Cauchyprodukt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyprodukts: Für z [mm] \in \IC [/mm] mit |z|<1 gilt
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (k+1)z^k=\left \bruch{1}{(1-z)^2} \right [/mm] |
Ich weiß gar nicht, wie ich das Chauchyprodukt da anwenden kann, es lautet ja:
[mm] C_k=\summe_{j=0}^{k}a_jb_{k-j}
[/mm]
Was wäre in meinem Fall a und b?
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Hallo hubbel,
> Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyprodukts: Für z [mm]\in \IC[/mm] mit
> |z|<1 gilt
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)z^k=\left \bruch{1}{(1-z)^2} \right[/mm]
>
> Ich weiß gar nicht, wie ich das Chauchyprodukt da anwenden
> kann, es lautet ja:
>
> [mm]C_k=\summe_{j=0}^{k}a_jb_{k-j}[/mm]
>
> Was wäre in meinem Fall a und b?
a und b sind dieselben Reihen.
Betrachte die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm]
und bilde das Produkt dieser Reihe mit sich selbst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Du meinst ich muss sozusagen folgendes hernehmen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}((k+1)z^k)^2
[/mm]
Stimmt das?
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Hallo hubbel,
> Du meinst ich muss sozusagen folgendes hernehmen:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}((k+1)z^k)^2[/mm]
>
> Stimmt das?
Nein.
Berechne doch das Cauchyprodukt
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}*\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Das verstehe ich nicht, wieso denn nur [mm] z^k, [/mm] was mache ich denn mit dem (k+1)?
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Hallo hubbel,
> Das verstehe ich nicht, wieso denn nur [mm]z^k,[/mm] was mache ich
> denn mit dem (k+1)?
Du brauchst doch zunächst eine bekannte Reihe,
die mit sich selber multipliziert, die in der Aufgabe
gegebene Reihe ergibt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Verstehe, mich erinnert das ganze eh an die geometrische Reihe:
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty} z^k)^2=\summe_{k=0}^{\infty} z^{2k}(Darf [/mm] ich das? Eigentlich nicht oder, weil es Summen sind?)
Für die geometrische Reihe gilt ja:
[mm] \summe_{k=0}^{n} z^k=\left \bruch{1}{1-z} \right [/mm]
Kann ich das hier anwenden? Und was mache ich nun mit dem (k+1)?
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Hallo hubbel,
> Verstehe, mich erinnert das ganze eh an die geometrische
> Reihe:
>
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty} z^k)^2=\summe_{k=0}^{\infty} z^{2k}(Darf[/mm]
> ich das? Eigentlich nicht oder, weil es Summen sind?)
>
Nein, berechne das Cauchy-Produkt
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} z^k*\summe_{k=0}^{\infty} z^k[/mm]
> Für die geometrische Reihe gilt ja:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} z^k=\left \bruch{1}{1-z} \right[/mm]
> Kann ich das hier anwenden? Und was mache ich nun mit dem
> (k+1)?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ok, also noch ein Versuch:
Mein [mm] a_n=b_n=z^k
[/mm]
Mit Cauchy folgt:
[mm] z^k*z^k=z^{2k}=\summe_{k=0}^{n}z^k*z^{n-k}
[/mm]
Wieso darf ich das überhaupt? [mm] z^k [/mm] ist doch keine konvergente Reihe oder?
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Hallo hubbel,
> Ok, also noch ein Versuch:
>
> Mein [mm]a_n=b_n=z^k[/mm]
>
> Mit Cauchy folgt:
>
> [mm]z^k*z^k=z^{2k}=\summe_{k=0}^{n}z^k*z^{n-k}[/mm]
>
> Wieso darf ich das überhaupt? [mm]z^k[/mm] ist doch keine
> konvergente Reihe oder?
>
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm] ist für [mm]\vmat{z} < 1[/mm] sogar absolut konvergent.
Schreib das mal ordentlich auf.
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}* \summe_{l=0}^{\infty}z^{l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k}z^{l}=\ ...[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Achja, der Betrag, ganz überlesen, sorry.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}z^{k}\cdot{} \summe_{l=0}^{\infty}z^{l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k}z^{l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k+l}
[/mm]
Ich weiß gar nicht, wie man so Summenzeichen zusammenfassen kann...
Wieso muss ich überhaupt zwei verschiedenen Potenzen nehmen?
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Hallo hubbel,
> Achja, der Betrag, ganz überlesen, sorry.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}\cdot{} \summe_{l=0}^{\infty}z^{l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k}z^{l}=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k+l}[/mm]
>
> Ich weiß gar nicht, wie man so Summenzeichen
> zusammenfassen kann...
>
Setze k+l=n, dann entsteht
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k+l}=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}[/mm]
> Wieso muss ich überhaupt zwei verschiedenen Potenzen
> nehmen?
Weil Du das Produkt zweier Reihen bildest.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Verstehe aber gar nicht, was mir das bringen soll, sorry, wenn ich mich so anstelle... Vorallem, wieso kann man da einfach n=0 und k=0 setzen?
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Hallo hubbel,
> Verstehe aber gar nicht, was mir das bringen soll, sorry,
Die angegebene Summe kannst Du noch etwas vereinfachen.
> wenn ich mich so anstelle... Vorallem, wieso kann man da
> einfach n=0 und k=0 setzen?
Du kannst n=0 setzen, weil das der kleinst mögliche Exponent ist.
Und da [mm]n=0+n=1+\left(n-1\right)=...=\left(n-1\right)+1=n+0[/mm]
ist für k die untere Grenze 0 und die obere Grenze n.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k+l}=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}z^n
[/mm]
Wäre meiner Meinung nach weiter vereinfacht, stimmt das? Und wenn ja, was kann ich damit anfangen?
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Hallo hubbel,
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}z^{k+l}=\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}z^n[/mm]
>
> Wäre meiner Meinung nach weiter vereinfacht, stimmt das?
Nein, das stimmt nicht.
Hier muss noch ein Term stehen:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}\red{...}\ z^n[/mm]
> Und wenn ja, was kann ich damit anfangen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Um ehrlich zu sein, ich weiß es nicht...
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Hallo hubbel,
> Um ehrlich zu sein, ich weiß es nicht...
Schreibe doch die Summe so:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}\left(\summe_{k=0}^{n}1\right)z^{n}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Achso, da muss noch ein n+1 hin:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)z^{n} [/mm] $
Richtig?
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Hallo hubbel,
> Achso, da muss noch ein n+1 hin:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}z^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)z^{n}[/mm]
>
> Richtig?
Richtig.
Und damit kannst Du die Reihensumme angeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja ok, verstehe aber nicht, was mir das gebracht hat, sollte doch zeigen, dass das ganze gleich [mm] \left \bruch{1}{(1-z)^2} \right [/mm] ist.
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Hallo hubbel,
> Ja ok, verstehe aber nicht, was mir das gebracht hat,
> sollte doch zeigen, dass das ganze gleich [mm]\left \bruch{1}{(1-z)^2} \right[/mm]
> ist.
Nun, wie lautet die Summe von [mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}[/mm] ?
Gezeigt wurde, daß
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}*\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}=\summe_{k=0}^{\infty}}\left(k+1\right)*z^{k}[/mm]
Damit ist
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}}\left(k+1\right)*z^{k}= \ ...[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 So 11.12.2011 | | Autor: | hubbel |
AHHHHHHHHH, verstehe, Groschen gefallen! Danke!
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