
>
> mit freundlichen grüßen, lichti
>
> ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Di 11.09.2012 | | Autor: | lichti |
Jupiie :P
danke soweit.
ich hätte noch eine nachfrage. die cauchyformel für ableitungen sagt ja:
[mm] f^{(n)}(z)=\bruch{n!}{2i\pi}\integral_{|\xi-z_0|}{\bruch{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}} d\xi}
[/mm]
das heißt ich suche mir die singularitäten die im entsprechenden kreis liegen, hier also [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] und lass die bei der konstruktion meines f(z) weg. das "(n+1)" im nenner sagt mir dabei wie oft ich f ableiten muss um das ganze gleich setzen zu können. also im fall hier [mm] "(z-\bruch{\pi}{4})^1" [/mm] ist 1=n+1 ==> n=0 also muss ich f nicht ableiten. bei n=1 müsste ich ein mal ableiten.
stimmt das so als kochrezept?!
danke im vorraus, lichti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Di 11.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Jupiie :P
>
> danke soweit.
>
> ich hätte noch eine nachfrage. die cauchyformel für
> ableitungen sagt ja:
>
> [mm]f^{(n)}(z)=\bruch{n!}{2i\pi}\integral_{|\xi-z_0|}{\bruch{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}} d\xi}[/mm]
>
> das heißt ich suche mir die singularitäten die im
> entsprechenden kreis liegen, hier also [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] und
> lass die bei der konstruktion meines f(z) weg. das "(n+1)"
> im nenner sagt mir dabei wie oft ich f ableiten muss um das
> ganze gleich setzen zu können. also im fall hier
> [mm]"(z-\bruch{\pi}{4})^1"[/mm] ist 1=n+1 ==> n=0 also muss ich f
> nicht ableiten. bei n=1 müsste ich ein mal ableiten.
>
> stimmt das so als kochrezept?!
Ja
FRED
>
> danke im vorraus, lichti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Di 11.09.2012 | | Autor: | lichti |
super,
hab dank für die antwort und die gedult beim stellen "dummer" fragen.
mfg lichti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Di 11.09.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die Fragen waren nicht dumm. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Di 11.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> super,
>
> hab dank für die antwort und die gedult beim stellen
> "dummer" fragen.
Ich kann mich Teufel nur anschließen.
Du schreibst alles klein, das ist Deine Sache, aber "Geduld" oder (in Deiner Schreibweise) "geduld" schreibt man in der Mitte und hinten mit "d".
Gruß FRED
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> mfg lichti
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